河南省开封市五县2022-2023学年高三下学期开学考试文科数学试题（Word版附解析）

高三文科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．4．本试卷主要命题范围：高考范围．一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出函数定义域化简集合M，再利用交集的定义求解作答.【详解】函数有意义，则，解得，即，而，所以.故选：B2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数乘方及除法求出复数，再求出对应点的坐标作答.【详解】依题意，， 所以复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A3.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，借助导数的几何意义求出a值，进而求出切线方程作答.【详解】函数，求导得：，依题意，，解得，即有，，所以函数的图象在点处的切线为：，即，符合题意.故选：C4.我国传统剪纸艺术历史悠久，源远流长，最早可追溯到西汉时期．下图是某一窗花的造型，在长为3，宽为2的矩形中有大小相同的两个圆，两圆均与矩形的其中三边相切，在此矩形内任取一点，则该点取自两圆公共（图中阴影）部分的概率为（）A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】根据几何概型的概率计算公式，只需要求出阴影部分面积及矩形面积即可得到答案． 【详解】如图，矩形面积为，因为两圆半径相等，结合两圆的位置及圆的对称性可得为等边三角形，阴影部分面积为，所以，在此矩形内任取一点，则该点取自两圆公共（图中阴影）部分的概率为．故选：C．5.古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台，今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km，上底面的边长为40km，若水库的最大蓄水量为，则水库深度（棱台的高）为（）A.10mB.20mC.30mD.40m【答案】A【解析】【分析】由题意可知：该水库是一个正四棱台，已知正四棱台的体积为，上下底面边长分别为40km和20km，求正四棱台的高，同一单位，代入体积计算公式即可求解.【详解】因为正四棱台上下底面边长分别为40km和20km，设高，因为，，由棱台的体积计算公式可得：，解得：，故选：.6.已知抛物线C：，过焦点F的直线与C在第四象限交于M点，则（） A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】由题意可知：焦点坐标为，设点，利用直线的斜率可得，再利用抛物线的定义即可求解.【详解】因为直线过抛物线C：的焦点，则，所以，，抛物线方程为，因为在抛物线上且在第四象限，设点，则，解得：，由抛物线的定义可知：，故选：.7.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A.14B.15C.16D.17【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，运行程序，依次计算即可判断作答.【详解】第1次循环，；第2次循环，；第3次循环，；第4次循环，；第5次循环，；第6次循环，；第7次循环，；第8次循环，；第9次循环，；第10次循环，； 第11次循环，；第12次循环，；第13次循环，；第14次循环，；第15次循环，，结束循环，输出，所以输出的k的值为15.故选：B8.某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：月份代号x1234567在线外卖规模y（百万元）111318★28★35其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点的残差为，则（）A.1.0B.2.0C.3.0D.4.0【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出，再借助回归直线的特征及残差列出方程组即可求解作答.【详解】依题意，，而，于是得，而当时，，即，联立解得，所以.故选：B9.已知等比数列的前4项和为30，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出等比数列的首项及公比，即可计算作答.【详解】设等比数列的公比为，依题意，，而，解得， 数列的前4项和为，即，解得，所以.故选：C10.记函数的最小正周期为T，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时，（）A.2B.1C.－1D.－2【答案】D【解析】【分析】由及的图象关于对称列出关系式，求出，，再由的图象关于对称可求的最小值，从而可求的值．【详解】由已知得，因为函数的图象关于对称，所以，所以，所以，又因为，所以，，由的图象关于对称得，所以，即有，又因为，所以当最小时，，此时，所以，故选：D．11.已知双曲线C：的左焦点为F，过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，与C交于P，Q两点，若P，F，Q四等分线段AB，则C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，可得直线AB与双曲线C的左支交于两点，再结合双曲线对称性求出直线AB的方程，进而求出点A坐标，利用AF中点在双曲线C上求解作答.【详解】双曲线C：的渐近线，令半焦距为c，则，因为直线AB与双曲线C的两个交点P，Q在线段AB上，则直线AB与双曲线C的左支相交，因为点P，F，Q四等分线段AB，则由双曲线对称性得，直线AB垂直于x轴，直线AB的方程为，不妨令点A在第二象限，由得点，显然线段的中点在双曲线C上，则有，即，解得，所以双曲线C的离心率.故选：A12.已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，确定四棱锥体积最大时为正四棱锥，设出底面外接圆半径，求出体积函数式，再利用导数求解作答.【详解】令球O的内接四棱锥为，四边形外接圆半径为，对角线的夹角为，则四边形的面积，当且仅当，即四边形为正方形时取等号，由球的结构特征知，顶点P为直线与球面O的交点，并且球心O在线段上，四棱锥的高最大，如图， ，高，因此四棱锥的最大体积关系式为：，令，则，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，此时，所以当该四棱锥的体积最大时，其高为.故选：D二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，若，则实数___________．【答案】##1.25【解析】【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算和共线向量坐标表示求解作答.【详解】向量，，则，而，则有，解得，所以实数.故答案为：14.记为等差数列的前n项和，已知，，则___________． 【答案】【解析】【分析】设出等差数列的公差，根据已知列出方程组，求出首项胶公差，再求出作答.【详解】设等差数列的公差为，依题意，，解得，所以.故答案为：15.写出与圆和都相切的一条直线的方程___________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定圆的方程，判断两圆的位置关系，再写出一条公切线方程作答.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则，因此圆相外切，它们有3条公切线，而轴，，则两圆的每条公切线斜率都存在，设公切线方程为，为常数，于是得，整理得或，解得，解得：或，因此圆的公切线方程为：或或，所以与圆和都相切一条直线的方程可以为.故答案为：16.已知函数（a，且）是偶函数，则_________，________ 【答案】①.②.【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求解作答.【详解】因为函数（a，且）是偶函数，则函数对定义域内任意实数恒有成立，即，整理得，，显然不恒为0，因此恒成立，而为常数，则必有为常数，于是得，又，解得，，此时，其定义域为且，，即函数是偶函数，所以，.故答案为：；三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22､23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，求值；（2）证明：为定值．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用已知条件以及两角差的正弦公式、二倍角公式，通过三角恒等变形即可求解；（2）利用正弦定理以及余弦定理，通过三角恒等变形即可得证.【小问1详解】由, ∵,∴,即，∵，所以,所以,又∵,∴，，，，解得；【小问2详解】由已知条件得，，，，,∵,∴,由余弦定理得，由正弦定理得，整理得，即为定值．18.青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握情况，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表：分数 频率0.150.25m0.300.10（1）估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用分层抽样的方法从这200份问卷得分在，，内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行调查，求这3人来自不同组（3人中没有2人在同一组）的概率.【答案】（1）74.5；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布表求出m，再求出问卷得分的平均值作答.（2）求出抽取的6人中各组人数，再利用列举法求出古典概率作答.【小问1详解】由频率分布表得：，所以200份问卷得分的平均值约为：.【小问2详解】由（1）知，问卷得分在，，内的频率分别为，因此抽取的6人中，得分在，，内的人数分别为2人，3人，1人，记得分在内的2人为，得分在内的3人为，得分在内的1人为，从6人中任取3人的不同结果为：，，，共20个，它们等可能，抽取的3人来自不同组的事件有：，共6个，所以3人来自不同组的概率.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，． （1）证明：平面PCD⊥平面PBC；（2）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)利用线面垂直的性质定理、判定定理和面面垂直的判定定理证明；(2)利用两角和的正弦公式求出，利用三角形面积公式求出，根据锥体体积公式求解.【小问1详解】连接，因为，所以,又因为，，所以，即,又因为底面ABCD，底面ABCD，所以BC，又因为平面PCD，，所以平面PCD,又因为平面PBC，所以平面PCD⊥平面PBC.【小问2详解】在直角三角形中， 在直角三角形中，所以，所以，所以.20.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；（2）【解析】【分析】(1)对函数求导，判断导函数的正负，进而确定函数的单调区间；(2)将不等式等价转化为在上恒成立，令，将问题转化为求函数在上的最小值问题，进而求解.【小问1详解】由函数可得，令，则，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，所以在上恒成立；当时，则有；当时，则有， 所以函数在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】因为当时，恒成立，即在上恒成立，也即在上恒成立，令，则，令，则，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，则在上单调递增，所以，故.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立；(2)恒成立.21.已知椭圆E的中心为坐标原点O，对称轴分别为x轴、y轴，且过，两点．（1）求E的方程；（2）设F为椭圆E的一个焦点，M，N为椭圆E上的两动点，且满足，当M，O，N三点不共线时，求△MON的面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)将给定点代入设出的方程求解即可；(2)根据题意可得：，进而得到直线的斜率，设直线 的方程，与曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而求出面积的最值.【小问1详解】设椭圆方程为，因为椭圆过点，，所以，解得：，所以椭圆的方程为：.【小问2详解】不妨设为椭圆的下焦点，由(1)可知：点，则，因为，则，所以，设直线的方程为：，，联立方程组，整理可得：，则，即（*），由韦达定理可得：，，由弦长公式可得：，点到直线的距离，所以，所以当时，面积最大，最大为.（二）选考题：共10分．请考生在第22､23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）若与有两个不同公共点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的普通方程，利用基本不等式求出的取值范围，即可得解；（2）求出直线的普通方程，分析可知直线与双曲线的右支有两个交点，将直线与双曲线方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：由可得，即，因为，则，当且仅当时，等号成立，故曲线的普通方程为.【小问2详解】解：因为直线的极坐标方程为，所以，直线的普通方程为， 联立可得，设直线与曲线交于点、，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围为.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数，若对任意，都存在，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化函数为分段函数，再分段解不等式作答.（2）求出函数、的值域，再借助集合的包含关系求解作答.【小问1详解】依题意，函数，则不等式化为：或或，解得或或，则 ，所以不等式的解集为.【小问2详解】由（1）知，当时，，当时，，当时，，因此函数值域为，，，当且仅当时取等号，因此函数的值域为，因为对任意，都存在，使得成立，则有，即，解得，所以实数a的取值范围是.