河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考文科数学试题（Word版附解析）

高三文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围：高考范围.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则的真子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】A【解析】【分析】求出交集，再由真子集的个数公式得出答案.【详解】因为，所以的真子集个数为个.故选：A2.若复数满足（是虚数单位），则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.【详解】解：由得.故选：C3.《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步．问田为几何？答曰：一亩．”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步．问这块田的面积是多少？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽480步，长600步，则该田有（）A.12顷B.13顷C.14顷D.16顷 【答案】A【解析】【分析】根据亩和顷的定义计算可得结果.【详解】依题意可得该田有亩，则该田有顷．故选：A4.函数在区间上的最大值为（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案.【详解】由题意得，当时，，，所以在区间单调递减，故函数最大值为，故选：B5.在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a，b的值，使方程有2个不相等的实数根的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用列举法结合古典概型公式计算即可.【详解】取为，，，，，，，，，，，共12种，其中使有2个不等实根，即，的有8个，所以.故选：D. 6.若点是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，且轴，，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】由题意可知，因为轴，所以，，所以，解得，所以，故选：A7.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由对数函数的单调性判断大小即可.【详解】，，即. 故选：A8.已知函数的图像关于直线对称，则函数的最大值为（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】由正弦函数的对称性得出，进而得出，再由辅助角公式结合三角函数的性质得出最值.【详解】因为函数的图像关于直线对称，所以，即，解得，所以，所以的最大值为2.故选：C9.已知平面向量，满足，，的夹角为，若，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】不妨设，，，，利用数量积和模长的坐标表示求得点的轨迹即可求解.【详解】因为，，的夹角为，所以，不妨设，，，则，，则，解得或，设，由得在以为圆心，1为半径的圆上， 或所以的最小值为.故选：C10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥中最长的棱长为（）A.4B.C.D.6【答案】D【解析】【分析】作出直观图，根据三视图的数据和勾股定理计算各棱长即可【详解】作出四棱锥A﹣BCDE的直观图如图所示：由三视图可知底面BCDE是平行四边形，面ABE，且,，所以最长的棱是，长为. 故选：D.11.已知双曲线：的渐近线方程为，且焦距为，过双曲线中心的直线与双曲线交于两点，在双曲线上取一点（异于），直线，的斜率分别为，，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由双曲线的两条渐近线方程以及焦距，求得，，进而得到双曲线方程，设出点，可得，点，代入双曲线方程，两式相减，结合直线的斜率化简整理可得所求值．【详解】双曲线的两条渐近线方程为，所以，因为焦距为，所以，又，所以，，故双曲线的方程为．设点，则根据对称性可知，点，，，所以，且，，两式相减可得.故选：B12.已知直线与圆相切，若函数，满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，从而可得为奇函数且在 上为单调递增函数，再将不等式化简，结合基本不等式即可得到结果.【详解】由圆可得圆心，半径为，直线与圆相切，则，，因为，所以为奇函数.且在上为单调递增函数，对于任意的，有，即所以，，令（当且仅当时取等号），可得，所以.故选:B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数满足约束条件,则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据线性规划的几何意义，即可求得目标函数的最小值.【详解】作出约束条件，所表示的平面区域如图阴影部分所示， 平移直线，当经过可行域内的点A时，取得最小值，联立，解得，即,则当，时，取得最小值为,故答案为：14.已知倾斜角为直线与直线垂直，则___________．【答案】5【解析】【分析】利用倾斜角和直线斜率的关系可得的值，再利用同角三角函数关系求解即可.【详解】直线的斜率为，因为倾斜角为的直线与直线垂直，所以解得，所以，则.故答案为：.15.已知四棱锥的顶点都在半径为3的球面上，底面ABCD是正方形，且底面ABCD经过球心O，E是AB的中点，底面ABCD，则该四棱锥的体积等于___________.【答案】【解析】【分析】由线面垂直的性质结合勾股定理得出，再由体积公式求解.【详解】连接OP，OE，则，，因为底面ABCD，所以.所以，，. 故答案为：16.在中，角，，的对边分别为，，，，，则__________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理，将已知条件中的角化边，再由齐次式进行求解即可.【详解】∵，∴由正弦定理，得；又∵，∴由正弦定理，得，将代入上式，化简整理得，两边同除以，得，解得或（舍）.故答案为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等比数列的各项均为正数，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式列式求出公比，再根据等比数列的通项公式可求出结果；（2）求出后，利用并项求和法以及等差数列的求和公式可求出结果.【小问1详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，即，解得或（舍去），所以．【小问2详解】因为，所以．18.某地区为了调查年龄区间在岁的居民的上网时间，从该地区抽取了名居民进行调查，并将调查结果按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若用分层抽样的方法进一步从被调查的名居民中抽取60人进行深度调研，则年龄在以及年龄在的居民分别有多少人?（2）在中抽取4人，中抽取2人，若从这6人中再次随机抽取2人调查浏览新闻的时间，求两人年龄都在上的概率. 【答案】（1）12人，6人（2）【解析】【分析】（1）利用分层抽样的方法分析即可；（2）列举出满足事件的事件的基本总数，和找出满足条件的事件数，利用古典概型求解概率即可.【小问1详解】依题意，各组的比例为1：7：6：4：2，故抽取的60名居民中，年龄在的人数为人，年龄在的人数为人.【小问2详解】记在中的4个人分别为，，，，在中的2个人分别为，，则从6人中抽取2人，所有的情况为：，，，，，，，，，，，，，，共15种；其中满足条件的有，，，，，共有6种；故所求概率为是：.19.如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是和中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；（2）由等体积法求体积，.【小问1详解】连接，因为，，所以.因为是的中点，所以.因为，是的中点，所以.因为，且平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】因为，平面，平面，所以平面，所以，，设G为BC的中点，因为，所以，由条件知，，所以，所以，所以.20.已知椭圆：的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于A，B两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率、得出方程；（2）当直线的斜率不存在时，由对称性得出；当直线斜率存在且不等于零时，联立直线和椭圆方程，由韦达定理以及三角形面积公式得，再由基本不等式求解即可；【小问1详解】由椭圆的离心率为，且过点得椭圆的方程为【小问2详解】当直线的斜率不存在时，，则；当直线斜率存在且不等于零时，设直线：，联立可得，设，，则，，，， 显然，在轴两侧，，异号，所以，当且仅当，时，取等号.所以的最大值为.21.已知函数，.（1）若，求函数的图像在处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入函数中，对函数求导，求出切线斜率，点斜式即可求出切线方程；（2）恒成立问题转换条件，构造函数对函数求导，利用函数导数与单调性以及分类讨论即可解决问题.【小问1详解】当时，，，所以，，所以函数图像在处的切线方程为：，即.【小问2详解】，则.又令， 则，所以在上单调递增，且.①当时，恒成立，即函数在上单调递增，从而必须满足，解得，又，所以.②当时，则存在，使且时，，即，即单调递减；时，，即，即单调递增所以，又，从而，解得.由.令，，则，所以在上单调递减，则，又，故，综上可知，.【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相当大，主要考向有以下几点： 1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）求曲线与曲线的交点的极坐标.【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】(1)将的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)将的极坐标方程化成普通方程，解出两曲线的直角坐标交点，再化成极坐标即可.【小问1详解】解：（为参数）化为普通方程为，整理得：，把代入， 可得，即的极坐标方程为；【小问2详解】解：曲线的直角坐标方程为，由，得或，当交点坐标为时，化为极坐标为；当交点坐标为时，化为极坐标为；则与的交点的极坐标为和.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）分类讨论解不等式即可；（2）求出函数的最小值，由得出的取值范围.【小问1详解】当时，则由，得；由，得无解； 由，得.所以不等式的解集为或；【小问2详解】当时，，则若存在，使成立，则，，所以的取值范围为.