河南省开封市五校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题（Word版附解析）

开封五校2022～2023学年下学期期末联考高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，集合、常用逻辑用语、不等式、函数.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2023《中国好声音》报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登录官网两种方式之一来报名．现有甲､乙､丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有（）A.4种B.6种C.8种D.9种【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，每人选择的方式有种，根据分步计数原理，可得总共有种．故选：C．2.若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得取最大值时的值.【详解】因为正实数、满足，则，可得，当且仅当时，即当时，等号成立. 故选：A.3.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再利用交集运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：D.4.若幂函数的图象不经过坐标原点，则实数的取值为（）A.B.C.-1D.1【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义，解出或，，分别验证和时图像是否经过原点，即可得到答案.【详解】由题意有，解得或，①当时，，函数图象过原点，不合题意；②当时，，函数图象不过原点，合题意故.故选：B5.函数的图象大致是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】由函数的奇偶性和区间内的取值范围，利用排除法求解.【详解】由，解得，所以函数定义域，，是偶函数，排除A，B；由时，，排除D.故选：C6.已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，（）A.0.1359B.0.01587C.0.0214D.0.01341【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的单调性可求得，从而可得，再根据三段区间法即可求解.【详解】根据题意在上单调递减，可得，故，，，所以.故选：C. 7.已知函数设，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分类讨论，分别解不等式求出a取值范围.【详解】当时，，，当时，，，当时，，则，当时，，（当且仅当时等号成立），当时，，（当且仅当时等号成立），当时，，则.综上，故选：A． 8.已知函数，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断出为偶函数，再求导确定单调性，借助指数、对数运算比较的大小，再由单调性即可求解.【详解】显然，定义域为R，由可知函数为偶函数，又当时，，有，可知函数的减区间为，增区间为，又由，，由，可得．故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有下列式子：①；②；③；④.其中，可以是的一个充分条件的序号为（）A.①B.②C.③D.④【答案】BCD【解析】【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】，，Ý，Ü，Ü.②③④是的充分条件.故选：BCD. 10.下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.【详解】A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数，且幂函数在上是减函数，故A正确；B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数，且，则其在上单调递减，故B正确；C选项中，设，其定义域为，则，故是偶函数，且函数在上单调递减,函数在定义域上为增函数，所以在上单调递减,故C正确；D选项中，设，是，且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误.故选：ABC.11.已知函数若互不相等的实数满足，则的值可以是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到，，即可得到答案. 【详解】函数的图象图所示：设，因为，所以，当时，，时，，所以，即.故选：CD12.已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，，当时，都有，则下列结论正确的是（）A.B.是偶函数C.是周期为4的周期函数D.【答案】ABC【解析】【分析】由的图象关于直线对称，得到关于轴对称，赋值后得到，进而得到，判断出ABC均正确；根据，，当时，都有，得到在上单调递增，结合函数的周期及奇偶性得到，，判断出.【详解】的图象关于直线对称，故关于轴对称，是偶函数，B正确；中，令得：， 因为，所以，解得：，A正确；故，是周期为4的周期函数，C正确；对，，当时，都有，故在上单调递增，又是周期为4的周期函数，且是偶函数，故，，因为，所以，D错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知定义在上的函数的周期为2，当时，，则________.【答案】1【解析】【分析】由周期性可知，代入函数解析式求值即可.【详解】由题设，是周期为2的偶函数，所以.故答案为：114.已知函数，且，则的值为________.【答案】【解析】【分析】令，有，为奇函数，则有，可求的值. 【详解】，令，函数定义域为R，，为奇函数，，则，.故答案为：15.已知实数，则的最小值为____________．【答案】##【解析】【分析】由换元法与基本不等式求解，【详解】令，（当且仅当，即时，取等号）．故答案为：16.已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果. 【详解】令，则，所以在上单调递增，由，得，即，又在上单调递增，所以，解得.所以不等式的解集是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：此类问题要结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而解不等式即可.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.设（，且）.（1）若，求实数的值及函数的定义域；（2）求函数的值域.【答案】（1），定义域为；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据，解出值，再根据对数真数大于0即可求出其定义域；（2）对原函数化简得，再结合复合函数的单调性和值域对进行分类讨论即可.【小问1详解】因为，且，所以，解得，所以的定义域需满足，解得，即函数的定义域为. 【小问2详解】因为则，由，当或时，，根据二次函数的性质可得，①当时，在上单调递增，函数的值域为，②当时，在上单调递减，函数的值域为.18.生态环境部､工业和信息化部､商务部､海关总署､市场监管总局等五部门联合发布《关于实施汽车国六排放标准有关事宜的公告》，明确提出自2023年7月1日起，全国范围全面实施国六排放标准阶段，禁止生产､进口､销售不符合国六排放标准阶段的汽车．为调查市民对此公告的了解情况，对某市市民进行抽样调查，得到的数据如下表：了解不了解合计女性14060200男性18020200合计32080400（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为对此公告的了解情况与性别有关？并说明原因；（2）以样本的频率为概率．在全市随机抽取5名市民进行采访，求这5名中恰有3名为“了解”的概率．附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中．【答案】（1）认为对此公告的了解情况与性别有关，理由见解析（2） 【解析】【分析】（1）根据题意，求得，结合附表，即可得到结论；（2）由样本数据可知，“了解”的概率为，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.【小问1详解】解：假设为：对此公告的了解情况与性别相互独立，即对此公告的了解情况与性别无关，由题意，可得，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对此公告的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于.【小问2详解】解：由样本数据可知，“了解”的概率为，设这5名市民中恰有3名为“了解”为事件，则．19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若恰有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间为；（2）【解析】【分析】（1）令，，利用复合函数单调性即可得到答案；（2）利用判别式和韦达定理即可得到，解出即可.【小问1详解】令，，则， 当时单调递减，当时，单调递增，是单调递增函数，，，的单调递减区间为，单调递增区间为；【小问2详解】令，，若恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，令所以，解得或，即实数的取值范围是.20.为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名.（1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；（2）设表示选出的3人中外科医生的人数，求的均值与方差.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再分别求出“选出的外科医生人数多于内科医生人数”包含的各事件的概率，利用互斥事件的加法公式即可求得结果；（2）得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式和方差公式进行求解即可．【小问1详解】推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数， 这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名，设事件表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，表示“恰好选出2名外科医生”，，互斥，且，，，选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为；【小问2详解】由于从6名医生中任选3名的结果为，从6名医生中任选3名，其中恰有名外科医生的结果为，，那么6名中任选3人，恰有名外科医生的概率为，所以，，，.21.已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行．（1）求实数a的值和的单调区间；（2）若，且，证明：．【答案】（1）；的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导，由可求出实数a的值，结合导数与单调性关系即可求解的单调区间；（2）构造函数，利用导数判断的单调性，得到在 上恒成立，即可证明，再结合的单调性，即可证明.【小问1详解】，，由题可知，即，，当或时，，当时，，的单调递增区间为和，单调递减区间为；【小问2详解】证明：由（1）可知，设，则，，，在上单调递增，，上恒成立，即对一切恒成立，，，在上单调递增，且，，，即．22.已知函数．（1）求的解析式；（2）若对任意恒成立，求实数t的取值范围；（3）已知函数，其中，记在区间上的最大值为N，最小值为n，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3） 【解析】【分析】（1）利用凑配法，求函数的解析式；（2）化简不等式，并转化为，通过换元转化为求函数的最大值，即可求的取值范围；（3）首先化简函数，利用导数求函数的最大值和最小值，设，分情况讨论求函数的取值范围.【小问1详解】，即；【小问2详解】由，即令，则，设，则，故在区间上单调递增，∴，故t的取值范围为；【小问3详解】，，由可得，，由可得，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以当时，， 又∵，当时，，令，当时，，∵，当时，，综上所述，的取值范围．