河南省开封市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（Word版附解析）

开封市2022—2023学年度第二学期期末调研考试高二数学试题注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又直线经过点，所以直线的方程为，即.故选：D2.设随机变量，，则（）A.0.2B.0.3C.0.6D.0.7【答案】B【解析】【分析】利用正态曲线的对称性可求答案.【详解】因为，， 所以，所以.故选：B.3.直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（）A.10B.16C.20D.不能确定【答案】C【解析】【分析】由图形结合椭圆定义可得答案.【详解】设椭圆两个焦点为，由题可得，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为.故选：C4.若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误；对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误；对于C，假设向量共面，则，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确； 对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误；故选：C.5.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，依据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（）A.变量与独立B.变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.变量与不独立D.变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05【答案】A【解析】【分析】根据作出判断.【详解】由于，故变量与独立，A正确，BCD均错误.故选：A6.已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果.【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以圆的标准方程为.故选：A7.已知函数的极小值为，则（）A.B.C.1D.2 【答案】C【解析】【分析】先求导数，利用极小值可求答案.【详解】因为，所以；当时，，为减函数，没有极值.当时，由得；时，，为增函数；时，，为减函数；时，，为增函数；所以当时，有极小值，，解得.故选：C.8.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满足递推关系：，．已知数列为“斐波那契”数列，为数列前项的和，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据递推关系求得.【详解】，，，…… 以此类推，.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下表是2022年某市1～5月份新能源汽车销量（单位：千辆）与月份的统计数据，月份12345销量55668由表中数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（）A.B.与正相关C.由线性回归方程估计，月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆D.由已知数据可以确定，6月份该市新能源汽车销量一定为8.1千辆【答案】ABC【解析】【分析】A选项利用样本中心在回归直线方程上即可判断；对于利用线性回归方程即可判断；对于利用线性回归方程的意义即可判断.【详解】由得样本中心坐标，代入，得，解得故A正确；由线性回归方程的系数是，知与正相关，且月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆，故、正确；线性回归方程只能预测趋势，不能确定销量，故错误.故选：.10.若圆锥曲线，且的一个焦点与抛物线的焦点重合，则（）A.B.的离心率 C.为双曲线，且渐近线方程为D.与的交点在直线上【答案】BD【解析】【分析】由题可得的焦点为.则圆锥曲线为双曲线，可判断各选项正误.【详解】A选项，抛物线的焦点为，则焦点为，则圆锥曲线为双曲线，且，则.故A错误；B选项，由A分析可知，，故B正确；C选项，由A分析可知渐进线方程为：，故C错误；D选项，联立，方程有，由可知，则，即与的交点在直线上，故D正确.故选：BD11.已知平行六面体中，，与的交点为，，，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据空间向量基底法相关性质进行图形关系运算与模的运算.【详解】如下图所示，，故A正确，B错误； 由平方得，，所以，故C正确，D错误.故选：AC12.人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，和是显性基因，是隐性基因．则下列说法正确的是（）A.若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有18种B.若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种C.若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为D.若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为【答案】BC【解析】【分析】若父母的血型不相同，列出所有情况算数即可判断A，B；若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，可得父亲的基因类型及计算出相应概率，再根据父亲、母亲的基因类型可得孩子的基因类型及计算出相应概率，进而可判断C，D.【详解】若父母的血型不相同，当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种；当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种； 当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种，所以父母血型的基因类型组合有种，故A错误，B正确；若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，即基因类型为，则父亲血型的基因类型可能是，，，其对应的概率分别为，，，当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，对应的概率分别为，，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为，故C正确，D错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中的常数项为_______.【答案】【解析】【分析】写出通项公式，给r赋值即可得出．【详解】的通项公式为：Tr+1（-1）rx6﹣2r．令6﹣2r＝0解得r＝3，∴（-1）320，所以常数项为-20．故答案为-20．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题．14.已知为等比数列前项的和，且，则______． 【答案】【解析】【分析】先求出，设出公比，得到方程，求出，从而得到首项，利用求和公式求出答案.【详解】由可得，设公比为，则，解得，则，则.故答案为：15.在端午节假期间，某单位要安排某科室的3名男职工和2名女职工进行3天假期值班（分白班和夜班，每班1名职工），其中女职工不值夜班，男职工可以值白班和夜班，且每个人至少要值一次班，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）．【答案】252【解析】【分析】分类讨论白班是否有男职工，结合间接法以及分步乘法计算原理运算求解.【详解】1.若白班均为女职工，则不同的安排方法共有种，可知晚班均为男职工，则不同的安排方法共有种，则不同的安排方法共有种；2.若白班有男职工，则不同的安排方法共有种，①当值白班的男职工不值晚班时，则不同的安排方法共有种；②当值白班的男职工也值晚班时，则不同的安排方法共有种；则不同的安排方法共有种；综上所述：不同的安排方法共有种.故答案为：252.16.已知函数，则的最大值为______. 【答案】【解析】【分析】求得函数的导数，利用导数求得函数在一个周期内的单调性，进而求得函数的最值，得到答案．【详解】由题意，函数，则，令，即，解得，当时，的单调增区间为，单调减区间为，又由，，可得在一个周期内，函数最大值为，即函数的最大值为.故答案．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）求与直线平行且与圆相切的直线方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出线段AB的中垂线方程与直线l的方程联立方程组求得圆心坐标，再求出半径即得圆标准方程，也可用一般方程求解．（2）设出直线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得参数值，得切线方程．小问1详解】 的中点为，，所以线段的中垂线方程为，由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解，解之得所以圆心的坐标是，圆的半径，所以圆的标准方程是．【小问2详解】设所求直线方程为，圆心到直线的距离，所以，即，所以所求直线方程为．18.已知等差数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和，求的最小值及取得最小值时的值．【答案】（1）（2）取6或7，最小值为【解析】【分析】（1）根据递推公式,带入求得首项.由递推可得作差即可得等差数列的公差,即可得等差数列的通项公式（2）先求得等差数列的前项和,可得的通项公式,即可求最小值.小问1详解】由已知为等差数列，记其公差为，①当时，所以两式相减可得,②当时，，所以． 所以，．【小问2详解】，所以，当取与最接近的整数6或7时，最小，最小值为—21．19.某商场进行有奖促销，一次性消费5000元以上的顾客可以进行线上抽奖，游戏规则如下：盒中初始装有2个白球和1个红球．每次从盒中有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果某轮取到的两个球都是红球，则记该轮中奖并停止抽球；否则，在盒中再放入一个白球，然后进行下一轮抽球，如此进行下去，最多进行三轮．已知顾客甲获得了抽奖机会．（1）记甲进行抽球的轮次数为随机变量，求的分布列；（2）按照三轮中奖概率由小到大分別发放代金券1500元、500元、200元，求甲抽取代金券金额的期望．【答案】（1）的分布列为：123（2）100元【解析】【分析】（1）（2）综合应用离散型随机变量的分布列和数学期望的知识即可求得结果.【小问1详解】依题意，的取值可能为1，2，3，则，，，所以的分布列为：123 【小问2详解】记甲抽取代金券的金额为随机变量，的取值可能为200，500，1500，0，则，，，，所以，所以甲抽取代金券金额的期望为100元．20.如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，四棱锥的体积为，的面积为．（1）求到平面的距离；（2）设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等体积法即可求解；（2）通过建立空间直角坐标系求解.【小问1详解】四棱锥的体积为，底面是菱形，所以三棱锥的体积为，设到平面的距离为，所以，． 【小问2详解】因为为的中点，，所以，又因为平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为侧棱底面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，．如图，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，由（1）知，平面，，所以，则，，，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则即,取，则平面的一个法向量为． 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．21.已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．（1）求点的轨迹方程；（2）经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．【答案】（1）点的轨迹是椭圆，方程为（2）或【解析】【分析】（1）利用相关点法求解点的轨迹方程，得到点的轨迹为椭圆；（2）考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，利用垂径定理得到，联立直线与椭圆方程，由弦长公式求出，从而列出方程，求出答案.【小问1详解】点，点，则点，由点是的中点，得，，因在圆上，所以，可得，即，所以点的轨迹是椭圆。【小问2详解】若直线斜率不存在，则，将代入中，解得，则， 将代入中，解得，则，而，舍去；若直线的斜率存在，设为，则，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，则，联立得，设，，则，，，由，得，解之得．综上所述，直线的方程为或．22.已知函数的图象在点处的切线与直线 垂直．（1）求的值及切线的方程；（2）证明：．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由切线的几何意义和两直线垂直时斜率的关系即可得答案.（2）先对函数求导，分析导数可求出函数的最小值，因为最小值大于零，所以.【小问1详解】，因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，所以，解之得，又，所以切线的方程为，即．【小问2详解】由（1）知，，，令，，所以在区间上单调递增，又，，所以在区间上有唯一实根，且，当时，，当时，，从而当时，取得最小值，由，得，，