河南省开封市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（Word版附解析）

开封市2022-2023学年度第二学期期末调研考试高一数学试题注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则的虚部为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数，所以的虚部为.故选：B.2.在中，，设，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量加法和减法法则，计算可得答案.【详解】由，可得， ，整理可得，故选：A3.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“2枚硬币都是正面朝上”，事件“2枚硬币朝上的面相同”，则下列与的关系中正确的个数为（）①②互斥③互为对立④相互独立A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】【分析】根据古典概型的计算公式、互斥事件、对立事件、独立事件的概念对选项一一分析判断即可得出答案.【详解】由题意可知：一枚硬币有两个等可能结果：正面朝上、反面朝上，两枚硬币有两个等可能结果：正正、正反、反正、反反，事件“2枚硬币都是正面朝上”包含的情况为：正正，事件“2枚硬币朝上的面相同”包含的情况为：正正，反反，故，故①正确；②错误；事件的对立事件为：正反、反正、反反，故③错误；则，，所以，故④错误.故选：A.4.已知为空间中两条直线，为空间中两个平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则 【答案】D【解析】【分析】由选项A的条件可得出线在面内或线面平行可以判断A选项；由选项B的条件可得出两个平面平行或相交可以判断B选项；由选项C的条件可得出两条直线可以平行、相交或异面可判断C选项；根据面面垂直的判定可以判断D选项.【详解】对于A，若，则或，A错；对于B，若，则或相交，B错；对于C，若，则相交或或异面，C错；对于D，若，，则或，当，又，可得；当时，如图，平面内必然有一条直线设为与平行，由，则，由面面垂直的判定可得，所以D正确．故选：D．5.从长度为的5条线段中任取3条，这三条线段不能构成一个三角形的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用列举法及古典概型概率公式求解即可.【详解】取出3条线段的情况有，，共10种，不能构成三角形的有，共8种，故概率. 故选：D.6.已知分别是圆柱上､下底面圆的圆心，分别是上､下底面圆周上一点，若，且直线与垂直，则直线与所成的角的正切值为（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】如图，过点作圆柱的母线，交圆柱的上底面于点，连接，说明即为直线与所成的角的平面角，进而可得出答案.【详解】如图，过点作圆柱的母线，交圆柱的上底面于点，连接，则平面，则，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，设，则，因为平面，平面，所以，则，即直线与所成的角的正切值为.故选：B.7.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得 ，，则塔高为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长，即可求解．【详解】在中，，所以所以，由正弦定理，可得，在直角中，因为所以，即塔高为．故选：C．8.如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（） A.-2B.C.-1D.【答案】B【解析】【分析】利用几何知识易得，利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用二次函数求解最值即可，【详解】由题意，，，，所以，所以，即平分，由可得，所以当时，有最小值为.故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数满足，则（）A.B.在复平面内对应的点位于第四象限C.D.【答案】ABD 【解析】【分析】先根据复数的除法运算求出，再根据共轭复数的定义即可判断A；根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的模的公式即可判断C；根据复数的四则运算即可判断D.【详解】由，得，则，故A正确；在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选：ABD.10.某学校为普及安全知识，对本校1000名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动（满分为100分）.现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图，下列结论正确的是（）A.图中的值为B.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为130人C.该校高一学生竞赛得分上四分位数估计大于80D.该校高一学生竞赛得分的平均数估计为74.6【答案】ACD【解析】【分析】根据频率分布直方图性质可得，判断A；计算出得分不小于90的频率，即可判断B；计算得分介于50至80之间的频率与0.75比较，从而判断C；由频率分布直方图平均数计算公式计算判断D.【详解】由频率分布直方图性质可得：，解得，故A正确；得分不小于90的频率为，故得分不小于90的人数估计为人，故B 错误；得分介于50至80之间的频率为，所以该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80，故C正确；该校高一学生竞赛得分的平均数估计为，故D正确.故选：ACD11.若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.已知，与的夹角为，则下列说法正确的是（）A.B.与的夹角为C.与的夹角为D.【答案】AC【解析】【分析】根据向量的图形运算法则，结合余弦定理和向量数量积的定义等知识进行求解即可.【详解】如图所示，设分别为，将向量进行平移，平移至，将反向延长至点D，则，，在中，由余弦定理得，,所以，即，故A正确；显然，在中，，即，所以，所以与的夹角，故B错误；与的夹角，故C正确；，故D错误故选：AC 12.如图，在棱长为1的正方体中，为面对角线上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（）A.三棱锥体积为定值B.线段上存在点，使平面C.当点与点重合时，二面角的余弦值为D.设直线与平面所成角为，则的最大值为【答案】ABD【解析】 【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】对于A，因为三棱锥的体积，易得平面平面，平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥体积为定值，故A正确．对于B，如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，,，，，，设，所以，，设平面，，，则，取，则，则，要使平面，即，，此时，故B正确.对于C，当点与点重合时，此时，设平面，，，则，取，则，则，设平面，设二面角所成角为，所以， 因为为锐二面角，，所以，故C不正确；对于D，，，设平面，设直线与平面所成角为，，所以，，因为在上单调递增，所以当取得最大值时，取得最大值，当时，，此时，所以，所以D正确故选：ABD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，若，则______.【答案】##0.5 【解析】【分析】根据向量的垂直的坐标表示求解即可.【详解】解：因为，，，所以，解得.故答案为：.14.中岳嵩山是著名的旅游胜地，天气预报6月30日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，利用计算机进行模拟试验，产生之间的整数随机数，假定表示当天下雨，表示当天不下雨，每4个随机数为一组，产生如下20组随机数：据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为__________.【答案】0.4##【解析】【分析】求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3181，8425，2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.故答案为：0.415.已知三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围是__________.【答案】【解析】分析】由数量积定义、余弦定理结合已知式可得，由基本不等式求解即可.【详解】，由余弦定理可得：，所以， 所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以的取值范围是.故答案为：16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为，则正四面体的棱长为______.【答案】##【解析】【分析】设出棱长，先根据正四面体的性质求出外接球半径，再由四面体能够容纳的最大球的半径建立方程求解即可.【详解】设正四面体的棱长为a，根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球球心，由正四面体的性质可知该球球心为正四面体的中心，即为正四面体外接球的球心（内切球的球心）， 则为正四面体的外接球的半径，勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，连接，则三点共线，此时，由题意，所以，所以，如图：记为的中心，连接，由正四面体的性质可知在上.因为，所以，则，因为，即，解得，所以，解得，即正四面体的棱长为.故答案为：【点睛】方法点睛：求解几何体外接球的半径的解题思路：一是根据球的截面的性质，利用球的半径、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离三者的关系求解，其中确定球心的位置是关键；二是将几何体补形成长方体，利用该几何体与长方体共有的外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某校高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本.（1）求抽取男生､女生的人数；（2）观测样本的指标值（单位：），计算得到男生样本的均值为170，方差为14，女生样本的均值为160，方差为34，求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差.【答案】（1）30；20（2）方差为46，身高方差为【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的概念及计算方法，即可求解；（2）记男生身高的均值记为，方差记为；女生身高的均值记为，方差记为，得到总样本的均值为，结合，即可求解.【小问1详解】解：由题意，高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本，所以抽取男生人数为，女生人数为.【小问2详解】解：记男生身高为，其均值记为，方差记为；女生身高为，其均值记为，方差记为，把总样本数据的均值记为，方差记为，所以总样本的均值为，总样本的方差为，所以总样本的方差为46，据此估计高一年级学生身高的总体方差为.18.如图，在直四棱柱中，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）设是直线上的动点，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定即可证明；（2）利用等体积法求解即可.【小问1详解】如图所示，分别取的中点，连接，由题意得，且，且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，所以，又因为平面平面，所以平面.【小问2详解】由（1）平面，所以上任意一点到平面的距离都相等，所以，由题意，又，平面，所以平面，又，所以平面，即平面，因为，所以，所以三棱锥的体积为.19.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量 在斜坐标系中的坐标分别为.（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量在斜坐标系中的坐标.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由题可知：，再利用数量积的运算律求解即可；（2）利用向量在向量上的投影向量为求解即可.【小问1详解】由题可知：，则.【小问2详解】记与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为，所以向量在向量上的投影向量在斜坐标系中的坐标为.20.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 ，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.已知在某局双方平后，甲先发球.（1）若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为，求的值；（2）在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率.【答案】（1）的值为（2）【解析】【分析】（1）根据题意得到事件的可能情况进而列出方程求解；（2）根据题意分析知所对应的事件为前两球甲乙各得1分、后两球均为甲得分，根据题意的先后手情况，列出式子求解即可.【小问1详解】由题意可知，甲先发球，两人又打了2个球该局比赛结束，所对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，所以，解得，即的值为【小问2详解】由题意可知，若两人又打了4个球且甲获胜，所对应的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，因为甲发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为，所以21.在中，内角的对边分别为.已知.（1）求；（2）若的面积为，且为的中点，求线段的长. 【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，得出的关系，再根据得出的关系，再利用余弦定理即可得解；（2）先根据三角形的面积公式求出，再向量化即可得解.【小问1详解】由正弦定理，可得，即，又因为，得，所以；【小问2详解】由（1）可知，由，得，所以，得，又因为，所以，即线段的长为3. 22.三棱锥中，底面为正三角形，平面，为棱的中点，且（为正常数）.（1）若，求二面角的大小；（2）记直线和平面所成角为，试用常数表示的值，并求的取值范围.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）先证明平面，从而可得二面角的平面角是，求解即可；（2）在平面内作，连接，先证明平面，从而可得直线和平面所成的角，进而可得，求得，从而可求解.【小问1详解】底面为正三角形，为棱的中点，所以，因为平面平面，所以，又因为平面，所以平面 又平面，所以，所以二面角的平面角是，而，又，所以.故二面角的大小为.【小问2详解】在平面内作，连接，由平面平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，所以直线和平面所成的角，在中，根据等面积法可得，所以，因为，所以，即，所以即，因为，所以，所以直线和平面所成角的取值范围为.