河南省安阳市滑县2022-2023学年高一下学期期末数学试题（Word版附解析）

绝密★启用前滑县2022－2023学年下学期期未测评试卷高一数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．考生作答时，请将答案填写在答题卡上，在本试卷上答题无效.回答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选泽其他答案标号.一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求出，由共轭复数的概念及复数的几何意义即可求解.【详解】由题意，，所以复数z的共轭复数，复数z的共轭复数在复平面上对应的点为，位于第四象限．故选:D.2.某学校有教师200人，男学生1600人，女学生1200人．现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了60人，则n的值为（）A.150B.160C.180D.200【答案】A【解析】【分析】利用分层抽样等比例的性质列式即可得解.【详解】依题意，得，解得，故n的值为.故选：A. 3.如果复数z满足：，那么（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的模长、复数相等即可求得复数.【详解】设，则，由复数相等的充要条件，得解得即．故选：B.4.在中，边BC上的中线与边AC上的中线的交点为E，若，则（）A.1B.－1C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的基本定理结合条件即得．【详解】由题可知为三角形的重心，则，，，．故选：A．5.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则至少有2只测量过该指标的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先将这5只兔子编号，通过列举样本点的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.【详解】设5只兔子中测量过该指标的3只为，，，未测量过该指标的2只为，，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为，，， ，，，，，，共10种可能．其中至少有2只测量过该指标的情况为，，，，，，，共7种可能．所以至少有2只测量过该指标的概率为．故选：C6.为了了解某校高三学生视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为，设视力在到之间的学生人数为a，则a的值为（）A.27B.48C.54D.64【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质，对应求得频率与频数，可得答案.【详解】前两组的频数为，因为后五组的频数和为64，所以前三组的频数和为36，所以第三组的频数为，又最大频率为0.34，故第四组的频数为，所以．故选：C.7.已知满足，则夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根据数量积的运算律，整理化简等式，建立方程，解得平方和，结合完全平方和公式，解得模长乘积，利用夹角公式，可得答案.【详解】由題意，向量，满足，，可得，所以，又由，所以，设向量与的夹角为，则．故选：D.8.如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E（D，E都不与C重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为的两部分，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据面面平行的性质得到，得到特殊图形，根据棱台和棱柱的体积公式直接求解即可.【详解】因为三棱柱，所以，面面，又因为面面，面面，所以，显然为三棱台，设，（），三棱柱的高为，则， 所以三棱柱体积为，三棱台的体积为，.①三棱台的体积占，则，得，得或，均不符合题意；②三棱台的体积占，则，得，得或，因为，所以.故选：C二，选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.设、、为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，则【答案】AB【解析】【分析】根据平行的传递性、面面垂直判定定理、面面平行判定定理，可得答案.【详解】若，，根据平行的传递性，则，故A正确；直线，而，即，，所以，，故B正确；和两条平行直线分别平行的两个平面可以平行也可以相交，故C错误；两个平面垂直于第三个平面，这两个平面可以平行也可以相交，故D错误．故选：AB.10.随着生活节奏的加快，人们越来越注意养生和锻炼身体，其中走路是一种简单的锻炼方式，它不仅可以减肥，还可以增强心肺功能等.甲，乙两人通过某软件记录了各自在同一周内的日步数(单位：千步)，统计如下表所示：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日 甲179.514.55.217.812.114.9乙15139.9147.412.612.1根据上述表格，在这一周内，下列说法正确的是（）A.甲的日步数的中位数大于乙的日步数的中位数B.甲的日步数的平均数小于乙的日步数的平均数C.甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差D.甲的日步数没有乙的日步数稳定【答案】ACD【解析】【分析】根据样本数据的中位数、平均数、极差、方差等概念逐项进行判断即可.【详解】甲的日步数的中位数为14.5，乙的日步数的中位数12.6，甲的日步数的中位数大于乙的旦步数的中位数，选项正确；甲的日步数的平均数为，乙的日步数的平均数为，甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数，B选项错误；甲的日步数的极差为12.6，乙的日步数的极差为7.6，甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差，C选项正确；甲的日步数两极分化严重，极差大，在平均数附近的数据少，所以甲的日步数的方差比乙的日步数的方差大，因此乙的日步数比甲的日步数稳定，故D选项正确．故选：ACD.11.在中，内角A、B、C对应的边分别为a，b，c，则下到说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则是等腰三角形D.【答案】ACD【解析】【分析】对A：根据余弦函数的单调性分析判断；对B：根据正弦定理分析证明；对C：利用正、余弦定理分析判断；对D：根据两角和差公式分析判断.【详解】若，因为在上单调递减， 且，所以，故A正确；由正弦定理得，解得，又因为，且，所以或，故B错误；因为，根据正弦定理可得，由余弦定理可得，则，即，是等腰三角形，故C正确；因为，在中，，则，所以，故D正确．故选：ACD.12.如图，正方体的棱长为1，点M是侧面上的一个动点，点P是的中点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积与点M的位置有关B.若．则点M在侧面上运动路径的长度为C.若，则的最大值为D.若，则的最小值为【答案】BC【解析】【分析】对A：根据正方体的性质结合锥体的体积公式分析判断；对B：根据题意分析可得点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，进而可得结果；对C、D：根据题意分析可得点的轨迹是线段 ，进而可得结果.【详解】对于选项A：如图1，三棱锥的体积，因为点P为的中点，所以的面积是定值，又因为点M到面的距离是正方体的棱长，所以三棱锥的体积是定值，故A错误；对于选项B：如图2，过点P作，垂足为点Q，连接，则由正方体的性质得平面，平面，所以，又因为，正方体的棱长为1，所以，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，所以点在侧面上运动路径的长度为，故正确；对于选项C，D：如图3，过点作，垂足点，则点是的中点，连接QC，取BC的中点，连接，，，则，，因为，所以，因为平面，且平面，所以，，平面， 所以平面，平面，所以，所以点的轨迹是线段，在中，，，可得，所以的最大值为，故C正确；在中，，可知为锐角，则，所以点到的距离为，所以的最小值为，故D错误．故选：BC.【点睛】关键点睛：对B：分析可得，可知点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧；对C、D：分析可得，所以点的轨迹是线段.三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知甲、乙两组数据从小到大排列，甲：27，28，39，，49，50；乙：24，27，，43，48，52．若这两组数据的第40百分位数、第50百分位数分别相等，则______【答案】【解析】【分析】利用百分位数的定义求解．【详解】因为，， 所以第40百分位数为，第50百分位数为，则，所以．故答案为：.14.已知A(－2,1)，B(1,2)，C(0,－2)，D(－3,1)，则向量在向量上的投影向量为______(用坐标表示)【答案】【解析】【分析】根据投影向量的概念与平面向量坐标运算求解即可.【详解】因为，，，所以，所以向量在向量上的投影向量为．故答案为：.15.某同学为了测量学校天文台的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台，到地面的距离为，在它们之间的地面上的点(、、三点共线)处测得阳台，天文台顶的仰角分别是和，在用台处测得天文台顶的仰角为，假设、和点在同一平面内，则学校天文台的高度为______.【答案】【解析】【分析】由已知可得，求出、的大小，利用正弦定理求出，然后在可求出的长.【详解】在中，，在中，，， ，由正弦定理得，故，在中，，故学校天文台的高度为.故答案：.16.在三棱锥中，平面平面，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为______．【答案】【解析】【分析】通过题意画出图像，通过三棱锥图像性质以及三棱锥外接球的相关性质确定圆心位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果.【详解】如图所示，作中点，连接、，在上作的中心，过点作平面的垂线，在垂线上取一点，使得，因为三棱锥底面是等边三角形，是的中心，所以三棱锥外接球球心在过点的平面垂线上，又因，则即为球心，因为平面平面，，，平面平面，，所以平面，，， ，，设球的半径为，则，，即，解得，故三棱锥外接球的表面积为.故答案为：【点睛】三棱锥外接球表面积的问题，从以下几个角度考虑：（1）三棱锥的性质的应用；（2）通过三棱锥的几何特征确定外接球的球心和半径；（3）推理能力的应用；（4）数形结合，化归与转化思想的应用.四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，．（1）若，求实数k的值；（2）若，求实数t的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.（2）求出向量、的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算计算可得. 【小问1详解】因为，，所以，．因为，所以，解得．【小问2详解】，因为，所以，解得．18.某学校高一年级共1120人，在一次数学考试中随机抽取了100名学生成绩，发现分数都在内，统计得到的频率分布直方图如图所示（1）求图中a的值；（2）试估计这100名学生得分的平均数中位数(结果按四舍五入取整数)：（3）现在按分层随机抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次数学考试的总结会，求两组中各有一人被抽取的概率【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的频率之和为，得到关于的方程，解之即可得解；（2）利用频率分布直方图平均数与中位数的解法求解即可；（3）利用列举法，结合古典概型的概率公式求解即可.【小问1详解】因为频率分布直方图的频率之和为， 所以，则．【小问2详解】由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数为，因为，，所以中位数位于，不妨设为，则，解得，所以中位数为．小问3详解】在和两组中的人数分别为，，故在分组中抽取的人数为，分别记作，在分组中抽取的人数为，分别记作，则从这5人中随机抽取2人的所有抽取方法为，，，，，，，，，，共有10种，其中两组中各有一人被抽取的方法有，，，，，，共6种，所以两组中各有一人被抽取的概率为．19.如图所示，菱形的对角线与交于点，点、分别为、的中点，交于点，将沿折起到的位置.（1）证明：：（2）若，，，求二面角的大小【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）根据菱形的几何性质、中位线定理以及等腰三角形的“三线合一”性质，结合线面垂直判定定理与性质定理，可得答案；（2）根据二面角的平面角定义，作图，根据图中的几何性质，结合线面垂直定理定理，利用锐角三角函数，可得答案.【小问1详解】在菱形ABCD中，，，又点E，F分别为AD，CD的中点，所以，则，易知，所以．因为，平面，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】由，得，因为，所以，所以，于是，所以．由（1）知平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，因为，所以二面角的大小为.20.与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率【答案】（1），（2）【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；（2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.【小问1详解】记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则，，，即，，所以，，所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，．【小问2详解】有3个家庭回答正确的概率为，有2个家庭回答正确的概率为，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．21.在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，且．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由题意可得，，则由线面平行的判定定理可得平面， 平面，再由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质可证得结论；（2）由已知条件可得平面BCE，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由题意可得平面平面，则平面，所以，从而可求得结果.【小问1详解】∵四边形是矩形，∴，又平面，平面，∴平面．∵，平面，平面，∴平面．∵，平面，∴平面平面，又平面，∴平面．【小问2详解】∵平面，平面，∴，在矩形中，，又∵，平面∴平面．又平面，∴平面平面．【小问3详解】∵平面，平面，∴平面平面．又，平面平面，平面，∴平面，则为三棱锥的高，且．∵， ∴，∴．22.在ABC中．a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，（1）求角C：（2）若，求锐角ABC面积的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对已知等式利用正弦定理统一成角的形式，然后化简可求出角；（2）设的外接圆半径为，利用正弦定理将已知等式化简变形可求得，再利用正弦定理可求得，，然后表示出三角形的面积，利用三角函数恒等变换公式化简，再利用正弦函数的性质可求得结果．【小问1详解】及正弦定理得，∴，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴．【小问2详解】设外接圆的半径为，由，得，即，则，∴．的面积．∵，∴，，∴ ，∵，，，∴，∴，∴，