河南省焦作市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（Word版附解析）

焦作市普通高中2022—2023学年(下)高一年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合和集合，再由交集定义求解即可.【详解】由已知，，由不等式得，∴，即，∴，∴.故选：D.2.若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（）A.B.(，4)C.D.(，1)【答案】A【解析】 【分析】由题且不共线，据此可得答案.【详解】因向量的夹角为锐角，则，且不共线，即.综上可知，或.故选：A3.已知则=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式求解.【详解】解：因为，所以，故选：C4.已知函数，为了得到函数的图象，只需把的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据图象平移变换知识对各选项进行辨析即可.【详解】对于A，把的图象向左平移个单位长度，可以得到，故选项A不正确； 对于B，把的图象向右平移个单位长度，可以得到，故选项B不正确；对于C，把的图象向右平移个单位长度，可以得到，故选项C不正确；对于D，把的图象向左平移个单位长度，可以得到，故选项D正确.故选：D.5.如图，在中，为边上的中线，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量基本定理，用基底表示所求向量，根据向量的线性运算求解即可.【详解】由已知，∵中，为边上的中线，∴，又∵，∴，∴.故选：A.6.若，则的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】 【分析】将化为，后利用基本不等式可得答案.【详解】，因，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：B.7.如图是位于河南省焦作市的“腾飞”铜马雕塑，建于1985年，寓意焦作人民奋发昂扬的精神风貌.某同学为测量雕塑的高度CD，选取了与雕塑底部在同一条水平直线上的点A，B，并测得米，则雕塑的高度CD为（）参考数据：A.米B.米C.米D.米【答案】C【解析】【分析】设，在中，得到，在中，利用正弦定理求解.【详解】解：设，在中，， 在中，由正弦定理得，即，所以，故选：C8.已知则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据条件得到，则，后由函数的单调性比较大小即可.【详解】因为.注意到，因为在上单调递减，所以，所以.因为均在上单调递减，所以.又在上单调递增，所以.综上可知，.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若则（） A.B.事件A与B不互斥C.事件A与B相互独立D.事件A与B不一定相互独立【答案】BC【解析】【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可.【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故B正确；，所以，故A不正确；又，故成立，故事件A与B相互独立，故C正确，D错误故选：BC.10.已知向量，则（）A∥B.C.D.与的夹角为【答案】BD【解析】【分析】利用向量平行，向量模，向量垂直，向量夹角的坐标表示验证各选项正误即可得答案.【详解】A选项，，因，则与不共线，故A错误；B选项，，又，则，故B正确；C选项，因，则与不垂直，故C错误；D选项，，又，则，即与的夹角为，故D正确.故选：BD 11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.直线是的图象的一条对称轴C.函数是偶函数D.函数在上单调递减【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】因为，所以，所以，即，又，由于，所以，所以，即，所以，根据诱导公式得，所以，故A选项正确；令得，不存在，使得，所以直线不是的图象的一条对称轴，B选项错误； 因为，所以，易知函数的定义域为R，且，所以函数是奇函数，C选项错误；令得，当时，得在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以D选项正确.故选：AD12.已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（）A.若，，，则有两解B.若，，，则C.若，，是角的平分线，且点在边上，则的长度可能为D.若，，则面积的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用二倍角的正弦公式、正弦定理以及同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用等面积法求出的取值范围，可判断C选项；利用余弦定理、基本不等式结合三角形的面积公式可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，，，由正弦定理可得，所以，，故有两解，A对；对于B选项，因为，，，可得，所以，，则为锐角，故，B错； 对于C选项，设，其中，则，因为，即，即，所以，，而，C对；对于D选项，由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，等号成立，故，D对.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线.某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下:83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的75%分位数为___________.【答案】【解析】【分析】由百分位数定义可得答案.【详解】因，则从小到大第8个成绩为学习成绩的75%分位数，即.故答案为：14.已知向量的夹角为60°，且，则在方向上的投影数量为___________.【答案】-1【解析】【分析】先求出向量与向量的夹角，再根据投影的定义求解.【详解】设向量，与的夹角为，则，， ，在方向上投影的数量为，故答案为：-1.15.若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】求出函数在上的零点，分析可知，直线与函数在上的图象无交点，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】当时，令可得；当时，，此时函数单调递减，因为函数有且只有一个零点，所以，函数在上无零点，由可得，所以，直线与函数在上的图象无交点，如下图所示：且当时，，由图可知，当或时，直线与函数在上的图象无交点.因此，实数的取值范围是.故答案为：.16.已知在中，为边上的中线，且=4，则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】分别在和中，利用余弦定理得到， ，根据，两式相加得到，然后利用余弦定理结合基本不等式求解.【详解】解：如图所示：在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，因为，所以，两式相加得，则，当且仅当时，等号成立，所以，因为，所以，故答案为：四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知向量满足||=2，||=1，且与的夹角为120°.（1）求||;（2）求与的夹角.【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】（1）由向量模的计算公式可得答案；（2）利用向量夹角计算公式可得答案.小问1详解】；【小问2详解】，，，则，又，则与的夹角为.18.已知函数（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）求在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）；；（2）在区间上的最大值为2，最小值为1.【解析】【分析】（1）由周期计算公式及单调递减区间可得答案；（2）由题可得，后由在上的单调性可得答案.【小问1详解】因，则最小正周期为； 因在上单调递减，则，即的单调递减区间为：；【小问2详解】因，则，又在上单调递增，在上单调递减，.则当，即时，取最大值，为；当，即时，取最小值，为；即在区间上的最大值为2，最小值为1.19.已知的内角，，所对的边分别为，且向量与平行.（1）求;（2）若，，求的面积.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得，在根据正弦定理进行边角互化即可求得角；（2）根据余弦定理，及，，，配方可求解出 ，再利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】由题意得：，所以，由正弦定理得：，又因为，则有，又，所以.【小问2详解】由余弦定理得：，又，，，所以，解得，则的面积.20.全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作,2023年2月14日24日在网上进行问卷调查,该调查是国家卫生城市评审的重要依据,居民可根据自身实际感受,对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计,评分的频率分布直方图如图所示,数据分组依次为:（1）求的值以及这100名居民问卷评分的中位数；（2）若根据各组的频率的比例采用分层随机抽样的方法,从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人,查阅他们的答卷情况,再从这6人中选取2人进行专项调查,求这2人中恰有1人的评分在内的概率. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由各组数据频率之和为1可得a,由频率分布直方图计算中位数公式可得答案；（2）由（1）结合频率分布直方图可知6人中,[65,70)中的有2人,[70,75)中的有4人,后利用列举法可知总情况数与2人中恰有1人的评分在[70,75)内的情况数,即可得答案.【小问1详解】由频率分布直方图,；注意到前3个矩形对应频率之和为：,前4个矩形对应频率之和为：,则中位数在之间,设为x,则,即中位数为.【小问2详解】评分在[65,70),[70,75)对应频率为：,则抽取6人中,[65,70)中的有2人,设为,[70,75)中的有4人,设为.则从6人中选取2人的情况为：,共15种,恰有1人在[70,75)中的有8种情况,故相应概率为：.21.如图，在中，，，是边的中点，（1）求边的长;（2）若点在边上，且△的面积为，求边的长.【答案】（1）4（2） 【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理可求的长，利用为中点可得答案；（2）先利用余弦定理求出的长，再求出，利用面积公式可求答案.【小问1详解】因为，，，所以，解得，因为是边的中点，所以.【小问2详解】在中，;,,因为△的面积为，所以,即，解得.22.已知函数（1）判断的奇偶性;（2）判断的单调性，并用单调性的定义证明；（3）若方程在区间上恰有1个实根，求实数λ的取值范围.【答案】（1）奇函数（2）单调递增，证明见解析；（3）【解析】【分析】(1)根据奇偶性的定义求解；(2)根据单调性的定义证明； (3)先求出的值域，令，将原方程等价于直线与函数只有一个交点即可.【小问1详解】因为，定义域为R，又，所以是奇函数；【小问2详解】函数单调递增，设，则有：，因为，，，所以，即，所以函数单调递增；【小问3详解】由于是单调递增的，当时，，令，则等价于方程在时有一个根，也就等价于函数与直线在时有一个交点，函数图象如下：， 当时，，当时，，由图可知：当时满足题意；综上，实数λ的取值范围为.