河南省开封市五县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

开封五县2022～2023学年下学期期中考试高二数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有（）A.12种B.17种C.23种D.60种【答案】A【解析】【分析】由排列､组合及简单计数问题，结合分类计数加法原理求解即可．【详解】图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有种．故选：．2.从一批含有8件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从10件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型概率计算公式即可求解.【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：，从10件产品中取出3件产品的基本事件数为：，故选：A3.已知随机变量X服从两点分布，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【分析】令，则，根据题意即可求解.【详解】令，则，因为，所以，解得.故选：C4.某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（）A.3200B.6800C.3400D.6400【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于170cm的概率，即可计算作答.【详解】因为高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，且，于是，因此，所以高二男生身高不低于170cm的人数约为.故选：B.5.小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由条件概率公式求解即可【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件，“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，则由题意可得，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 故选：.6.已知随机变量，随机变量，若，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合期望和方差的性质即可求解.【详解】因为，所以，，因为，所以，解得，又，即，解得.故选：B7.下列说法正确的是（）A.B.C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】对于A，由加法公式的条件可判断；对于B，由概率的性质可判断；对于C，D，由条件概率的定义可判断.【详解】对于A，当与不是两个互斥事件，不成立，A错误；对于B，条件概率的性质与其他概率的性质一样，概率范围应该为，B错误；对于C，因为，若，则，所以或，C错误；对于D，若，则，所以，D正确.故选：D.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 8.中国空间站已经进入正式建造阶段，天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱将在2022年全部对接，形成“T"字结构.在中国空间站建造阶段，有6名航天员共同停留在空间站，预计在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（）A.360种B.180种C.720种D.450种【答案】D【解析】【分析】根据分组分配问题的处理步骤，先将6人分成三组，再将三组分到三个舱内即可.【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案.所以共有（种）不同安排方案.故选：.9.甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，比赛采取5局3胜制，假设每局比赛相互独立且没有平局，若每局比赛甲胜的概率为，则比赛在第4局结束的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分两种情况第4局甲赢、第4局乙赢，结合独立性乘法公式即可求解.【详解】打完第4局比赛结束，包含以下两种情况，（1）第4局甲赢，前三局甲赢两局，概率为；（2）第4局乙赢，前三局乙赢两局，概率为；打完第4局比赛结束的概率为第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 故选：C10.在一次与“概率”相关的研究性活动中，老师准备了30个不透明的纸箱，每个箱子中装了6个形状大小相同的小球（2个红球，4个黑球），分甲、乙两组让同学们来摸球.甲组：在20个纸箱中各任意摸出一个小球；乙组：在剩下的10个纸箱中各任意摸出两个小球.将甲组至少能摸出一个红球的概率记为，乙组至少能摸出一个红球的概率记为，则（）A.B.C.D.以上三种情况都有可能【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出甲组、乙组从一个纸箱中摸出有红球的概率，再利用独立重复试验的概率公式及对立事件的概率公式，列式比较大小作答.【详解】甲组从一个纸箱中任意摸出一个球，摸出是红球的概率为，甲组至少能摸出一个红球的事件，其对立事件为摸出的球没有红球，因此，乙组从一个纸箱中任意摸出两个球，摸出有红球的概率为，乙组至少能摸出一个红球的事件，其对立事件为摸出的球没有红球，因此，因为，所以.故选：A.11.将字母a，a，b，b，c，c放入如图所示的3×2的表格中，每个格子各放一个字母，若字母相同的行的个数为，则的数学期望为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【分析】求出的所有可能值，再结合排列、组合及古典概率求出各个值对应的概率作答.【详解】字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中的不同结果有种，随机变量的可能值为，，所以的数学期望为.故选：B12.已知函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（）A.或B.C.存在实数a，使得D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，由有两个零点求出a范围判断A；根据选项BCD的特征结合韦达定理表示成a的函数，再利用导数推理作答.【详解】函数的定义域为，求导得，依题意，，即在上有两个不等的实根，因此，解得，A错误；由韦达定理得，则，B错误；，令，，即函数在上单调递减，，因此恒成立，C错误；，令，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 ，令，，即函数在上单调递减，，则函数在上单调递减，于是，所以，D正确.故选：D【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则__________.【答案】-63【解析】【分析】通过赋值法可得结果.【详解】令，则，即令，则，.故答案为：-6314.某工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的优质品率为70%，乙生产线的优质品率为65%，两条生产线的产品统一进入包装车间进行包装.已知甲、乙两条生产线的产品数分别占总数的60%，40%.质检部门从包装好的产品中任取一个，则取到优质品的概率是______.【答案】##【解析】【分析】根据全概率公式即可求解.【详解】记任取一个产品为优质品为事件，记产品由甲生产线生产为事件，产品由乙生产线生产为事件，根据题意得，因为，且互斥.所以根据全概率公式可得，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 .故答案为：15.若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数__________.【答案】【解析】【分析】令，，公共点为，结合导数几何意义可构造方程组，由此可解得，进而求得值.【详解】令，，则，；设与公共点为，与在公动点处有相同的切线，，即，，解得：，，解得：故答案为：.16.对于函数，若存在，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若时，函数的图象上只有1对“隐对称点”，则__________.【答案】【解析】【分析】根据题意分析可得原题意等价于与函数的图象只有1个交点，分别判定与的单调性，结合图象分析运算.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【详解】由题意可得：关于原点对称的函数为，故原题意等价于与函数的图象只有1个交点，对于函数可知：在上单调递减，在上单调递增，故；对于，则，由于，则有：令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为；分别作出与的图象（如图所示）.若与的图象只有1个交点，则，即，解得.故答案为：.【点睛】方法定睛：对于方程的根的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 17.已知二项式，且．（1）求的展开式中的第5项；（2）求的二项式系数最大的项．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根据组合数公式求，再利用二项展开式的通项公式求第5项；（2）根据（1）的结果可知，是最大的二项式系数，代入通项公式求解.【小问1详解】由，得，即，解得或（舍去）．的二项式通项为，当时，，所以的展开式中第5项为．【小问2详解】因为是中最大的，所以第4项的二项式系数最大，，所以的二项式系数最大的项是．18.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性，只有打开才会知道自己抽到了什么.但有些经营者用盲盒清库存，损害消费者合法权益，扰乱市场.2022年7月26日，《上海市消费者权益保护条例》对盲盒等随机销售经营行为作出规范，明确经营者采取随机抽取的方式向消费者销售特定范围内商品或者提供服务的，应当按照规定以显著方式公示抽取规则、商品或者服务分布、提供数量、抽取概率等关键信息.现有一款盲盒套装，有5个不同的盲盒，其中有男孩卡通人物2个，女孩卡通人物3个，现从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒.（1）求取出的2个盲盒中，至少有1个男孩卡通人物的概率；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （2）在取出的2个盲盒中，女孩卡通人物的个数设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率求出没有男孩卡通人物的概率，再利用对立事件概率公式求解作答.（2）求出X的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.【小问1详解】从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒的试验有个基本事件，其中至少有1个男孩卡通人物的事件，其对立事件有个基本事件，所以至少有1个男孩卡通人物的概率.【小问2详解】依题意，X的可能值为0，1，2，，所以随机变量X的分布列为012数学期望为.19.中医是中华民族的瑰宝，是中国古代人民智慧的结晶，中医离不开中药，中药主要包括植物药、动物药、矿物药.某植物药材的存放年份X的取值为3，4，…，8，其中为一等品，为二等品.已知中药厂按照两种方式出售此植物药材，精品药材（只含一等品）的售价为10元/株；混装药材（含一等品与二等品）的售价为6元/株.某药店需要购买一批此植物药材.（1）已知中药厂库存中精品药材的年份X的分布列如下表所示，且X的数学期望，求a，b的值；X5678第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 Pa0.4b0.1（2）为分析中药厂库存中混装药材的年份Y，从混装药材中随机抽取20株，相应的年份组成一个样本，数据如下：3，5，3，3，8，5，5，6，3，4，6，3，4，7，5，3，4，8，4，7.用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求混装药材的年份Y的数学期望；（3）在（1）（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪种药材更具可购买性？并说明理由.注：①药材的“性价比”；②“性价比”大的药材更具可购买性.【答案】（1）；（2）；（3）混装药材更具可购买性，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据均值公式和分布列的性质即可求解；（2）根据数据先得到样本的频率分布列，从而可得到混装药材的年份Y的分布列，从而根据数学期望公式即可求解；（3）分别计算出精品药材和混装药材的性价比，从而可判断.【小问1详解】即，又由的概率分布列得即由，解得.【小问2详解】由已知得，样本的频率分布列如下:345678用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得混装药材的年份Y的概率分布列如下：345678第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 混装药材的年份Y的数学期望为.【小问3详解】混装药材更具可购买性,理由如下：因为精品药材的年份X的数学期望，售价为10元/株，所以精品药材的性价比为.又因为混装药材的年份Y的数学期望为，售价为6元/株，所以混装药材的性价比为.故混装药材更具可购买性.20.已知函数，.（1）若函数在上单调递增，求a的取值范围；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对求导后，问题转化为在[1,4]上恒成立，进而求得的最小值即可求解；（2）由可得只需证明，令，求导后求得；令，求导后求得，从而可得，问题得证.【小问1详解】，因为函数在[1,4]上单调递增，所以在[1,4]上恒成立，又在[1,4]上单调递增，所以，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 所以，解得，所以的取值范围是.【小问2详解】因为，所以要证，只需证，令，则.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增.所以时，取最小值,则,所以时，，因此.所以.21.现有4名学生甲、乙、丙、丁参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不合格和合格两个等次，若考核为不合格，授予0分加分资格；若考核合格，授予10分加分资格.若甲、乙、丙、丁考核为合格的概率分别为，，，，他们考核是否合格互不影响.（1）求在这次考核中，甲、乙、丙、丁这4名学生考核都合格的概率；（2）记X为在这次考核中甲、乙、丙、丁这4名学生所得加分之和，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）利用独立事件概率公式即得；（2）由题可知的所有可能取值为0，10，20，30，40．计算相应的概率可得分布列，再利用期望公式即得.【小问1详解】记“甲考核合格”为事件，“乙考核合格”为事件，“丙考核合格”为事件，“丁考核合格”为事件，“甲、乙、丙、丁考核都合格”为事件．第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 则事件是相互独立事件，于是．【小问2详解】随机变量的所有可能取值为0，10，20，30，40，，，．所以随机变量X的分布列为X∴．22.已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）求函数的极值；（2）若对，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）极大值为，无极小值（2）【解析】【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 ，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.【小问1详解】定义域为，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，无极小值.【小问2详解】由得：，在上恒成立；令，则；令，则，在上单调递增，又，，，使得，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；由得：，，，，则实数取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司