河南省安阳市鹤壁市新乡市商丘市2022-2023学年高三下学期开学考试（文科）数学试题（Word版附解析）

高三数学考试（文科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集与补集运算即可.【详解】解：因为集合，所以，又全集，所以.故选：C.2.设复数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算与加法运算可得复数，即可得模长.【详解】解：因，所以.故选：A.3.已知向量，，且，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据共线向量的坐标运算求解即可.【详解】因为，所以，解得．故选:B.4.下图是我国跨境电商在2016～2022年的交易规模与增速图，由图可以知道下列结论正确的是（）A.这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元B.这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C.这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元D.图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8％【答案】D【解析】【分析】根据图逐项进行分析即可求解.【详解】对于，由图可知：这7年我国跨境电商交易规模的平均数为：万亿元，故选项错误；对于，由图可知：交易规模的增速并不是越来越大，故选项错误；对于，由图可知：这7年我国跨境电商交易规模的极差为，故选项错误，对于，由图可知：6个增速的中位数为和的平均数，即，故选项正确，故选：.5.设函数的图像在处的切线为，则在轴上的截距为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求导得到切线斜率，写出切线方程，再求出轴截距即可.【详解】因为，所以的方程为，即,令，解得,则在轴上的截距为.故选：B6.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域及奇偶性进行排除,根据0到第一个零点处的函数值正负,即可判断选项C,D的正误.【详解】解:由题知,定义域为,解得,所以,故为奇函数, 排除A,B;令可得,即,解得,当时,,,此时,故选项D错误,选项C正确.故选:C7.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列说法正确的是（）．A.为奇函数B.在上单调递减C.在上的值域为D.点是图象的一个对称中心【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可求解.【详解】由题知，，所以A错误；因为，，在上先增后减，所以B错误；因为，，，所以C错误；因为，所以点是图象的一个对称中心，所以D正确． 故选：D.8.设椭圆的半焦距为，若，，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由解出，再由离心率公式计算即可.【详解】由，解得，即的离心率为.故选：C9.在正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取的中点，连接，，，证明得为异面直线与所成的角或其补角，再根据三角形的知识求解即可.【详解】如图所示，取的中点，连接，，．因为分别为和的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以为异面直线与所成的角或其补角．设，则，，所以．故选：B10.设等差数列的前项和为，若，且，则的最小值为（）A.11B.12C.13D.14【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式与前项和公式，由已知等式可求得首项和公差，从而得，解得不等式即可求得的最小值.【详解】解：设等差数列的公差为，由，，得，解得，，所以，所以，得或（舍），由于，所以的最小值为13.故选：C.11.如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，则该青铜器的表面积为（）（假设上、下底面圆是封闭的） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据圆柱和圆台的侧面积公式分别求解侧面积，再加上底面积，即可得该青铜器的表面积【详解】解：因为，，所以该青铜器的表面积.故选：A.12.定义函数,若至少有3个不同的解,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知有解,即,分和两种情况,画出大致图象,找到关键不等式,解出即可.【详解】解:由题知,记,所以图象为图象靠下的位置,因为,有两个根,分别为或,若至少有3个不同的解,则有一个解或者两个解, 即,解得或,当时,,所以对称轴为,若至少有3个不同的解,画大致图象如下:根据图象则需满足,即,解得;当时,,所以对称轴为,此时大致图象如下:根据图象则需满足,即,解得,又因为,故,当时,,解得根为-1,因为的根为-1,1, 此时的根为-1,1,不满足有三个根,故舍去,综上:.故选:B【点睛】思路点睛:该题考查函数与方程的综合问题,属于难题,关于已知函数有零点求参数范围的思路有:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化为求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:在同一坐标系下,画出有关函数图象,然后数形结合求解即可.第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.设x，y满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析】先根据条件画出可行域，利用几何意义求最值即可.【详解】由题可得，x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分所示：由图可知，点的坐标为，当目标函数平移到点处时，取得最小值，最小值为：.故答案为：. 14.已知函数，在上任取一个实数，使得的概率为__________.【答案】##0.4【解析】【分析】求一元二次不等式的解集，根据几何概型的定义求解即可.【详解】解：因为，所以，即，又因为，根据几何概型的定义，知所求概率为.故答案为：.15.1904年，瑞典科学家海里格･冯･科赫引人一条曲线一一科赫曲线，曲线是这样构造的：①作一直线段；②将直线段三等分，以中间三分之一线段为底作一个等边三角形，并擦去等边三角形的底，得到由四条线段构成的折线图；③对的每条线段同样用等边三角形的两边替代原线段的三分之一线段，得到折线图；④无限重复上述过程，依次得到，，最后得到一条复杂曲线即称为科赫曲线，若线段的长度为1米，则的长度为__________；若米，则正整数的最小值为__________.（参考数据：）【答案】①.②.【解析】 【分析】分析可知科赫曲线构造到线段的长度为，可得出关于的不等式，解出的取值范围即可得解．【详解】解：因为的长度为的长度为，所以的长度为.由，得，即正整数的最小值为32.故答案为：；.16.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，若，且与交于点M，则的面积的最小值为________.【答案】1【解析】【分析】由直线垂直可构造出斜率关系，得到，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得；联立两切线方程，可用表示出，代入点到直线距离公式，从而得到关于的面积的函数关系式，求得所求最值．【详解】解：抛物线的方程为，即，所以，设,，,，则，所以切线方程，，由于，所以，由题意可设直线方程为，抛物线方程联立，得，所以，则，，即即， 联立方程得，即，点到直线的距离，，所以．当时，面积取得最小值1．故答案为：1.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角C；（2）若，的面积为，求c.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、特殊角的正切值进行求解即可；（2）根据三角形面积公式和余弦定理进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理由因为，所以，所以由， 因为，所以【小问2详解】因为，的面积为，所以有，舍去，即，所以.18.某校近期举行了“2022年新闻时事知识竞赛”，现在随机抽查参赛的200名学生的得分（满分100分），按照，，，，，，制作成如图所示的频率分布直方图，已知成等差数列.（1）求出的值，并计算参赛得分在的学生人数；（2）学校为进一步了解学生对新闻时事获取的途径，准备从得分在与的学生中按分层抽样的方法抽出6名学生，然后从中再选出2名学生交流新闻时事获取的途径，求这2人中恰有1人的得分在内的概率.【答案】（1），；参赛得分在的学生人数为（2）【解析】【分析】（1）由等差中项的性质结合频率之和为1求出的值，并由频率、样本容量计算参赛得分在的学生人数； （2）由分层抽样确定从得分在与抽取人数，再由列举法得出所求概率.【小问1详解】因为三个数成等差数列，所以，又，所以.故参赛得分在的学生人数为.【小问2详解】由频率分布直方图可知得分在与的人数比为，所以按分层抽样的方法抽出6名学生，其中得分在的抽2人，记为，得分在的抽4人，记为，然后从中再选出2名学生交流的所有情况为，，共15种情况，恰有1人的得分在的所有情况为，共8种情况，所以所求概率.19.如图，四边形是菱形，，平面，，.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）根据线面平行证明异面直线即可；（2）根据锥体等体积转化求解点到平面的距离即可.【小问1详解】证明：连接交于因为四边形是菱形，所以，又平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，又，所以平面就是平面，因为平面，所以.【小问2详解】解：连接，取的中点，连接，因为，所以，所以， 设点到平面的距离为，则，又，且，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，因为平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，因为正三角形，所以，所以平面.因为，所以，由，解得.20.已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上.（1）求双曲线C的方程；（2）若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）直线的斜率为定值【解析】【分析】(1)根据离心率公式确定，再根据双曲线经过点即可求解；(2)利用韦达定理用坐标表示出,进而可求解.【小问1详解】由题可得离心率，所以，又因为，所以，所以双曲线方程为，又因为双曲线过点，所以，解得， 所以双曲线方程为.【小问2详解】设直线的方程为，联立得，则得，，得，，，因为，所以，所以，即，所以，所以即，得或，若，则直线的方程为，即过点，不符合题意，若，则，满足，综上直线的斜率为定值.21.已知函数. （1）若的导函数为，讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）由可求，再根据的导函数，讨论参数的范围即可得出的单调性；（2）对任意的恒成立，转化为，令，讨论,和研究函数的单调性，并根据函数值大于零，得出的取值范围.【小问1详解】因为,，所以.当时，，所以在上为减函数，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数.【小问2详解】恒成立，即恒成立.令，则.当时，在上单调递增，因为，所以不满足条件.当时，恒成立，满足条件. 当时，令，存在，使得，因为在上单调递增，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.综上，实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）已知A，B是曲线C上的两点，且，求的最大值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先消去参数得到普通方程，利用极坐标与直角坐标方程的互化即可求解；（2）利用的几何意义，将问题转化为关于三角函数的方程，再通过辅助角公式即可求解.【小问1详解】先将曲线C的参数方程（为参数）化为普通方程，得，再转化成极坐标方程，进一步化简得．【小问2详解】不妨设点A的极坐标为，点B的极坐标为，所以，，所以，所以，所以的最大值为．选修4-5：不等式选讲23.已知函数．（1）求不等式的解集； （2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，进而得到不等式的解集；（2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可.【小问1详解】解：不等式等价于或或，因为的解集为，解集为，的解集为，所以不等式的解集为．【小问2详解】解：若，不等式等价于，即，所以，当时，恒成立，令，则，即所以，解不等式得或．若，不等式等价于，所以，或在恒成立所以或，解得或．综上，或，即实数a的取值范围是．