贵州省六盘水市水城区2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年第一学期高二质量监测数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.1．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A.B.C.D.2.在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则的坐标为（）A.B.C.D.3.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.4.若为偶函数，则（）A.0B.5C.7D.95.已知椭圆，则的取值范围为（）A.B.C.D.6已知直线与圆交于两点，则（）A.1B.2C.4D.7.有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（） A.B.C.D.8.已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于两点，且为的中点，则（）A.1B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（）A.的长轴长为B.的短轴长为C.的坐标为D.的最小值为10.已知向量，，则下列结论正确的是（）A若，则B.若，则C.若，则D.若，则11.若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A.的最小正周期为B.是奇函数C.的图象关于直线对称D.在上单调递增12.在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心在轴上，且，，圆与圆关于轴对称，直线之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（） A.设是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则两点间的距离的最大值为7.6B.小圆标准方程为C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为D.小圆与小圆公共弦所在的直线方程为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的虚部为__________．14.已知方程表示一个圆，则的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________．15.已知正方体外接球的体积为，则该正方体的棱长为__________．16.已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率，和是椭圆上的点，且，的面积为，是坐标原点，则的最小值为__________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知直线经过点．（1）若经过点，求的斜截式方程；（2）若在轴上的截距为，求在轴上的截距．18.已知圆的圆心的坐标为，且经过点．（1）求圆的标准方程；（2）若为圆上的一个动点，求点到直线的距离的最小值．19.已知分别是椭圆的左顶点､上顶点，且． （1）求点的坐标；（2）若直线与平行，且与相切，求的一般式方程．20.如图，在直三柱中，，分别为，的中点．（1）若，求的值；（2）求与平面所成角的正弦值．21.已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，求面积的最大值．22.已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率为，是上的一点．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值． 2023-2024学年第一学期高二质量监测数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.1．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由并集的定义求解.【详解】集合，则．故选：D2.在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件可得出点的坐标.【详解】在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为.故选：A. 3.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解.【详解】由题意，该直线的斜率为，设直线的倾斜角为，可得，因为，所以所求的倾斜角为．故选：D.4.若为偶函数，则（）A.0B.5C.7D.9【答案】C【解析】【分析】求出的表达式，根据偶函数定义即可求出的值.【详解】由题意，为偶函数，∴，，∴，解得：，故选：C.5.已知椭圆，则的取值范围为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程，列出不等式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意得得且． 故选：B6.已知直线与圆交于两点，则（）A.1B.2C.4D.【答案】C【解析】【分析】根据题意圆心为，半径，圆心到直线的距离为，利用垂径定理即可求得弦长.【详解】圆心到直线的距离为，又圆的半径，所以．故选：C7.有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】用列举法列举出样本空间，结合古典概型概率计算公式即可求解.【详解】记3克的砝码为，，1克的砝码为，，2克的砝码为，从中随机选取两个砝码，样本空间，共有10个样本点，其中事件“这两个砝码总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为．故选：A.8.已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于两点，且为的中点，则（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】设，因为为的中点，可得，代入椭圆的方程，两式相减，得出关于的方程，即可求解.【详解】设，因为为的中点，可得又由，两式相减得，则，得．故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（）A.的长轴长为B.的短轴长为C.的坐标为D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，即可求解.【详解】由椭圆，可得，，则，所以，椭圆的长轴长为，的短轴长为，上焦点的坐标为，根据椭圆的几何性质，得到的最小值为．故选：ABD.10.已知向量，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则 C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出的关系判断C，D.【详解】若，则，得，故A正确，B错误；若，则，即，故C正确，D错误；故选：AC.11.若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A.的最小正周期为B.是奇函数C.的图象关于直线对称D.在上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，可得，则的最小正周期为，且不是奇函数，所以A正确，B不正确；当时，可得，所以的图象关于直线对称，所以C正确；由，得，所以在上单调递增，所以D正确．故选：ACD. 12.在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心在轴上，且，，圆与圆关于轴对称，直线之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（）A.设是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则两点间的距离的最大值为7.6B.小圆标准方程为C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为D.小圆与小圆的公共弦所在的直线方程为【答案】ABD【解析】【分析】根据五圆的位置，求两点间的距离的最大值判断选项A；由圆心坐标和半径求小圆的标准方程判断选项B；求每个圆环的面积判断选项C；作差法求两圆公共弦所在的直线方程判断选项D.【详解】设每个大圆的半径为，每个小圆的半径为．因为，所以，两点间距离的最大值应为，A选项正确．依题意可得小圆的圆心为，半径，所以小圆的标准方程为1，B选项正确．因为每个圆环的面积为，即，而五个圆环有重合的部分，所以图中五个圆环覆盖的区域的面积小于，C选项错误．又小圆的方程为，所以小圆和小圆两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程，化简得，D选项正确．故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.的虚部为__________．【答案】5【解析】【分析】由复数的乘法和复数虚部的定义求解.【详解】由题意得，所以的虚部为5．故答案为：514.已知方程表示一个圆，则的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________．【答案】①.②.2【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到，求出的取值范围，并根据求出半径的最大值.【详解】该方程可化为圆的标准方程．由，得．因为，所以该圆的半径的最大值为．故答案为：，215.已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的棱长为__________．【答案】【解析】【分析】设该正方体的棱长为，由正方体的性质得得到对角线，也就是外接球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式得到关于的方程，求解即得.【详解】设该正方体的棱长为，则该正方体的外接球的半径为.由，得, 故答案为：.16.已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率，和是椭圆上的点，且，的面积为，是坐标原点，则的最小值为__________．【答案】8【解析】【分析】设，由的面积，解出，在中利用余弦定理，结合离心率，求出，得椭圆方程，设，表示出，利用二次函数的性质求最小值.【详解】由，得．设，则，，解得．中，，解得，从而，椭圆方程为，，设，则，当时，的最小值是8．故答案为：8四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知直线经过点．（1）若经过点，求的斜截式方程；（2）若在轴上的截距为，求在轴上的截距．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解；（2）根据截距式代入即可求解.【小问1详解】 由题意得，则的方程为，其斜截式方程为．【小问2详解】设的截距式方程为，由题意得得，所以在轴上的截距为．18.已知圆的圆心的坐标为，且经过点．（1）求圆的标准方程；（2）若为圆上的一个动点，求点到直线的距离的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求得圆的半径为，结合圆的标准方程，即可求解；（2）根据题意，求得圆心到直线距离为，进而求得点到直线的距离的最小值．【小问1详解】解：因为圆的圆心的坐标为，且经过点，可得圆的半径为，所以圆的标准方程为．【小问2详解】解：由题意，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为．19.已知分别是椭圆的左顶点､上顶点，且． （1）求点的坐标；（2）若直线与平行，且与相切，求的一般式方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据椭圆的顶点可得，求得即可得解；（2）根据直线得平行设，联立得，再利用即可得解.【小问1详解】由题意得，得，又，所以，所以．【小问2详解】由题意得．因为与平行，所以的斜率为2．设，联立得．因为与相切，所以，得，故的一般式方程为或．20.如图，在直三柱中，，分别为，的中点． （1）若，求的值；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：由向量的线性运算法则，可得，又由，所以．【小问2详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以．设平面的法向量为，则，取，可得，所以， 设与平面所成的角为，可得．21.已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用两角和的正弦公式得到，再利用正弦定理求解；（2）利用余弦定理，结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解.【小问1详解】因为，所以，即．由正弦定理得．由，得，则，由，得．【小问2详解】 由余弦定理得，则．由，得，当且仅当时，等号成立．故，即面积的最大值为．22.已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率为，是上的一点．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设方程为，联立方程组，得到，利用弦长公式，求得和，得到，结合换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：由椭圆的左､右焦点分别为，其离心率为，可得且，解得，故椭圆的方程为． 【小问2详解】解：由题意知直线的斜率不为0，设其方程为，设点，联立方程，可得，所以，可得．又因为，所以，可得．令，上式，当且仅当，即时，取得最小值．【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.