贵州省六盘水市2023-2024学年高二数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

六盘水市2023-2024学年度第一学期期中质量监测高二年级数学试题卷（考试时长：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卷交回．第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】先得，，根据并集的运算可得.【分析】，，则，故选：C2.复数的虚部是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算，分子和分母同时乘以，进行化简运算，找到虚部即可. 【详解】由题意可得：，故虚部为:.故选：B.3.某校有教师360人，其中高级及以上职称教师240人，一级职称教师80人，其他职称教师40人，现采用分层抽样从中抽取18人参加某项调研活动，则高级及以上职称教师应抽取人数是（）A.2B.4C.9D.12【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义求解即可.【详解】由题意知，高级及以上职称教师应抽取的人数为人.故高级及以上职称教师应抽取的人数为12人.故选：D.4.若；，则p是q的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得命题为真命题时，的取值范围，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，可得，解得，构成集合又由，可得，解得，构成集合，因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件.故选：B.5.已知，，且函数的图象经过点，则的最小值为（）A.B.9C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据指数恒过的定点得，利用基本不等式中常数代换技巧即可求解最值.【详解】因为函数的图象经过点，所以，又，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C6.函数在区间的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】判断出函数的奇偶性，再利用特殊值的正负得出选项．【详解】设，则，即在上是奇函数，排除B，D，又，故选：A7.已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（） A.B.C.D.0【答案】A【解析】【分析】将，设基底，表示出，，运用数量积定义解决问题.【详解】解：.故答案选：A.8.已知定义在上的函数满足，，则下列选项不一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据条件可得函数的周期为2，利用赋值法可得，由此可判断各选项.【详解】因为，，可得，，,即得，所以函数的周期为2，令，可得，故A，B正确；又的周期为2，所以，故D正确；而C不一定正确. 故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中正确的有（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】CD【解析】【详解】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.【分析】A.缺少这个条件，故A错误；B.若，，，则或相交，故B错误；C.若，，则，又，则，故C正确；D.若，，则，又，则，故D正确.故选：CD10.下列等式成立的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】应用三角恒等变换化简求值，逐个判断即可.【详解】对A，，A错误；对B，，B正确； 对C，，C正确；对D，，D错误.故选：BC11.已知三条直线：，，不能围成一个三角形，则实数k的值为（）A.B.C.0D.2【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，分直线与平行或重合，直线与平行或重合和直线过和的交点，三种情况讨论，结合两直线平行的判定和两直线的交点坐标，列出方程，即可求解.【详解】根据题意，直线，不能围成一个三角形，当直线与平行或重合时，可得，解得；当直线与平行或重合时，可得，解得；当直线过和的交点时，由方程组，解得，即两直线的交点为，代入直线，可得，解得，所以实数的值为.故选：BCD.12.已知实数满足，则下列不等式可能成立的有（）A.B.C.D.【答案】ABD 【解析】【分析】先令连等式为，取特殊值或者画出函数图像确定ABD可能成立，再利用导数证明C错误即可.【详解】法一：令，则，当时，此时，D正确；当时，此时，B正确；当时，此时，A正确；令，则，令，则，令，解得，此时单调递增，令，解得，此时单调递减，所以，即恒成立，所以在上单调递增，所以，所以恒成立，即恒成立，所以C错误，故选：ABD法二：令，则，如图所示，分别画出的图像， 当时，此时，D正确；当时，此时，B正确；当时，此时，A正确；令，则，令，则，令，解得，此时单调递增，令，解得，此时单调递减，所以，即恒成立，所以在上单调递增，所以，所以恒成立，即恒成立，所以C错误，故选：ABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，则的值为________．【答案】0【解析】 【分析】运用向量数量积定义和坐标运算规则解决问题.【详解】解：因为，，所以.故答案为：0.14.从0~9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字是奇数的概率为________．【答案】##0.5【解析】【分析】利用列举法求解出古典概型的概率.【详解】，其中个位数字是奇数的有，共5个，故这个数的平方的个位数字是奇数的概率为.故答案为：15.四面体ABCD中，，，，则该四面体的外接梂的表面积为________．【答案】【解析】【分析】利用补形法解决外接球问题.【详解】解：因为，，，故可以将此四面体ABCD的外接球等价于如图所示的长方体的外接球，所以，，，所以，外接球的直径，故外接球的半径为，所以外接梂的表面积为. 故答案为：.16.已知定义在上奇函数为单调递增函数，若恒成立，则t的取值范围是________．【答案】【解析】【详解】由题为在上的奇函数和单调递增函数，根据，得，设得，再利用基本不等式可得结果.【分析】由得，因为为上的奇函数，所以，故，又因在上单调递增，所以即，设，则恒成立，则，因，当且仅当即，时等号成立,故.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用正弦定理化简，再运用余弦定理便可解出结果；（2）运用方程组思想解出的值，从而解出的面积.【小问1详解】在ABC中，因为，由正弦定理可得，,化简得，所以，因为，所以；【小问2详解】由（1）及题意可得，故，整理得，又，解得，所以.18.已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．（1）求函数的解析式； （2）若关于x的方程在区间上恰有两个实数根，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据图像平移可得；（2）将方程在区间上恰有两个实数根，转化为函数在区间的图像与函数的图像有两个交点，利用函数图像可确定实数的取值范围.【小问1详解】函数，由图象向右平移可得，所以函数的解析为：.【小问2详解】函数，当时，，函数的图像如下： 要使方程在区间上恰有两个实数根，等价于函数在区间的图像与函数的图像有两个交点，由图可知：，故实数的取值范围为：.19.为了解某校任课教师年龄分布情况，现随机抽取100名教师，统计他们的年龄，并进行适当分组，绘制出如下图所示的频率分布直方图．（1）求出频率分布直方图中实数a的值．根据频率分布直方图，估计该校任课教师年龄的下四分位数；（结果保留小数点后2位有效数字）（2）根据频率分布直方图，现从年龄在内的教师中采用分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取2人分享他们的教学经验，求这2人中至少有1人年龄在内的概率．【答案】（1）a=0.016，下四分位数约为34.58（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的特征和下四分位数的概念计算，即可求解；（2）由（1）求出抽取在[45,50)、[50,55)内的人数，标记，列举出所有的样本点，利用古典概型的概率公式计算即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图得(0.012+2a+2×0.024+0.048+0.060)×5=1， 解得a=0.016，设样本数据的下四分位数为m，则有：，解得；根据频率分布直方图的下四分位数，可估计该校任课教师年龄的下四分位数约为34.58.【小问2详解】由（1）得a=0.016，结合频率分布直方图可算得年龄在[45,50)的人数为人，年龄在[50,55)的人数为人；用分层抽样的方式从这两组中抽取5人，则落在[45,50)内的应抽人，在[50,55)内的应抽人，将年龄在[45,50)的3位教师编号为1，2，3，年龄在[50,55)的2位教师编号为，b；则从这5人中随机抽取2人，所有基本事件为：（1,2）（1,3）（1,）（1,b）（2,3）（2,）（2,b）（3,）（3,b）（,b）共10种，至少有1名年龄在[50,55)的有（1,）（1,b）（2,）（2,b）（3,）（3,b）（,b）共7种，所以这2人中至少有1名年龄在[50,55)的概率为20.如图，四棱锥中．底面为矩形，平面，M，N分别为，的中点．（1）若点E是线段的中点．证明：平面；（2）设，，，线段上是否存在点E，使得与平面所成角的正弦值为．【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）连接交于点O，连接，则，又，从而可证，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，设（0≤≤1），利用空间向量法求出与平面的所成角，求出即可.【小问1详解】连接交于点O，连接，因为底面为矩形，故点O是中点，又E是线段的中点，在PBD中，有；在PBA中，M，N分别为，的中点，有，所以，平面，又平面，故平面；【小问2详解】以A为原点为基底，建立如图空间直角坐标系，因为，所以，则：，设平面PBC的法向量为，则，即：，令，解得，则.设（0≤≤1），则，，要使得AE与平面PBC所成角的正弦值为，则：，解得：，（舍去）故线段上存在点E，使得与平面所成角θ的正弦为. 21.已知直线（为任意实数），直线.（1）当时，求的值；（2）过点作直线的垂线，垂足为Q，求点Q到直线的距离的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两直线平行公式建立的方程求解，注意检验两直线重合的情况；（2）先求出直线的垂线，联立方程求解点Q，把点Q到直线的距离的最大值转化为两点的距离求解.【小问1详解】当时，有，解得；经检验与不重合，所以.【小问2详解】，斜率为，过点与直线的垂线的直线方程为：即，联立方程，解得，即Q，直线即， 联立，解得，所以直线恒过点，使点Q到直线的距离的最大值，只需线段QR垂直于直线，此时点Q到直线的距离的最大值为：.22.已知定义在的函数，其中．（1）若方程有解，求实数a取值范围；（2）若对任意实数，不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可将原方程变形为，利用转化的思想可知函数的图象有交点，结合二次函数的性质即可求解；（2）易知函数在区间上为减函数，则、，结合恒成立问题，列出不等式组，解之即可求解.【小问1详解】已知，当时则.要使方程有解有解，即方程有根；转化为函数的图象有交点；又函数的函数值大于，故实数a的取值范围为. 【小问2详解】由可知，函数在区间上为减函数，；故函数在区间上的最大值为：，最小值为：对于任意实数，不等式在区间上恒成立，等价于：，即，解得，对任意实数恒成立，即，解得：.