福建省三明第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附答案）

三明一中2023-2024学年上学期12月月考高二数学科试卷第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.2.设函数在处存在导数为3，则（）A.1B.3C.6D.9 3.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（）A.B.C.D.4.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（）A.B.C.D.5.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中， 的图象大致是（）A.B.C.D.6.若数列满足，则（）A.511B.1023C.1025D.2047 7.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一渐近线交于点，若是的中点，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.3 8.若恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二､选多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.10.设椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上的动点，则下列结论中正确的有（） A.离心率B.C.面积的最大值为1D.直线与以线段为直径的圆相切11.已知数列的前项和为，若，则（）A.4是数列中的项B.当最大时，的值只能取5C.数列是等差数列D.当时，的最大值为1112.如图，棱长为6的正方体中，点满足，其中，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）A.当时，平面B.当时，若平面，则的最大值为C.当时，若，则点的轨迹长度为D.过三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为__________. 14.已知点，直线过点，且的一个方向向量为，则点到直线的距离为__________.15.直线过点且与椭圆相交于两点，若点为弦的中点，则直线的斜率为__________.16.如图，有一列曲线已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉.记为曲线所围成图形的面积.则数列的通项公式__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知的三个顶点分别为，直线经过点.（1）求外接圆的方程；（2）若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.18.设函数.（1）求的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.19.如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值. 20.已知数列的首项，前项和为，且.（1）证明：数列是等比数列；（2）令，求函数在处的导数.21.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于A､B（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线的斜率分别为，证明：.22.已知椭圆的右焦点为，点为椭圆上一动点，且到的距离与到直线的距离之比总是.（1）求椭圆的方程；（2）过做椭圆的切线，交直线于点.①求证：；②求三角形面积的最小值. 三明一中2023-2024学年上学期12月月考高二数学科试卷参考答案一､选择题1-1212345678910111CABDCBBAADBCDACDABC二､填空题：13.14.15.16.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，又因为，所以是等腰直角三角形，所以的圆心是的中点，即圆心，半径，所以的方程为；（2）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为，①当直线与轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线为，与圆心的距离为1，满足条件；②当直线的斜率存在时，设，即，则圆心到直线的距离为，解得， 此时直线的方程为，即，综上可知，直线的方程为或.18.【详解】（1）由题意可得，定义域令，即，所以；故的单调递增区间为，递减区间为（2）因为，故，令，即，故在单调递减，在上单调递增，故最小值为，又因为，，故最大值为.19.【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，可，所以，又因为，且平面， 所以平面（2）解：因为且平面，所以平面，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，可得，则由（1）知，平面所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，设所求的锐二面角为，则，又因为平面与平面所成夹角为锐角，所以平面与平面所成夹角的余弦值为20.【详解】（1）由已知可得当时，，两式相减得，即，从而.当时，，所以，又，所以，从而，所以，又，数列是以6为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）知：，整理得，因为，所以.则，记，记，则，两式相减，得：，所以，又，所以.21【详解】（1）解：因为椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，则这个直角三角形为等腰直角三角形，腰长为，斜边长为，则，可得，所以，，所以，椭圆的方程可表示为，将点的坐标代入椭圆的方程可得，解得，故椭圆的标准方程为（2）解：设点，联立可得，解得，显然，否则直线过点， 由韦达定理可得，所以，.，因此，22.【详解】（1）由题意，设点为椭圆上任意一点，，则，点到直线的距离为，，化简整理得，又点满足，即，，解得，所以椭圆的方程为（2）先来证明过椭圆上任意一点的切线方程为.当过点切线的斜率不存在时，即切线为或，满足上式；当切线斜率存在时，设过点切线方程为，代入椭圆方程， 整理得，解得，，，所以切线方程为，整理得，所以过椭圆上任意一点过点切线的切线方程为.①在切线方程中，令，解得，所以点的坐标为，又，，，②，又，，又点到切线的距离为，，令，，令，令，对称轴为， 由二次函数单调性可得当时，取得最大值1，即时，取得最大值最小值为.