北京市第一六一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

北京市第一六一中学2023—2024学年第一学期12月阶段练习高二数学2023.12班级__________姓名__________学号__________本试卷共2页，共120分.考试时长90分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.1.椭圆的焦点坐标是（）A.，B.，C.，D.，）2.在空间直角坐标系中，，，，则是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不确定3.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，若抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|等于（　　）A2B.3C.4D.54.直线截圆得到的劣弧所对的圆心角的大小为（）A.B.C.D.5.双曲线的渐近线方程为，则双曲线离心率为（）A.或B.或C.D.26.如图，一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时，达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（） A.2.25mB.2.15mC.1.85mD.1.75m7.“”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件8.将正方形沿对角线折成直二面角，以下结论中错误的是（）A.B.等边三角形C.与平面所成的角为60°D.与所成的角为60°9.若曲线：上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为（）A.B.C.D.10.如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上.11.点关于直线的对称点坐标为______________.12.已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，，则______________.13.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，， 为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________.14.已知双曲线：的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则_________；若双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则的方程可以为____________.（写出一个答案即可）15.曲线C是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹，给出下列四个命题：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C与y轴有3个交点；④若点M在曲线C上，则的最小值是；其中，所有正确结论的序号是_________.三、解答题：本大题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案写在答题纸中相应位置上.16.如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的余弦值. 17.已知椭圆的焦点是，，且，离心率为.（1）求椭圆C方程；（2）若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值.18.已知圆：.（1）求圆心的坐标及半径的大小；（2）已知直线与圆相切，且在x，y轴上的截距相等且不为0，求直线的方程；（3）从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程.19.已知椭圆：右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线斜率与的斜率的乘积为定值；（3）延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率. 北京市第一六一中学2023—2024学年第一学期12月阶段练习高二数学2023.12班级__________姓名__________学号__________本试卷共2页，共120分.考试时长90分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.1.椭圆的焦点坐标是（）A.，B.，C.，D.，）【答案】B【解析】【分析】先根据椭圆的标准方程判断焦点的位置；再根据，，关系求出即可写出焦点坐标.【详解】由椭圆可得：椭圆的焦点在轴上，，.则，即.所以椭圆焦点坐标为：，.故选：B2.在空间直角坐标系中，，，，则是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不确定【答案】B【解析】【分析】根据空间中两点距离公式即可求解长度，进而可判断.【详解】由，，，可得, ,故,因此是等腰直角三角形，故选：B3.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，若抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|等于（　　）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】由题意可得，再结合抛物线的定义可求出|PF|【详解】因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，所以，所以抛物线的焦点，准线方程为，因为抛物线上一点P到y轴的距离是1，所以点P到准线的距离为3，所以由抛物线的定义可得，故选：B4.直线截圆得到的劣弧所对的圆心角的大小为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长，即可根据等边三角形求解.【详解】过作，垂足为点，由圆的方程，得到圆心的坐标为，半径，圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦，，，故选：D．5.双曲线渐近线方程为，则双曲线离心率为（）A.或B.或C.D.2【答案】B【解析】【分析】根据焦点位置，分两种情况即可根据渐近线方程以及离心率公式求解.【详解】设双曲线方程为，则渐近线方程为，故，离心率为，设双曲线方程为，则渐近线方程为，故，离心率为，故选：B6.如图，一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时，达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（） A.2.25mB.2.15mC.1.85mD.1.75m【答案】D【解析】【分析】建立坐标系，根据题意可设抛物线方程为，其中，再根据点在抛物线上，代入抛物线方程，得到该抛物线方程，令，可得结论．【详解】以该运动员脚所在的水平线为轴，该运动员所处位置的铅垂线为轴，建立坐标系如图．铅球运行的水平距离是时，达到最大高度，该抛物线的顶点坐标是，开口向下，设抛物线方程为，其中，运动员投掷铅球的成绩是，所以点在抛物线上，，可得因此，抛物线方程为，令，则故选：D．7.“”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】 【分析】联立与，分与两种情况，结合根的判别式得到或，从而求出答案.【详解】联立与得，，当时，，只有一个根，满足要求，当时，令，解得，故直线与抛物线有唯一公共点”时，或，故是“直线与抛物线有唯一公共点”的充分不必要条件.故选：A8.将正方形沿对角线折成直二面角，以下结论中错误的是（）A.B.是等边三角形C.与平面所成的角为60°D.与所成的角为60°【答案】C【解析】【分析】根据直二面角可得面面垂直，即可根据线面垂直求解A,根据长度关系即可求解B，根据线面垂直得线面角几何角，即可求解C，根据平行关系以及线线角的定义即可求解D.【详解】如图，其中二面角的平面角为，是的中点，则，，直二面角的平面角，对于A，，，，平面，平面，平面，平面，，故A正确；对于B，设正方形边长为2，在直角中，，，是等边三角形，故B正确；对于D，可取中点，的中点，连接，，，设正方形的边长为2，由于，所以，而，故是等边三角形，即为与所成的角,由于，所以与所成角为，故D正确．对于C，由于平面平面，且交线为,平面，所以平面 ,故与平面所成的线面角的平面角是，故与平面成的角不正确，故C错误．故选：C9.若曲线：上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据曲线方程可判断出曲线是圆心为，半径为的圆，根据圆的位置可得关于的不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由题意，曲线C的标准方程为：因此曲线C为圆心为，半径为的圆曲线上所有的点均在第二象限内，解得：的取值范围是故选：D10.如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（）A.直线B.圆 C.双曲线D.抛物线【答案】D【解析】【分析】由于在平面内，而平面，因此有，这样结合抛物线的定义可得结论．【详解】在正方体中，一定有，∴点为平面内到直线和到点的距离相等的点，其轨迹为抛物线．故选D．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查立体几何中的垂直关系．属于跨章节综合题，难度不大．二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上.11.点关于直线的对称点坐标为______________.【答案】【解析】【分析】根据中点关系以及垂直斜率关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点坐标为，则，解得，所以对称点为，故答案为：12.已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，，则______________.【答案】14【解析】【分析】根据焦点三角形的周长即可求解.【详解】椭圆中，， ，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，由椭圆定义知：，，．故答案为：1413.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________.【答案】##【解析】【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解.【详解】取中点为，连接,由于是等边三角形，所以因为平面平面，其交线为,平面,所以平面，是直线与平面所成角．不妨设，在等边中，，，所以， 故故直线与平面所成角的正弦值为．故答案为：14.已知双曲线：的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则_________；若双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则的方程可以为____________.（写出一个答案即可）【答案】①.②.【解析】【分析】根据题意，由双曲线方程可得焦点坐标以及渐近线方程，再由点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为双曲线：，所以其焦点坐标为，渐近线方程为，且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则，所以；所以双曲线：，渐近线方程为，若双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则该双曲线只需满足即可， 则的方程可以为.故答案为：；15.曲线C是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹，给出下列四个命题：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C与y轴有3个交点；④若点M在曲线C上，则的最小值是；其中，所有正确结论的序号是_________.【答案】①②④．【解析】【分析】将所求点用直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，然后根据方程研究性质即可求解①②③，利用消元法，然后利用函数的单调性求最值即可判断④．【详解】设动点的坐标为，曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹，，当时，，曲线过坐标原点，故①正确；将中的用代入该等式不变，曲线关于轴对称，故②正确；令时，，故曲线与轴只有1个交点，故③不正确；，，解得，若点在曲线上，则，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案写在答题纸中相应位置上.16.如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为， 的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）;（2）;（3）；【解析】【分析】（1）构建空间直角坐标系，然后根据向量的数量积求解直线夹角；（2）求解面的法向量，然后根据距离公式求解；（3）根据面与面的法向量，求解二面角的余弦值；【小问1详解】故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则，,,,，,, 所以异面直线与所成角的余弦值为.【小问2详解】设面的法向量为，,则，解得：令，可得，因为,所以所以点到平面的距离为.【小问3详解】面，所以面法向量为，设面的法向量为，又，，则，解得：，令，可得，所以二面角的余弦值为.17.已知椭圆的焦点是，，且，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意求出，进而得到，求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根的判别式得到，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式表达出弦长，得到方程，检验后求出答案【小问1详解】由题意得：，，解得，故，故椭圆C的方程为；【小问2详解】联立与得，，，解得，设，则，故，又，所以，解得，满足，故实数的值为18.已知圆：.（1）求圆心的坐标及半径的大小； （2）已知直线与圆相切，且在x，y轴上的截距相等且不为0，求直线的方程；（3）从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程.【答案】（1）圆心坐标，半径；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径；（2）设出直线的截距式方程，由圆心到切线的距离等于半径列式求得的值，则切线方程可求；（3）由切线垂直于过切点的半径及列式求点的轨迹方程．【小问1详解】由圆，得：，圆心坐标，半径；【小问2详解】切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设直线方程，圆，圆心到切线的距离等于圆半径，即：或，所求切线方程为：或；【小问3详解】切线与半径垂直，设,由可得 所以点的轨迹方程为．19.已知椭圆：的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由题可知，，，再结合，解出值即可得解；（2）设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，得韦达定理；利用中点坐标公式以及斜率公式得直线的斜率，进而得解；（3）若四边形为平行四边形，则，利用平面向量的线性坐标运算可以用表示点的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于的方程，解之即可得解．【小问1详解】由题意可知，，，，，椭圆的方程为．【小问2详解】设直线的方程为，，，，，联立，消去得，，则， 为线段的中点，，，，为定值．【小问3详解】若四边形为平行四边形，则，，，点在椭圆上，，解得，即，当四边形为平行四边形时，直线的斜率为．