重庆市云阳县、梁平区等地学校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

重庆市高一数学考试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定【详解】“”的否定是“”.故选：D2.已知幂函数的图象不经过原点，则（）A.0B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】由幂函数的定义可求出，分别进行验证即可.【详解】因为是幂函数，所以，则．当时，，此时经过原点，舍去;当时，，此时不经过原点，故符合题意．故选：B.3.“”的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解不等式，得到，根据是的真子集，满足要求，其他三个选项不合要求.【详解】因为，所以， A选项，是的真子集，满足要求，故A正确；B选项，是的充要条件，故B错误；C选项，是的真子集，不合要求，故C错误；D选项，是的真子集，不合要求，故D错误；.故选：A4.已知偶函数，则（）A.1B.C.0D.2【答案】C【解析】【分析】根据，得到方程，求出答案.【详解】因为偶函数，所以，则，可得．故选：C5.已知函数若，则（）A.2B.4C.D.4或【答案】B【解析】【分析】结合分段函数知识，由，分两类讨论即可.【详解】若，则，解得，舍去；若，则，解得，符合题意；故.故选：B.6.函数的值域为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分离常数后，得到函数值域.【详解】，因为，所以，故值域为．故选：D7.第1次从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，第2次再从该容器中倒出，又用水填满；…．若要使容器中的纯酒精不足，则至少要连续进行以上操作（）A.3次B.4次C.5次D.6次【答案】B【解析】【分析】计算出4次后，容器中的纯酒精小于，得到答案.【详解】进行1次后，容器中的纯酒精为；进行2次后，容器中的纯酒精为；进行3次后，容器中的纯酒精为；进行4次后，容器中的纯酒精为．故连续进行4次后，容器中的纯酒精不足．故选：B8.已知，则的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】方法一：变形后，利用四元基本不等式进行求解；方法二：利用两次基本不等式求出答案.【详解】方法一：， 故，当且仅当，即时，等号成立，方法二：，故，当且仅当，且时，即时，等号成立．故的最小值为4；故选：D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列集合中，与集合相等的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据集合的性质得到AC错误，BD正确.【详解】A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C错误；D选项，只有当和时，，故，D正确.故选：BD10.已知，则（）A.B.C.D. 【答案】AD【解析】【分析】B选项，根据同号可加性得到；ACD选项，根据题目条件得到，进而判断ACD.【详解】B选项，因为，所以，根据同号可加性可得，B错误．A选项，因为，，所以，解得，A正确；CD选项，因为，，所以，解得，同理可得，取，则，，C错误；由不等式性质可得，D正确．故选：AD11.已知不等式的解集是，则下列结论正确的是（）A.B.C.不等式的解集是D.若恒成立，则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集确定，可判断A、B；结合二次不等式的解法可判断C；参变分离结合基本不等式可判断D.【详解】由题意可得，方程有唯一实数根，则，解得，A正确，B错误．不等式可变形为，且，该不等式的解集是，C正确． 由，得，由，当且仅当，即时，等号成立，则，D正确．故选：ACD12.已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论正确的是（）A.B.C.为奇函数D.当时，【答案】ACD【解析】【分析】AC选项，赋值法得到答案；D选项，变形得到，构造，得到，赋值法得到上单调递增，结合，得到D正确；B选项，无法求出，B错误.【详解】A选项，令，得，故，A正确；C选项，令，得，故，令，得，则奇函数，C正确．D选项，由，可得．令函数，则．令，则．设，则，所以，即，所以在上单调递增，因为，所以当时，，即当时，，D正确． B选项，经推导可得的值不确定，B错误．故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.某校春季举办了一次田径运动会，某班有20名同学参赛，该学校秋季又举办了一次趣味运动会，这个班有25名同学参赛．已知该班级这两次运动会都参赛的有12人．则这两次运动会中，这个班参赛的同学有_______人．【答案】【解析】【分析】直接根据集合的基本运算的定义得到答案.【详解】这两次运动会中，这个班参赛的同学有人．故答案为：.14.已知，则___________．【答案】3【解析】【分析】两边平方后，求出答案.【详解】因为，所以，即．故答案为：315.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12立方米的部分4元/立方米超过12立方米但不超过18立方米的部分6元/立方米超过18立方米的部分8元/立方米若某户居民本月交纳的水费为100元，则此户居民本月用水量为__________立方米.【答案】20【解析】 【分析】因为，所以此户居民本月用水量超过18立方米，设此户居民本月用水量为立方米，列出方程求解即可.【详解】因为，所以此户居民本月用水量超过18立方米，设此户居民本月用水量为立方米，且，则，解得.故答案为：20.16.已知函数，则满足的的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】分，，三种情况，结合函数单调性，得到不等式，求出取值范围.【详解】当时，，，故，故，不成立；当时，，，不成立，当时，要使得，有两种情况：第一种情况，，即，此时由于在上单调递增，只需，解得，第二种情况，，即时，只需，解得，与取交集得， 综上，的取值范围是．故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算：．（2）用分数指数幂表示并计算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据分数指数幂和根式运算法则计算.【详解】（1）原式．（2）．18.已知函数．（1）证明：是奇函数．（2）根据定义证明在区间上单调递增．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可得证；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解.【小问1详解】的定义域为，关于原点对称． 又因为，所以是奇函数．【小问2详解】令，则．因为，所以，则，即．故在上单调递增．19.已知集合．（1）当时，求；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合二次不等式的解法求得集合B，应用集合的并集运算即可；（2）由，得，结合补集运算及集合的包含关系即可求解.【小问1详解】当时，，或，．【小问2详解】由（1）可得．因为，所以．当时，，解得，符合题意． 当时，有解得．综上，的取值范围是．20.已知函数．（1）若，求的值域；（2）若的定义域为，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）换元法化为二次函数，求出值域；（2）转化为在上恒成立，分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围.【小问1详解】当时，．令，则，，当且仅当时，等号成立，故的值域为．【小问2详解】因为的定义域为，所以在上恒成立，当时，在R上不恒成立，舍去， 当时，则，解得．故的取值范围是．21.今年以来，旅游业迎来了全面复苏的喜人景象.某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若该景区开业后的第一年接待游客万人，则需另投入成本万元，且，该景区门票价格为64元人.（1）求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润收入成本）.（2）当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？【答案】21.22.20万人，最大利润为266万元.【解析】【分析】（1）由利润收入成本，得到利润的解析式；（2）求分段函数的最大值，先在各段求解最值，再比较大小作答.小问1详解】由题意，该景区门票价格为64元人，则收入万元，利润为，故 即.【小问2详解】当时，，函数单调递增，则；当时，，则.当时，，当且仅当，即时，等号成立.综上，由得，.故当该景区开业后的第一年接待游客20万人时，获得的利润最大，最大利润为266万元.22.已知二次函数满足，且．（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）应用待定系数法求解析式；（2）可化简为，分，，三种情形结合一次函数与二次函数图像讨论即可.【小问1详解】由，设．因为， 所以，整理得，则，解得．所以．【小问2详解】由，得，即，则．当时，不等式恒成立．当，即时，二次函数的图象开口向上，，．当，即时，需满足，解得或．