浙江省丽水市发展共同体2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

2023学年第一学期丽水发展共同体12月联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.〕1.与角的终边相同的角的集合是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】在范围内找出与角终边相同的角，然后可得出与角终边相同的角的集合.【详解】因为，所以角与角的终边相同，所以与角的终边相同的角的集合为.故选B．【点睛】本题考查终边相同的角的集合，一般要在范围内找出终边相同的角，并以此角来表示相应的集合，属于基础题.2.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为A.3B.6C.9D.12【答案】B【解析】 【分析】首先求得半径，然后利用面积公式求解其面积即可.【详解】设扇形的半径为，由题意可得：，则，扇形的面积.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查弧度制的定义，扇形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.若，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】由，解得，由，解得，所以“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A.4.已知函数（且）的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再由三角函数定义得到答案.【详解】当时，，故过定点，由三角函数定义可得：，.故选：A5.已知，则a，b，c的大小关系是（） A.b>c>aB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，选取中间量即可比较大小.【详解】，，，则.故选：D.【点睛】比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到一一的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（参考数据：，）（）A.1B.3C.5D.7【答案】C【解析】【分析】由条件可推知，再结合对数公式即可求解.【详解】解：由题意得：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车故，即两边取对数即可得，即那么他至少经过5个小时才能驾驶汽车故选：C7.已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正实数的最小值为（） A.B.1C.D.2【答案】B【解析】【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值.【详解】因为，当且仅当时，等号成立，所以，因为，为正实数且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，因为对满足所有正实数，都成立，所以，即，整理得，解得或，由为正数得，所以正数的最小值为.故选：B.8.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期． 所以．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．二､多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知表示集合的整数元素的个数，若集合（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据对数函数的单调性、一元二次不等式的解法，结合集合并集、交集、补集的定义、已知定义逐一判断即可.【详解】由，因此，由，因此.A：因为集合中的整数有，共10个，所以，因此本选项正确；B：因为，所以本选项不正确；C：因为集合中的整数有，共9个，所以，因此本选项正确；D：因为，所以， 因为，所以，因此本选项正确，故选：ACD10.下列说法不正确的是（）A.命题“，都有”的否定是“，使得”B.集合，若，则实数的取值集合为C.若幂函数在上为增函数，则D.若存在使得不等式能成立，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】根据全称量词命题的否定判断A，由求出的值，即可判断B，根据幂函数的性质判断C，参变分离得到存在使得不等式能成立，由二次函数的性质求出，即可求出参数的取值范围，从而判断D.【详解】对于A：命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误；对于B：由，则，当时，符合题意，当时，当时，所以实数的取值集合为，故B错误；对于C：若幂函数在上为增函数，则，解得或，当时在上不单调，故舍去，当时在上为增函数，符合题意，故C正确；对于D：存在使得不等式能成立，则存在使得不等式能成立，令，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为，故D错误；故选：ABD11.若函数，定义域为，下列结论正确的是（）A.的图象关于轴对称B.，使C.在和上单调递减D.的值域为【答案】AC【解析】【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D.【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，关于轴对称，故A正确；对于B，，则，即，解得，与定义域矛盾，所以不存在，使，故B错误；对于C，，因当和，单调递增，所以单调递减，即单调递减，故C正确；对于D，，因为且，则且， 所以且，即且，所以的值域为，故D错误，故选：AC.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.若，则B.C.若，则或D.若方程有两个不同的实数根，则【答案】BCD【解析】【分析】解方程可判断A选项；求出的值，可判断B选项；解不等式可判断C选项；数形结合可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，由，可得，当时，由，可得.综上所述，若，则或，A错；对于B选项，，所以，，B对；对于C选项，当时，由，可得，解得，此时，当时，由，可得，解得，此时， 综上所述，若，则或，C对；对于D选项，作出函数与函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，此时方程有两个不等的实根，D对.故选：BCD.非选择题部分三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数的定义域为，则的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】由抽象函数的定义域直接求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域需要满足，所以，解得，故答案为：.14.若是定义在上的增函数，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由是定义在上的增函数，则两段分别递增且 时需要满足，解之即可得答案.【详解】因为是定义在上的增函数，当时，，对称轴为，所以有，解得，故答案为：.15.若函数经过点，且，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】运用代入法，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为函数经过点，所以，因为且，所以，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故答案为：16.设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得，利用函数的单调性可得，整理得到对上恒成立，设，进而列出不等式组 ，解之即可.【详解】因为是定义在R上的偶函数，且对恒有，所以，因为时，，所以，又函数在上得到递增，所以，两边同时平方，得，即，令，即对恒小于或等于0，所以，即，解得.即b的取值范围为.故答案为：四､解答题：（本大题共6小题，17题10分，其余各题12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（1）计算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）根据换底公式及对数的运算性质计算可得；（2）首先求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】（1）； （2）因为，所以，所以.18.已知，若的解集为（1）求实数的值（2）求关于的不等式的解集．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据给定条件可得，是方程的两个根，再借助韦达定理列式计算得解.(2)利用(1)的结论，再将分式不等式化为一元二次不等式求解作答.【小问1详解】依题意，，是方程的两根，且，于是得，解得，所以实数的值为-2.【小问2详解】由(1)知，，则原不等式为：，即，化为，解得或，所以原不等式的解集为． 19.某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每千件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式：（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的年利润最大？【答案】（1）（2）100千件【解析】【分析】（1）分、两种情况分别求出；（2）利用二次函数及基本不等式计算可得.【小问1详解】由题可知当时，，当时，，所以；【小问2详解】当时，，则时有最大值；当时，，当时，，当且仅当，即时取等号，所以当时有最大值； 综上，年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.20.已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）用定义证明函数在上为减函数；（3）已知，若，求的值.【答案】（1）证明见解析，奇函数（2）证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明；（2）利用函数单调性的定义进行证明；（3）根据单调性进行转化求解即可．【小问1详解】函数是奇函数，证明：函数，其定义域为，由，所以函数f（x）为奇函数；【小问2详解】设任意满足，则，又由，得，即，故函数在上为减函数； 【小问3详解】根据题意，因为，，又因函数在上为单调递减函数，由，必有，即，又，所以.21.已知实数且，函数.（1）设函数，若在上恰有两个零点，求的取值范围；（2）设函数，若在上单调递增，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）参变分离可得在上有两个解，令，令，，求出的最大值与左端点的函数值，即可求出参数的取值范围；（2）分和两种情况讨论，结合对数函数的性质得到在上的单调性与取值情况，从而得到不等式组，解得即可.【小问1详解】依题意在上有两个零点，可化为在上有两个解，即与在上有两个交点，设，令，得，又， 且在上单调递增，在上单调递减，的图象如下所示：由图可得，符合且，所以.【小问2详解】因为在上单调递增，①当时，在定义域上为减函数，则在上为减函数，且在上恒成立，所以，不等式无解；②当时，在定义域上为增函数，则在上为增函数，且在上恒成立， 所以，解得；综上所述：.22.已知函数.（1）若，求的值域；（2）对任意，存在，使得，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出分段函数的解析式，再求每一段的值域即得解；（2）对分五种情况分析讨论得解.【小问1详解】时，当时，，则，无最大值.当时，.故的值域为.【小问2详解】∵，∴时，时， 下面证明函数在单调递减，在单调递增.设所以所以，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以函数在单调递减，在单调递增.①时，应满足，解为空集；②时，应满足，解得③时，应满足,解得; ④时，应满足,等价于即⑤时，此时在单调递减，不合题意.综上所述，a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分类讨论的思想的运用，要充分理解分类的起因、标准、过程和结果.分类讨论是一种重要的数学思想.