天津市第五中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

天津五中2023年12月高一年级月考数学试卷一、选择题（每题4分，共计48分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用交集的运算即可求出.【详解】解：由题可知，，，由交集的运算可得.故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】根据题意，全称命题的否定是存在命题，全称改存在，再否定结论.【详解】因为命题“，”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，所以命题“，”的否定是“，”故选：A3.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 解出两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式，可得；解不等式，可得.因为，Ü，因此，“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.4.半径为1，圆心角为的扇形的面积是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面积公式即可得解.【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为，所以扇形的面积为.故选：D.5.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【答案】C【解析】【分析】判断函数的单调性，以及（2），（3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．【详解】函数，是增函数且为连续函数，又（2），（3），可得所以函数包含零点的区间是．故选：．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 6.已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为，所以，因为角的终边上有一点的坐标是，所以.故选：D.7.已知，，，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】由题意，得，，即，，所以故选：A.8.函数值域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域. 【详解】由，则，所以的值域为.故选：C9.若函数和都是上的奇函数，，若，则（）A.1B.C.D.5【答案】B【解析】【分析】利用奇函数的性质，即可求解的值，即可求解的值.【详解】因为函数和都是上的奇函数，所以，，，则，.故选：B10.化简的值为（）A.1B.2C.4D.6【答案】B【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式，故选：B11.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以，解得.故选：B.12.已知函数，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，转化为和有两个交点，画出两个函数的图形，结合函数的图象，即可求得实数的取值范围.【详解】由函数，因为，令，即，由函数有2个零点，即和有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，结合函数的图象，要使得函数有2个零点，则，所以实数的取值范围为.故选：D. 二、填空题（每题4分，共计24分）13.__________．【答案】-【解析】【详解】.故答案为.14.若幂函数的图象经过点，则的解析式为______.【答案】【解析】【分析】由幂函数所过的点求解析式即可.详解】令幂函数，且过点，则，所以.故答案为：15.已知，，则________．【答案】【解析】【分析】利用指数及指数幂的运算律求解.【详解】，， 故答案为：.16.已知，，则________．【答案】【解析】【分析】根据同角平方关系，先求出，再根据商数关系，求出.【详解】由，，可得，则根据商数关系得.故答案为：.17.函数的最小值为________．【答案】【解析】【分析】函数变形为，利用基本不等式“1”求最小值.【详解】，，，当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最小值为.故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18.若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得，解不等式组即可求解.【详解】由题意知，，解得，所以.故答案为：【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.三、解答题（共计28分）19.若不等式的解集是，（1）求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由已知不等式的解集得到的两个实数根为和2，利用韦达定理即可求出的值；（2）代入的值，由一元二次不等式的求解即可得解．【小问1详解】依题意可得：的两个实数根为和2，由韦达定理得：，解得：；【小问2详解】由（1）不等式，即，解得：，故不等式的解集是．20.已知函数（1）当时，求的定义域和单调递减区间；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）的定义域为；单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）先由对数函数的性质求得的定义域，再利用复合函数的单调性，结合二次函数与对数函数的单调性即可得解；（2）利用复合函数单调性的性质，得到的性质，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】 令，．当时，，由得，解得或．故的定义域为．因为函数在定义域上单调递增，在上单调递减，在单调递增，所以的单调递减区间为．【小问2详解】因为在上单调递增，又在定义域上单调递增，所以在上单调递增，且恒成立，因为开口向上，对称轴为，所以，解得，故实数的取值范围为.21.已知函数，且函数为奇函数（1）求函数的定义域；（2）求实数的值（3）用定义证明函数上单调递减【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由分式的性质，解指数方程求定义域；（2）由奇函数性质有，得到恒成立，即可求参数；（3）令，应用作差法比较大小即可证结论.【小问1详解】 由题设，即，故函数的定义域为.【小问2详解】由，则，所以，即恒成立，故.【小问3详解】令，则，由，，，故，即，所以函数在上单调递减.