四川省 2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

成都七中高2026届高一上期数学12月考试一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.化为弧度是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先将角统一成度的形式，然后利用角度与弧度的互化公式求解即可【详解】（弧度）．故选：A2.不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用了一元二次不等式的解法求解．【详解】解：不等式，可化为，解得，即不等式的解集为．故选：C．3.已知函数，则（　　）A.－7B.－5C.－3D.3【答案】A【解析】【分析】按题意取值即可【详解】因为，所以， 所以.故选：A.4.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知，利用同角公式计算得解.【详解】由，得，而，所以.故选：D5.已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表，那么函数在区间上的零点至少有（）x1234567123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【解析】【分析】根据函数值符号变化，由零点存在性定理可得.【详解】由数表可知，.则，，，又函数的图象是连续不断的，由零点存在性定理可知，函数分别在上至少各一个零点， 因此在区间上的零点至少有3个．故选：B.6.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接由对数函数、指数函数的单调性、运算性质即可得解.【详解】由题意，，所以的大小关系为.故选：D.7.某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（）.A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据图象确定的变化趋势，确定正确选项．【详解】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D满足，故选：D．8.若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，故在上单调递减，并得到在上为偶函数，分和两种情况，得到不等式，求出答案.【详解】不妨设，，故，令，故在上单调递减，其中定义域，又在上为奇函数，故， 所以在上为偶函数，当，即时，，即，，故，又，故，解得或，与求交集得到空集；当即时，，即，，故，又，故，解得或，与取交集得.故选：B二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.命题p：，，则命题p的否定是，B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“，”是真命题D.“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件【答案】AD【解析】 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D.【详解】命题p的否定是，，故A正确；不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；当时，，故C错误；关于x的方程有一正一负根，所以“”是“关于x方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.故选：AD.10.下列结论正确的是（）A.是第三象限角B.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为C.若角的终边上有一点，则D.若角为锐角，则角为钝角【答案】BC【解析】【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义四可判断C选项；取可判断D选项.【详解】对于A选项，因为且为第二象限角，故是第二象限角，A错；对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为，因此，该扇形面积为，B对； 对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对；对于D选项，因为为锐角，不妨取，则为直角，D错.故选：BC.11.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是（）①由图1和图2面积相等得；②由可得；③由可得；④由可得.A.①B.②C.③D.④【答案】ABCD【解析】【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案. 【详解】对于①：由图1和图2面积相等得，所以，故①正确；对于②：因为，所以，所以，设图3中内接正方形边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以，因为，所以，整理可得，故②正确；对于③：因为为斜边的中点，所以，因为，所以，整理得，故③正确；对于④：因为，所以，整理得：，故④正确；故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得的表达式，根据图形及题意，得到的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数的图象关于直线x＝1对称C.存在实数a，使得函数有三个不同的零点D.存在实数a，使得关于x的不等式的解集为【答案】BD【解析】【分析】对函数变形，并分析函数的性质，再判断选项ABC，利用函数性质解不等式判断D作答.【详解】，函数的定义域为R， 对于A，当时，，而，在上都单调递增，因此函数在上单调递增，A错误；对于B，因为，因此函数的图象关于直线x＝1对称，B正确；对于C，对任意实数a，由选项A知，函数在上单调递增，则函数在上最多一个零点，由对称性知，函数在上最多一个零点，因此函数在R上最多两个零点，C错误；对于D，当时，，而，由对称性及选项A知，在上单调递减，当时，得，当时，得，即的解集为，所以存在实数a，使得关于x的不等式的解集为，D正确.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.第II卷（非选择题）三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.计算：______.【答案】##-0.25【解析】【分析】直接由分数指数幂以及根式互化运算，以及整数指数幂运算即可求解.【详解】由题意.故答案为：. 14.已知函数的定义域是，则函数的单调增区间为______.【答案】##【解析】【分析】先根据定义域求出的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.【详解】因为函数的定义域是，所以为的两个根，所以则，即，令，则在单调递减，令，则为开口向下，对称轴为的抛物线，且，所以时，单调递增；时，单调递减；因为，所以函数的单调增区间为.故答案为：15.已知，分别是关于的方程，的根，则________【答案】2023【解析】【分析】令，画出函数的图象，由图象的对称性即可得出答案.【详解】由已知条件有，，令，画出函数的图象，曲线和关于直线对称，曲线关于， 设曲线分别与交于点，则点关于直线对称，而点关于直线对称点为，即为点，则，所以.故答案为：2023.16.已知函数的定义域为，对任意实数m，n，都有，且当时，．若，对任意，恒成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据题设条件证明函数的单调性和奇偶性确定内的最大值为，从而可得，再分离参变量即可求实数a的取值范围.【详解】取则有，所以，取则有，所以为奇函数，任意则，因为，所以， 令，则有，即，所以在定义域上单调递减，所以在上单调递减，令，所以，所以，因为对任意，恒成立，所以对任意恒成立，分离变量可得，因为函数对任意恒成立，所以，所以解得，故答案为:.四．解答题：本题共6小题.17题10分，18—22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设为实数，，集合，．（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围．【答案】17.，或18.【解析】【分析】（1）先求出集合，由交集、并集和补集的定义求解即可；（2）由交集的定义求解即可.【小问1详解】 由可得：，则，所以，当时，，所以，或.【小问2详解】易知恒成立，即或解得或所以.18.已知点在角的终边上，且．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）三角由三角函数的定义即可求解.（2）由三角函数定义、商数关系进行切弦互换即可.【小问1详解】由三角函数的定义知：，则，于是解得，得.【小问2详解】已知终边过点得， 于是有.19.杭州亚运会田径比赛于2023年10月5日收官．在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间）．疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动（表示该阶段所用时间），疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力．已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？【答案】（1）（2）在时，运动员体力有最小值5200kJ【解析】【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度关于时间的函数，代入与公式可得解得；【小问2详解】 ①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；②疲劳阶段，则有；当且仅当，即时，“”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ，由于，因此，在时，运动员体力有最小值5200kJ．20.我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（1）利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形；（2）判断函数的单调性（无需证明），并解关于x的不等式：．【答案】（1）证明见解析（2）为减函数，答案见解析【解析】【分析】（1）由题，证明为奇函数即可；（2）由题可得为减函数，又结合（1）结论可知，后分类讨论的值解不等式即可.【小问1详解】证明：由题意，只需证明为奇函数，又，易知函数定义域为.，所以 为奇函数，所以的图像关于成中心对称图形．【小问2详解】易知为增函数，且，对任意的恒成立，所以为减函数.又由（1）知，点与点关于点成中心对称，即，所以原不等式等价于，所以，即，由解得，当时，原不等式解集为或；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为或．【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式.21.定义：对于函数，当时，值域为，则称区间为函数的一个“倒值映射区间”.已知一个定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）求函数在内的“倒值映射区间”；（3）求函数在定义域内的所有“倒值映射区间”.【答案】21.22. 23.和【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求得在上的解析式，结合，从而求解函数的解析式；（2）根据函数在上的单调性建立方程组求解即可；（3）根据区间定义知，分和讨论，分析函数的单调性，建立方程组求解即可.【小问1详解】是定义在上的奇函数，则，当时，则，又是奇函数，则，所以.【小问2详解】设，函数，因为在上递减，且在上的值域为，所以，解得，所以函数在内的“倒值映射区间”为. 【小问3详解】因为在时，函数值的取值区间恰为，其中且，所以，则，只考虑或，①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，则，所以，，则，由（2）知，此时的“倒值映射区间”为；②当时，可知因为函数在上单调递减，上单调递增，故当时，，则，所以，，当在上递减，且在上的值域为，所以，解得，所以的“倒值映射区间”为；综上，函数在定义域内的“倒值映射区间”为和.22.已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）设函数（），若有唯一零点，求实数的取值范围．【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据偶函数性质代入即可求解；（2）令，转化为关于的一元二次函数，对分类讨论即可求解.【小问1详解】依题意，因为的定义域为的偶函数，所以，所以，所以所以所以，即．【小问2详解】由（1）知所以，令，，即，整理得，其中，所以，令，则得，①当时，，即，所以方程在区间上有唯一解， 则方程对应的二次函数，恒有，，，所以当时，方程在区间上有唯一解．②当时，，即，方程在区间上有唯一解，因为方程对应的二次函数的开口向下，恒有，，所以满足恒有，解得综上所述，当或时，有唯一零点．【点睛】方法点睛：（1）利用偶函数的性质代入原函数即可求解参数；