四川省成都市 校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

成都外国语学校2023-2024学年度上期12月月考高一数学试卷注意事项：1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名､学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第I卷选择题部分，共60分一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（　　）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合集合的并集运算即可.【详解】结合题意：，故选：C.2.“”是“”的（　　）条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果.【详解】根据题意，显然当，可得成立，所以充分性满足；当时，可得或，所以必要性不满足；即“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 3.函数的零点所在区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，因为，，由零点存在定理可知，函数的零点所在区间是.故选：B.4.设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像，当时，的解为，因为函数为奇函数，所以当时，若，即，则所以，解得，综合得不等式的解集是.故选：C.5.设函数（且），若，则（） A.3B.C.D.【答案】A【解析】分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为（且），所以，所以，解得或（舍去）.故选：A6.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系.【详解】解：由题意，，在中，函数单调递增，且，∴，在中，函数单调递增，且当时，，∴，∴，故选：A.7.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，，，）的概率为．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（） （参考数据：，）A.2.9B.3.2C.3.8D.3.9【答案】C【解析】【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.【详解】依题意一个数的首位数字是的概率为，一个数的首位数字是的概率为，所求的比为．故选：C8.已知函数定义域为，且图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析可知函数为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数的值，根据函数的单调性、偶函数的性质，结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围.【详解】因为函数的图象关于对称，令，则，即，即，所以，，故函数是定义在上的偶函数，则，解得， 所以，函数是定义在上的偶函数，由题意可知，函数在上单调递减，由可得，所以，，解得.因此，不等式的解集为.故选：A.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，，则C.若，则D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.【详解】选项A：因为，所以，故A正确；选项B：因为，，所以，故B正确；选项C：因为，所以，所以，故C正确；选项D：，取，故D错误；故选：ABC. 10.下列说法正确的有（）A.命题“，”的否定为“，”B.若，，则C.若幂函数在区间上是减函数，则或D.方程有一个正实根，一个负实根，则．【答案】AD【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A；举反例可判定B；根据幂函数定义和性质可判定C；根据一元二次方程的性质可判定D.【详解】对于A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“，”的否定为“，”，A选项正确；对于B选项，若，，如，，，，则，B选项错误；对于C选项，函数是幂函数，所以，解得，所以C选项错误；对于D选项，设，则有两个零点，且两个零点一正一负，则，所以D选项正确故选：AD.11.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，；③．则下列选项成立的是（）A.B.若，则C.若，则D.，，使得【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件探求出函数的奇偶性和在 的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.【详解】由，得：函数是上的偶函数，由，，得：在上单调递增，对于A，根据函数在上单调递增，可得，故A错误；对于B，根据函数是上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，则，又函数的图象是连续不断的，则有，解得，故B正确；对于C，由，则或，又，解得或，即，故C错误；对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，因此，，，取实数，使得，则，，故D正确.故选：BD.12.直线与函数的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为，，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合思想，结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示： 当时，，此时或；当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，此时或，或，直线与函数有四个不同的点，必有，此时，其中，且，因此有，，显然，因此，所以选项A不正确，选项B、C正确；因为，，结合图象知：，因此选项D正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，得到，，，的取值范围是解题的关键.第II卷非选择题部分，共90分三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数（且），则函数恒过定点_____．【答案】【解析】【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.【详解】由于，所以函数恒过定点. 故选：14.函数的递减区间为____________.【答案】【解析】【分析】由复合函数的单调性只需求出的单调递增区间，且要满足，从而求出答案.【详解】因为在上单调递减，由复合函数的单调性可知，的递减区间为的单调递增区间，且要满足，解得或，其中在上单调递增，故的递减区间为.故答案为：15.如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.【详解】不等式的解集为，其中常数，所以是方程的实数根，时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号， 故的最小值是故答案为：16.定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】求出在上的值域，利用得到在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a的取值范围.【详解】当时，，由于为对称轴为开口向下的二次函数，，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增，可得在上单调递减，在上单调递增，，在上的值域为，在上的值域为，在上的值域为，，故当，在上的值域为，当时，为增函数，在上的值域为， ，解得，故的范围是；当时，为单调递减函数，在上的值域为，，解得故的范围是，综上可知故的范围是.四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，求解集合，，按照交集定义直接求解即可；（2）求解集合，由并集为全集得出集合的范围，从而求出的范围.【小问1详解】解：由得或.所以.当时，.所以.【小问2详解】由题意知].又，因为， 所以.所以.所以实数的取值范围是.18.计算（1）（2）已知求【答案】（1）10+（2）【解析】【分析】（1）直接利用指数幂的运算和对数的运算化简求值；（2）先求出，再求出即得解.【小问1详解】解：原式===10+.【小问2详解】解：..又..19.已知函数.（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）求不等式的解集. 【答案】（1）（2）奇函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解．【小问1详解】要使函数有意义,则，解得，故所求函数的定义域为；【小问2详解】证明：由（1）知的定义域为，设，则,且，故为奇函数；【小问3详解】因为，所以，即可得，解得,又，所以，所以不等式的解集是．20.科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数．（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒．【答案】（1）选，（2）至少需4秒【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即，由题意可得：，解得：，所以该模型的解析式为：，【小问2详解】由（1）知：，由题意知：，也即，则有，∴，∴，∴至少需要4秒．21.已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，有；（1）求的值；（2）判断的单调性并证明；（3）若，解不等式；【答案】（1）f（1）＝0；（2）在（0，＋∞）上是增函数，证明见详解；（3）【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求的值；（2）任取∈（0，＋∞），且，利用条件可得，进而可得单调性；（3）结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：令x＝y＞0，则f（1）＝f（x）−f（x）＝0，所以f（1）＝0；（2）任取∈（0，＋∞），且，则，因为，所以，则，所以即，所以在（0，＋∞）上是增函数；（3）因为，所以，所以，由，得，所以，解得所以原不等式的解为．【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的关键，是中档题．22.已知函数的图象过点，.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围. 【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）可知，，令，得，设，则函数在区间上有零点，等价于函数在上有零点，所以，解得，因为，所以的取值为2或3.（3）因为且，所以且，因为，所以的最大值可能是或，因为所以，只需，即， 设，上单调递增，又，∴，即，所以，所以m的取值范围是.【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；