四川省成都市石室中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

成都石室中学2023-2024学年度上期高2026届半期考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.全称量词命题“”否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题.【详解】“”的否定是“，”.故选：A.2.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则【答案】D【解析】【分析】举反例可判断选项A、B、C，由不等式的性质可判断选项D.【详解】对于选项A，当时，若，则，与矛盾，故选项A错误；对于选项B，当时，若，则，与矛盾，故选项B错误；对于选项C，当，，满足，，但，这与矛盾，故选项C错误；对于选项D，因为，，所以由不等式性质可得：，即.因为，，由不等式性质可得：，故选项D正确.故选：D.3.设函数，用二分法求方程在 内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（）A.B.C.D.不能确定【答案】C【解析】【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断.【详解】显然函数在上是连续不断的曲线，由于，所以，由零点存在性定理可得：的零点所在区间为，所以方程在区间内一定有根.故选：C.4.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.【详解】由，所以该函数的定义域为，显然关于原点对称，因为，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC，当时，，排除选项B，故选：D5.若，，则“”是“”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【详解】当，，且时，，当且仅当时等号成立，所以，充分性成立；，，满足，且，此时，必要性不成立.则“”是“”的充分不必要条件.故选：A6.已知当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y与死亡年数x的关系为．不久前，考古学家在某遗址中提取了数百份不同类型的样品，包括木炭、骨头、陶器等，得到了一系列的碳14测年数据，发现生物组织内碳14的含量是死亡前的．则可以推断，该遗址距离今天大约多少年（参考数据，）（）A.2355B.2455C.2555D.2655【答案】B【解析】【分析】设该遗址距离今天大约年，则，再根据对数的运算性质及换底公式计算即可.【详解】设该遗址距离今天大约年，则，即， 所以，所以，即该遗址距离今天大约年.故选：B.7.已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，在上单调递减，所以，解得，所以的取值范围是故选：C8.设，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用中间值比较大小得到，，，从而得到答案.【详解】，故，，，故， ，，故故选：B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合共有16个子集C.集合D.集合【答案】BC【解析】【分析】根据真子集的性质、子集个数公式，结合集合的描述法逐一判断即可.【详解】A：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确；B：集合中有四个元素，所以它的子集个数为，所以本选项说法正确；C：因为，所以与均表示4的倍数与2的和所组成的集合，所以，因此本选项说法正确；D：对于，当时，，即，但，所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确.故选：BC.10.已知正实数x，y满足，则下列不等式成立的有（）A.B.C.D.【答案】ABD 【解析】【分析】选项A用基本不等式性质判断即可；选项B用基本不等式的推论即可；选项C将带入，再用基本不等式判断；D利用对勾函数的单调性判断.【详解】对A：因为x，y为正实数，当且仅当时取等号，所以A正确；对B：因为，当且仅当时取等号，所以B正确；对C：因为，当且仅当时取等号，所以C错误；对D：由B选项可知，令，则，因为对勾函数在上是减函数，所以，所以D正确；故选：ABD11.已知是奇函数，则（）A.B.在上单调递减C.的值域为D.的解集为【答案】AC【解析】【分析】由奇函数的定义可判定A项，利用指数函数的性质可判定B项，进而可求值域判定C项，可结合对数函数的性质解不等式判定D项.【详解】因为函数是奇函数，易知，则有，解之得，故A正确；则，易知当且有单调递增， 故此时单调递减，又由奇函数的性质可知时也是单调递减，故在和上单调递减，故B错误；由上可知时，，即此时，由奇函数的性质可知时，，则函数的值域为，故C正确；由上可知，故D错误.故选：AC12.已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，．若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（）A.B.CD.【答案】ABD【解析】【分析】先利用函数的对称性和解析式作出函数图象，分别求出直线与函数的图象的交点的横坐标的范围，运用基本不等式和二次函数的值域依次检验选项即得. 【详解】如图，依题意可得，作出函数在上的图象，设直线与的图象分别交于四点，显然有，由知函数在区间上关于直线对称，故可得：.对于A选项，由可得，，化简得，由基本不等式得：，故A项正确；对于B选项，当时，由可知其对称轴为直线，故又因，故在区间上为增函数，则有，故B项正确； 对于C选项，由可得，，化简得，故有，即C项错误；对于D选项，依题意，且，故，又因函数在区间上关于直线对称，故又由B项分析知于是故得：，故D项正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数与直线的交点横坐标的范围界定，关键在于充分利用绝对值函数与对称函数的图象特征进行作图，运用数形结合的思想进行结论检验.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若定义在上的奇函数的部分图象如图所示，则的单调增区间为______．【答案】和【解析】【分析】直接根据图象结合奇函数性质得到答案.【详解】根据图象，时函数在上单调递增，函数为奇函数，故函数在上也单调递增.故答案为：和.14.若，则______． 【答案】【解析】【分析】直接计算得到答案.【详解】，则.故答案为：.15.石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x元）在时，本次活动售出的件数，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为______元．【答案】15【解析】【分析】结合已知条件，求出利润的解析式，然后结合换元法和基本不等式即可求解.【详解】由题意可知，利润，，不妨令，则利润，当且仅当时，即时，即时，不等式取等号，故销售价格每件应定为15元.故答案为：15.16.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．那么，函数图象的对称中心是______．【答案】 【解析】【分析】计算出，得到，求出，得到对称中心.【详解】，要想函数为奇函数，只需恒成立，即，解得，故图象的对称中心为故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算；（2）已知，求的值．【答案】（1）0（2）52【解析】【分析】（1）结合指数运算及对数运算性质，换底公式即可求解；（2）考察两式间的内在联系，结合立方和公式即可求解.【详解】（1）；（2）由，则， 则，则.18.已知全集，集合，或．（1）求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解出分式不等式，求出集合，再利用交集和补集的含义即可得到答案；（2）分和讨论即可小问1详解】，或，.【小问2详解】，且，①，，此时满足，②，，此时，则，此时满足，综上所述，实数的取值范围为.19.在“①函数是偶函数；②函数是奇函数．”这两个条件中选择一个补充在下列的横线上，并作答问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知函数，且______．（1）求的解析式；（2）判断在上的单调性，并根据单调性定义证明你的结论． 【答案】（1）选择①时，；选择②时，（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义求解参数，即可得的解析式；（2）根据函数单调性的定义证明即可得结论.【小问1详解】选择①：函数的定义域满足，解得，故定义域为，若函数是偶函数，所以，则，则所以；选择②：函数的定义域满足，解得，故定义域为，若函数是奇函数，所以，则，则所以；【小问2详解】选择①：函数在上单调递减．证明：,，且，有，有，由，得，，所以，于是，所以， 所以，即，所以函数在上单调递减．选择②：函数在上单调递增．证明：,，且，则由，得，，，所以，即，于是，所以，即，所以函数在上单调递增．20.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图"”如图，该函数近似模型如下：，又已知酒后1小时测得酒精含量值为46.18毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题： （1）当时，确定的表达式；（2）喝1瓶啤酒后多长时间后才可以驾车？（时间以整分钟计算）（附参考数据：）【答案】（1）（2）314分钟后【解析】【分析】（1）根据题中条件，建立方程，解出即可；（2）根据题意建立不等式，解出即可.【小问1详解】根据题意知，当时，，所以，解得，所以当，.【小问2详解】由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精含量小于百毫升时可以驾车，当时，，此时，由，得，两边取自然对数可得，，所以，又小时313.5分钟，故喝1瓶啤酒314分钟后才可以驾车.21.已知函数（，且）过定点A，且点A在函数，的图象上．（1）求函数的解析式； （2）若定义在上的函数恰有一个零点，求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把定点A代入函数的解析式求出的值即可；（2）问题等价于在上恰有一个零点，根据函数零点的定义，结合二次函数的性质进行求解即可；【小问1详解】函数（，且）过定点，函数的图象过点，即，解得，函数的解析式为.【小问2详解】函数定义在上，在上恒成立，可得，令，得，设，函数在上恰有一个零点，等价于在上恰有一个零点，函数图像抛物线开口向上，对称轴，若，无解，不成立；若，解得，满足题意；若，无解，不成立； 若，解得，满足题意.所以实数k的取值范围为.22.若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间D上的“m阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间D上的“m阶自伴函数”．（1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数区间上的“1阶自伴函数”，求b的值；（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数a的取值范围．【答案】（1）不是，理由见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据给定的定义，取，判断在是否有实数解即可；（2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即可；（3）根据的单调性求解其在区间上的值域，进而将问题转化为在区间，上的值域是的子集，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解．【小问1详解】假定函数是区间上的“2阶自伴函数”，则对任意的，总存在唯一的，使成立， 取，，由，得，则，则，进而可得显然此方程无实数解，所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”，【小问2详解】函数为区间上的“1阶自伴函数”，则对任意，总存在唯一的，使得，即，进而，得，显然函数在上单调递减，且当时，，当时，，因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而，所以，所以，解得，即，所以的值是1．【小问3详解】由于分别为定义域内单调递增和单调递减函数，所以函数在上单调递增，且得函数的值域为，由函数是在区间上的“2阶伴随函数”可知，对任意的,，总存在唯一的,时，使得成立，于是，则在区间上的值域是区间的子集， 而函数图象开口向上，对称轴为，显然，，，当时，在,上单调递增，则，即，无解；当时，在,上单调递减，则，即，无解；当时，在,上单调递减，在,上单调递增，则，即，解得；综上，的取值范围是．