山西省2023-2024学年高一上学期12月联合数学试题（Word版附解析）

2023—2024学年山西省高一12月联合考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.1.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.“”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知，，则的最小值为（）A.15B.12C.8D.65.，，的大小关系是（）A.B.C.D.6.函数的图象大致为（） A.B.C.D.7.若函数（且）在上的值域为，则（）A.3或B.或C.或D.或8.已知定义在R上的奇函数在上单调递减，定义在R上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数的值域为，则的定义域可能为（）A.B.C.D.10.已知一次函数满足，则的解析式可能为（）A.B.C.D.11.人们常用里氏震级M表示地震强度，E（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（m为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为焦耳，则（）A.B.C.乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为焦耳D.甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的倍12.已知a，b满足，则（）A.且B.的最小值为9C.的最大值为D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.某高一（5）班共有55名学生，在数学课上全班同学一起做两道数学试题，其中一道是关于指数函数的试题，另一道是关于对数函数的试题.已知关于指数函数的试题做对的有36人，关于对数函数的试题做对的有32人，每名同学至少做对了其中一道试题，则这两道题都做对的有________人.14已知函数，若，且，则______.15.若偶函数，则______.16.已知函数恰有3个零点，则的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.18.某校欲建造一个扇环形状的花坛，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆构造出的，小圆半径米，大圆半径米，圆心角.（1）求该花坛的周长；（2）求该花坛的面积.19.已知函数（且，为常数）的图象经过点，.（1）求的值；（2）设函数，求在上的值域.20.已知函数.（1）求的定义域；（2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围.21.某果园占地约200公顷，拟种植某种果树，在相同种植条件下，该种果树每公顷最多可种植600棵，种植成本y（单位：万元）与果树数量x（单位：百棵）之间的关系如下表所示. x0491636y3791115为了描述种植成本y（单位：万元）与果树数量x（单位：百棵）之间的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③.（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式.（2）已知该果园的年利润z（单位：万元）与x，y的关系式为，则果树数量x（单位：百棵）为多少时年利润最大？并求出年利润的最大值.22已知函数.（1）当时，试判断在上的单调性，并用定义证明.（2）设，若，，求n的取值范围（结果用m表示）. 2023—2024学年山西省高一12月联合考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.1.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用并集的概念计算即可.详解】依得，即，则.故选：B2.是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】D【解析】【分析】根据终边相同角的定义可确定具体的象限即可求解【详解】因为，即与终边相同，所以是第四象限角.故D正确.故选：D.3.“”是“”的（） A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可.【详解】由，得，解得或,所以时，具有充分性；而时，或，不具有必要性.故选：B4.已知，，则的最小值为（）A.15B.12C.8D.6【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】由基本不等式可知：，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为12.故选：B5.，，的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质计算即可.【详解】因为，所以.故选：C 6.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函数单调性和奇偶性即可判断.【详解】定义域为，排除选项D.又因为，所以为奇函数，排除选项C.因为，所以排除选项A，当时，因为均单调递增，故在上单调递增，又因为为奇函数，则在上单调递减，故B的图象符合，故选：B.7.若函数（且）在上的值域为，则（）A.3或B.或C.或D.或【答案】C【解析】【分析】讨论和，利用指数函数的单调性求函数的最值列出等式即可求解.【详解】当时，在上单调递减，则，解得，此时.当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 此时综上可得：为或.故选：C8.已知定义在R上的奇函数在上单调递减，定义在R上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析出与的单调性和特殊点的函数值，在同一坐标系内画出函数图象，数形结合求出不等式的解集.【详解】因为定义在R上的奇函数在上单调递减，且，所以在上单调递减，且，.因为定义在R上的偶函数在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，在同一坐标系内画出与的大致图象，故不等式的解集是.故选：A 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数的值域为，则的定义域可能为（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域，【详解】令，解得，令，解得，根据的图象关于轴对称的性质，可得的定义域可能为，或，故B、C、D正确.故选：BCD.10.已知一次函数满足，则的解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果.【详解】设，则，所以，解得或，则或．故选：AD.11.人们常用里氏震级M表示地震的强度，E（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（m为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为焦耳，则（）A. B.C.乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为焦耳D.甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的倍【答案】AC【解析】【分析】利用待定系数法可判定A、B，通过关系式代入相应震级计算释放能量即可判定C、D.【详解】由题意可得，即，解得，A正确，B错误；若，则，，C正确；若，则，，，D错误.故选：AC12.已知a，b满足，则（）A.且B.的最小值为9C.的最大值为D.【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据指数函数的性质得到，求出且；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C选项，由基本不等式求出答案；D选项，令，即，故，故，D正确.【详解】A选项，因为，所以，故且，A正确；B选项，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为9，B正确；C选项，由基本不等式得，解得， 当且仅当，即时，等号成立，C错误；D选项，，因为，令，即，，故，D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.某高一（5）班共有55名学生，在数学课上全班同学一起做两道数学试题，其中一道是关于指数函数的试题，另一道是关于对数函数的试题.已知关于指数函数的试题做对的有36人，关于对数函数的试题做对的有32人，每名同学至少做对了其中一道试题，则这两道题都做对的有________人.【答案】13【解析】【分析】根据题意，利用集合的关系及运算列出方程即可求解．【详解】设这两道题都做对的有人，因为共有55名学生，关于指数函数的试题做对的有36人，关于对数函数的试题做对的有32人，每名同学至少做对了其中一道试题，所以，解得.故答案为：1314.已知函数，若，且，则______.【答案】【解析】【分析】根据可得图象的对称轴为直线，从而求得，即可求解.【详解】因为图象的对称轴为直线，所以，则.故答案为：.15.若为偶函数，则______.【答案】 【解析】【分析】设，可求得为奇函数，结合为偶函数，即可求解.【详解】设，定义域为，则，所以函数为奇函数，又因为偶函数所以函数为奇函数，得.故答案为：.16.已知函数恰有3个零点，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】根据有两正根，把问题转化为在上只有1个零点问题，然后分类讨论，结合二次函数的性质列不等式求解即可.【详解】当时，令，得，因为函数与函数的图象在上有2个公共点，所以在上有2个零点，所以在上只有1个零点.当时，在上有唯一零点，符合题意；当时，的图象的对称轴为， 在轴右侧，开口向下，且0，则在上有唯一零点，符合题意；当时，的图象的对称轴为，在轴左侧，开口向上，，则，解得.所以的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由指数幂的运算，即可得到结果；（2）由对数的运算，即可得到结果.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式18.某校欲建造一个扇环形状的花坛，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆构造出的，小圆半径米，大圆半径米，圆心角. （1）求该花坛的周长；（2）求该花坛的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用弧长公式计算即可；（2）利用扇形面积公式计算即可【小问1详解】的长度为米，的长度为米，米，故该花坛的周长为（米）;【小问2详解】该花坛的面积平方米.19.已知函数（且，为常数）的图象经过点，.（1）求的值；（2）设函数，求在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.【小问1详解】 因为的图象经过点，，所以，两式相减得，又且，解得或（舍去），则.【小问2详解】由（1）得，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增，则，，故在上的值域为.20.已知函数.（1）求的定义域；（2）若关于x方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义求解一元二次不等式即可；（2）根据指数与对数的关系化简方程为，利用一元二次方程根的分布计算即可.【小问1详解】令，即，解得，即的定义域为；【小问2详解】 由，得，即，方程有两个不相等的实数根，即方程在上有两个不相等的实数根，则,解得，即a的取值范围为.21.某果园占地约200公顷，拟种植某种果树，在相同种植条件下，该种果树每公顷最多可种植600棵，种植成本y（单位：万元）与果树数量x（单位：百棵）之间的关系如下表所示.x0491636y3791115为了描述种植成本y（单位：万元）与果树数量x（单位：百棵）之间的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③.（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式.（2）已知该果园的年利润z（单位：万元）与x，y的关系式为，则果树数量x（单位：百棵）为多少时年利润最大？并求出年利润的最大值.【答案】（1）②更适合作为y与x的函数模型，且相应的函数解析式为；（2）时，z取得最大值，最大值为79万元.【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算验证即可；（2）利用二次函数的性质计算即可.【小问1详解】因为模型③在处无意义，所以不符合题意.若选择①作为y与x的函数模型，将，代入，得， 解得，则，则当时，，当时，，当时，，与表格中的实际值相差较大，所以①不适合作为y与x的函数模型.若选择②作为y与x的函数模型，将，代入，得，解得，则，当时，，当时，，当时，，与表格中的实际值相同，所以②更适合作为y与x的函数模型，且相应的函数解析式为；【小问2详解】由题可知，该果园最多可种120000棵该种果树，所以且.，令，则，当，即时，z取得最大值，最大值为79万元.22.已知函数.（1）当时，试判断在上的单调性，并用定义证明.（2）设，若，，求n的取值范围（结果用m表示）.【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用单调性的定义计算即可证明；（2）令，将条件不等式化为，分离参数得，利用二次函数的性质分类讨论求其最小值即可.【小问1详解】 在上单调递增.证明如下：任取，且，则，因为，所以，，所以，即，所以在上单调递增；【小问2详解】令，因为，所以.由，得，因为，所以，令，得在上有解，则.当，即时，；当，即时，.综上，当时，n的取值范围为；当时，n的取值范围为.