山西省运城市教育发展联盟2023-2024学年高一上学期10月调研数学试题（Word版附解析）

山西2023～2024年度教育发展联盟高一10月份调研测试数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：必修一第一、二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列各式中关系符号运用正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可.【详解】对于A：，故A错误；对于B：或Ü，故B错误；对于C：或Ü，故C错误；对于D：，故D正确；故选：D2.集合的真子集的个数是（）A.7B.8C.6D.4【答案】A 【解析】【分析】化简集合，判断其有三个元素，即可得出结果.【详解】由，集合有三个元素，则其真子集个数为.故选：A3.命题：，的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由特称命题的否定判断．【详解】由题意得，的否定是，，故选：B4.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】化简集合，利用集合间的基本运算求解即可.【详解】由，，得或，则.故选：D5.“关于的不等式的解集为”的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出关于的不等式的解集为的充要条件，即可判断.【详解】若关于的不等式的解集为，当时，，显然成立；当时，则，解得；综上可得.即关于的不等式的解集为的充要条件为，因为Ü，所以关于的不等式的解集为的一个充分不必要条件可以是.故选：C6.已知一元二次不等式的解集为，则的最小值为（）A.-4B.4C.2D.-2【答案】B【解析】【分析】分析可得，利用韦达定理可得出、，再利用基本不等式可求得的最大值.【详解】因为一元二次不等式的解集为，所以，，则，所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立.因此，的最小值为.故选：B.7.已知关于的方程有两个实数根，.若，满足，则实数的取值为（）A.或4B.4C.D.【答案】C【解析】【分析】由韦达定理列式求解．【详解】由时，，，解得（舍去）故选：C8.某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中同时参加数、理、化三科竞赛的有7名，没有参加任何竞赛的学生共有10名，若该班学生共有51名，则只参与两科竞赛的同学有（）人A.19B.18C.9D.29【答案】A【解析】【分析】设只参加数理的有a人，只参加数化的有b人，只参加理化的有c人，由题意画出Venn图求解.【详解】解：设只参加数理的有a人，只参加数化的有b人，只参加理化的有c人，由题意画出Venn图，如图所示：则只参加数学竞赛的有：人，只参加物理竞赛的有 人，只参加化学竞赛的有：人，所以参加竞赛的有人，由题意得，解得，所以只参与两科竞赛的同学有19人，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，，若，则的取值可以是（）A.1B.2C.3D.4【答案】AC【解析】【分析】根据并集的概念及运算即可得到结果.【详解】∵集合，，∴，或.故选：AC.10.二次函数的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是（）A.B.C.D.当时，【答案】ABC【解析】【分析】利用二次函数的图像和性质逐个选项判断即可. 【详解】根据图像可得，，，A正确；由对称性和时，，所以时，，即，，当时，，BC正确，D错误.故选：ABC11.已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】由基本不等式逐一判断．【详解】对于A，当为负数时不成立，故A错误，对于B，，则，故B正确，对于C，，则都为正数，，当且仅当，即时等号成立，故C正确，对于D，，当且仅当和同时成立，即时等号成立，故D正确，故选：BCD12.对于集合，，定义集合运算，则下列结论正确的有（）A.B.C.若，则D.若Ü，则【答案】ABC【解析】【分析】由韦恩图分别表示集合，，，再对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，，若，具有包含关系，不妨设是的真子集，对于A，图中，，图中，所以，A正确；对于B，图中，成立，图中，，，所以成立，故B正确；对于C，若，则；故C正确；对于D，由图2可知，若Ü，则，故D错误；故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，，若，则符合条件的集合的个数为________.【答案】4【解析】【分析】根据，列举出集合C求解.【详解】解：因为集合，，且，所以集合共4个，故答案：414.若命题“，”为真命题，则的取值范围为________.【答案】【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为能成立问题，求其最大值，即可得到结果.【详解】命题“，”为真命题，即，，设，，当时，取得最大值为，所以，即的取值范围为.故答案为：15.对任意实数，，，下列命题中真命题的序号是________.①是的充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的必要而不充分条件；④，.【答案】②③④【解析】【分析】①②③利用充分条件和必要条件的定义判断；④举例判断.【详解】①当时，，当，即时，解得或，故是的充分不必要条件；②由一个无理数与一个有理数的和与差为无理数知：“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③当，即时，解得或，所以“”是“”的必要而不充分条件；④当时，，故正确；故答案为：②③④16.已知，，满足，存在实数，使得恒成立，则的最小值为________.【答案】4【解析】 【分析】由得整理得到，即可得最小值为.【详解】因为，，所以，即，得，所以，当且仅当时等号成立，由得，整理得，即，所以，又因为存在实数，使得恒成立，所以，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集，，，求：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用集合的交集运算求解；（2）利用集合的补集和并集运算求解.【小问1详解】解：因为，，所以.【小问2详解】因为或， 所以或.18.设：实数满足，其中，：实数满足.（1）若，且，均成立，求实数的取值范围；（2）若成立的一个充分不必要条件是，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，再根据二次不等式求解即可；（2）根据充分不必要条件的性质，结合区间端点的位置关系求解即可.【小问1详解】当时，由，解得，而由，得，由于，均成立，故，即的取值范围是.【小问2详解】由得，因为，所以，故：，因为是的充分不必要条件，所以解得.故实数的取值范围是.19.已知集合，（1）当时，求实数的值；（2）若时，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）或或【解析】【分析】（1）利用，代入解方程，即可求出，再检验即可；（2）转化为子集问题，结合子集的定义得出的所有可能情况，分别讨论这些情况，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】，因为，所以，即，解得或.当时，，，不合题意；当时，，，符合题意，综上，；【小问2详解】因为，所以，即可能为，，，，当时，，即，解得或，当集合中只有一个元素时，，解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，由根与系数的关系可知,又，解得， 所以综上所述，所求实数的取值范围是或或.20.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.（1）设的长为米，试用表示矩形的面积；（2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小?并求出最小值.【答案】（1）（2）的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.【解析】【分析】（1）设的长为米，则米，由得到AM，然后由求解；（2）由，利用基本不等式求解.【小问1详解】解：设的长为米，则米，∵，∴，∴；【小问2详解】记矩形花坛的面积为，则，当且仅当，即时取等号， 故的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.21.设函数.（1）若，，，求不等式解集；（2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论求解一元二次不等式，即可得到结果；（2）根据题意，将不等式化简，结合基本不等式，即可得到结果.【小问1详解】当，，，则不等式，即，当，方程的两根为和2，①当，即时，不等式的解集为；②当，即时，不等式的解集为；③当且，即时，不等式的解集为.综上所述：当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；【小问2详解】若，不等式即为：， 当时，可变形为：，即，又，当且仅当，即时，等号成立，∴，即，∴实数的取值范围是.22.【问题】已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集.在研究上面的【问题】时，小明和小宁分别得到了下面的【解法一】和【解法二】：【解法一】由已知得方程的两个根分别为1和2，且，由韦达定理得所以不等式转化为，整理得，解得，所以不等式的解集为.【解法二】由已知得，令，则，所以不等式解集是.参考以上解法，解答下面的问题：（1）若关于的不等式的解集是，请写出关于的不等式的解集；（直接写出答案即可）（2）若实数，满足方程，，且，求的值. 【答案】（1）（2）-490【解析】【分析】（1）参考题中所给解法，通过变形将不等式中的变为的形式，再令，解不等式即可.（2）由题意可得，是方程是的两个不等根，由韦达定理代入求解即可得出答案.【小问1详解】由得，，令，因为，所以.所以不等式的解集为.小问2详解】方程，，化简为，.即，，又.故，是方程是的两个不等根，由韦达定理得故