山西省朔州市怀仁市第九中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

山西省朔州市第九中学高中部2023-2024学年高一上学期期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号和班级填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题（每题4分，共48分）1.命题“有实数解”的否定是（）A.无实数解B.有实数解C.有实数解D.无实数解【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“有实数解”的否定是“无实数解”．故选:D．2.“”是“”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】因为或，又时，不能得出；时，不能得出；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D. 3.已知集合A={x∈N|0≤x<m}有8个子集，则实数m的取值范围为（）A.{m|2<m≤3}B.{m|2≤m<3}C.{m|2≤m≤3}D.{m|2<m<3}【答案】A【解析】【分析】根据题意，集合元素的个数与子集的关系确定集合A的元素个数，再求m的取值范围.【详解】因为A有8个子集，所以集合A中含有3个元素，则2<m≤3.故选:A.4.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.【详解】由特称命题的否定的概念知，“，”的否定为：，．故选：B．5.下列语句不是存在量词命题的是（）A.至少有一个x，使成立B.有的无理数的平方不是有理数C.存在，是偶数D.梯形有两边平行【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的定义与性质,判断即可.【详解】对于A，至少有一个x，使成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题；对于B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题；对于C，存在，是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题；对于D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题．故选：D.6.已知集合，，，则（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】根据，可得，分情况讨论即可得解.【详解】由，可得， 当时，，此时，不成立；当时，，此时，成立；当时，（舍）或，此时，不成立，综上所述，，故选：C.7.若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由“，”为假命题，可得“”，，为真命题，可知A，B，D不正确，即可得出答案.【详解】若“，”为假命题，所以“”，，为真命题，所以A，B，D不正确，排除A，B，D．故选：C．8.若，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对A，B，C，D选项作差与0比较即可得出答案.【详解】对于A，因为，故，即，故A错误；对于B，，无法判断，故B错误；对于C，因为，，故C正确；对于D，因为，故，即，故D错误．故选：C．9.下列命题中是存在量词命题并且是假命题的是（） A.平行四边形的对角线互相平分B.存在一条直线与已知直线不平行C.对任意实数，若，则D.存在两个全等的三角形的面积不相等【答案】D【解析】【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断.【详解】A､C项是全称量词命题，；B项是存在量词命题，是真命题；因为全等的三角形的面积一定相等，所以存在两个全等三角形的面积不相等是存在量词命题，且为假命题，故选：D.10.若正数满足，则的最小值是（）A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】【分析】由“1”的代换，利用基本不等式求最小值．【详解】，当且仅当，即时等号成立，所以最小值是8.故选：C．11.对于集合，定义：且，若，则（）A.B.或C.或D.或【答案】D【解析】【分析】根据给的定义分别求解,进而可求解.【详解】，则，或.故选：D 12.下列命题是全称量词命题的是（）A.存在一个实数的平方是负数B.每个四边形的内角和都是360°C.至少有一个整数，使得是质数D.，【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的定义分析判断.【详解】对于ACD，均为存在量词命题，对于B中的命题是全称量词命题.故选：B二、填空题（共22分）13.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________.【答案】10【解析】【分析】先分别求出只参加数学活动和只参加物理活动的人数，然后画出韦恩图，利用韦恩图的性质求解即可.【详解】由题意得只参加数学活动的学生数为人，只参加物理活动的学生数为，如图所示的韦恩图，则由图可知既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为人，故答案为：1014.已知，则“”是“”________条件．【答案】充分【解析】【分析】利用充分条件的定义和子集的定义求解.【详解】解：因为，所以当时，则，所以“”是“”的充分条件．故答案为：充分 15.已知正实数满足，则的最小值为___________.【答案】##1.8【解析】【分析】由得，然后由“1”的代换，利用基本不等式求得最小值．【详解】正实数满足，所以，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：．16.已知集合，则的子集的个数为___________.【答案】【解析】【分析】先求出两集合的交集，再利用公式可求出的子集的个数.【详解】因为，所以，所以的子集的个数为.故答案为：417.某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中______；______；______.【答案】①.9②.8③.10【解析】【分析】根据题意结合图形列方程组求解即可.【详解】由题意得 ，则，解得，故答案为：9，8，10三、解答题（本题共5小题，每题16分，共80分）18.已知集合，，R.（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.【小问1详解】若，则，解得，即实数取值范围【小问2详解】由题知，，，因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集，即，解得.即实数a的取值范围是.19.写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由．（1），；（2）p：不论m取何实数，关于x的方程必有实数根；（3）p：有的平行四边形的对角线相等；（4）p：等腰梯形的对角线互相平分．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；【解析】【分析】对（1）（3）由存在性命题的否定求解，并判断真假；对（2）（4）根据全称命题的否定求解，并判断真假即可.【小问1详解】 （1）因为，，所以命题p的否定：，．显然当时，，，命题p的否定为真命题；【小问2详解】因为p：不论m取何实数值，关于x的方程必有实数根；所以命题p的否定：存在实数m，关于x的方程没有实数根．当时，方程有实根，当时，方程的判别式，故命题p为真命题，命题p的否定为假命题；【小问3详解】p：有的平行四边形的对角线相等，命题p的否定：所有的平行四边形的对角线都不相等，则命题p是真命题，命题p的否定是假命题；【小问4详解】p：等腰梯形的对角线互相平分，命题p的否定：存在一个等腰梯形，它的对角线不互相平分，命题p为假命题，命题p的否定是真命题．20.已知集合，且.（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；（2）若“”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据即可根据集合的包含关系求解，（2）将问题转化成，进而求解的情况，即可求解不为空集的情况.【小问1详解】由于“”是真命题，所以，而，所以，解得，故的取值范围为.【小问2详解】因为，所以，得.由为真，得，当时，或，得，因为 ，所以当时，当时，，故的取值范围为.21.已知函数.（1）证明在区间上单调递减；（2）已知，在上的值域是，求，的值.【答案】（1）证明见解析（2），【解析】【分析】（1）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）由（1）可得函数在上为减函数，即可得到方程组，解得即可.【小问1详解】证明：，，且，则.因为，所以，则，即，所以在区间上单调递减.【小问2详解】解：由（1）可知，在上为减函数且，所以，，解得或（舍去），所以，.22. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？【答案】（1）900cm（2）选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少【解析】【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.【小问1详解】设阴影部分直角三角形的高为cm，所以阴影部分的面积，所以，又，故，由图可知cm，cm.海报纸的周长为cm.故海报纸的周长为900cm.【小问2详解】由（1）知，，，，当且仅当，即cm，cm时等号成立，此时，cm，cm.故选择矩形的长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少.