四川省百分智名校2023-2024学年高一上学期期中联合学业质量检测数学试题（Word版附解析）

高一数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.“，是奇数”的否定是（）A.，不是奇数B.，不是奇数C.，不是奇数D.，是奇数3.“小宋来自四川省”是“小宋来自成都市”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数的定义域为（）A.B.C.D.5.已知，，，则（）A.B.C.D.6.已知函数，若，则（）A.19B.17C.8D.7.函数的零点个数为（）A.0B.1C.2D.38.已知是定义在上奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题是真命题是（）A.集合有4个元素B.等边三角形是轴对称图形C.“所有的自然数都不小于零”是全称量词命题D.所有奇函数的图象都关于原点对称10.已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（）A.B.C.D.11.溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性，则下列选项正确的是（参考数据：取）（）A.若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是1.6B.若纯净水的氢离子浓度是海水的倍，则海水的是9.1C.若某溶液中氢离子的浓度为摩尔/升，则该溶液呈酸性D.若某个新鲜的鸡蛋蛋白的是8，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升 12.若，则（）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若是幂函数，则________．14.已知正数，满足，则的最大值为________．15.已知函数的零点在区间内，则________．16.已知函数（且在上是增函数，则的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）；（2）．18.已知集合，．（1）若，求，（2）若，求的取值范围．19.已知函数满足．（1）求的值；（2）试判断在上的单调性，并用定义证明．20.小钗计划开始学习国画，且无论任何情况都坚持每天打卡.把小钗现在的国画学习值看作天后小钗的国画学习值为，已知10天后小钗的国画学习值为1.22.（参考数据：取） （1）求的值，并写出的解析式；（2）当小钗国画学习值达到2.89时，试问小钗已经坚持学习国画多少天？（结果保留整数）21.已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为．（1）证明：偶函数．（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．22.已知函数满足．（1）求的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围，（3）已知实数，，满足，当时，恒成立，求的最大值． 高一数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解出集合，再根据交集含义即可.【详解】因为，所以．故选：C.2.“，是奇数”的否定是（）A.，不是奇数B.，不是奇数C.，不是奇数D.，是奇数【答案】A【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题分析判断．【详解】“，是奇数”的否定是“，不是奇数”.故选：A.3.“小宋来自四川省”是“小宋来自成都市”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件判断即可.【详解】“小宋来自四川省”不能推出“小宋来自成都市”，但“小宋来自成都市”可以推出“小宋来自四川省”．故“小宋来自四川省”是“小宋来自成都市”的必要不充分条件，故选：B4.函数的定义域为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为.故选：A.5.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小即可.【详解】因为，，，所以．故选：D6.已知函数，若，则（）A.19B.17C.8D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得，结合，即可求解．【详解】由函数，因为，可得，即，则．故选：B. 7.函数的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】分别讨论和时，的零点个数，再根据题意分析即可得出答案.【详解】当时，令，解得．当时，令，得3，因为函数与的图象在上有唯一公共点，即在上有唯一零点，故的零点个数为2.故选:C8.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性、奇偶性画出的大致图象，结合图象来求得不等式的解集.【详解】根据题意可得在上单调递增，因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．令，解得或（舍去），则． 画出的大致图象，则由不等式，得或，解得或，所以不等式的解集为.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题是真命题的是（）A.集合有4个元素B.等边三角形是轴对称图形C.“所有的自然数都不小于零”是全称量词命题D.所有奇函数的图象都关于原点对称【答案】BCD【解析】【分析】根据集合描述法的表示判断A，根据轴对称判断B，根据全称命题概念判断C，根据奇函数性质判断D.【详解】集合，有3个元素，A错误；等边三角形是轴对称图形，B正确；“所有的自然数都不小于零”是全称量词命题，C正确；所有奇函数图象都关于原点对称，D正确．故选：BCD10.已知函数（且的图象如图所示，则函数 的大致图象不可能为（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由指数函数的图象特征，结合幂函数在第一象限的图象特征可得答案.详解】根据题意可得，的图象是向上平移a个单位得到的，结合幂函数的性质可知在上为单调递增函数，当a为奇数时，图象如C选项所示；当a为偶数时，图象如B选项所示，选项A，D不符合题意．故选：AD.11.溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性，则下列选项正确的是（参考数据：取）（）A.若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是1.6B.若纯净水的氢离子浓度是海水的倍，则海水的是9.1C.若某溶液中氢离子的浓度为摩尔/升，则该溶液呈酸性D.若某个新鲜的鸡蛋蛋白的是8，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升 【答案】ACD【解析】【分析】根据题中公式，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】胃酸的，A正确．海水的氢离子浓度为摩尔/升，则海水的，B错误．选项C中溶液的，溶液呈酸性，C正确．新鲜的鸡蛋蛋白的，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升，D正确．故选：ACD.12.若，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合作差法，对选项逐一分析判断即可得解.【详解】因为，所以，则，所以，又，所以，故A正确．设函数，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，且，所以在上单调递增，，即，，故B正确．取，，则，故C错误． ，则，因为函数为减函数，所以．因为函数为增函数，所以，则，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若是幂函数，则________．【答案】2【解析】【分析】根据幂函数的定义列方程来求得的值.【详解】令，得，解得．故答案为：14.已知正数，满足，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求得的最大值.【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立．故最大值为4．故答案为：15.已知函数的零点在区间内，则________．【答案】【解析】【分析】先求出在上的单调性，然后利用零点存在定理从而求解.【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，，，所以零点在区间内，故.故答案为：.16.已知函数（且在上是增函数，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据复合函数的单调性，对分类讨论，列出不等式组求解即可得解.【详解】设函数．当时，函数在上单调递增，则在上为增函数，由，解得．当时，函数在上单调递减，则在为减函数，由，解得．综上，故的取值范围为．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17计算：（1）； （2）．【答案】17.718.1【解析】【分析】（1）由指数幂运算直接得答案；（2）由对数的运算直接得答案.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式．18.已知集合，．（1）若，求，（2）若，求的取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到，，结合集合并集和补集的运算，即可求解；（2）由，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由不等式，即，解得，所以，当时，可得，所以，．【小问2详解】 解：由集合，，因为，可得，当时，可得，解得；当时，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围为．19.已知函数满足．（1）求的值；（2）试判断在上的单调性，并用定义证明．【答案】（1）2；（2）在上单调递减，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用给定的函数解析式及函数值，求出，再求出函数值即得.（2）函数在上单调递减，再利用单调性定义推理得解.【小问1详解】函数，由，得，解得，因此，则，所以.【小问2详解】函数在上单调递减．任取，且，则，由，得，，，，，因此，即， 函数在上单调递减．20.小钗计划开始学习国画，且无论任何情况都坚持每天打卡.把小钗现在的国画学习值看作天后小钗的国画学习值为，已知10天后小钗的国画学习值为1.22.（参考数据：取）（1）求的值，并写出的解析式；（2）当小钗的国画学习值达到2.89时，试问小钗已经坚持学习国画多少天？（结果保留整数）【答案】（1），（2）54天【解析】【分析】（1）由题意可得，进而结合指数与对数的相互转化求解即可；（2）令，结合对数的运算性质求解即可.【小问1详解】依题意可得，即，因为，所以，因为，所以，即，则.【小问2详解】令，得，故当小钢的国画学习值达到2.89时，小钢已经坚持学习国画54天.21.已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为．（1）证明：是偶函数．（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用二次函数的性质，求得，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可得证；（2）由（1）得到，根据在上有两个零点，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】证明：由二次函数的单调递增区间为，可得，解得．又因为有一个零点为，则，解得或（舍去），所以，因为，所以是偶函数．【小问2详解】解：由（1）可知，因为在上有两个零点，则满足，解得，所以实数的取值范围为．22.已知函数满足．（1）求的解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围，（3）已知实数，，满足，当时，恒成立，求的最大值． 【答案】（1）（2）（3）2【解析】【分析】（1）换元法求函数解析式即可得解；（2）分离参数后利用均值不等式求最值可得参数取值范围；（3）由题意转化为，利用均值不等式分析最小取值，解出的取值范围即可.【小问1详解】令，得，则，故的解析式为．【小问2详解】对任意的，不等式恒成立，即，因为，所以．设，因为，所以，，所以，则，故，即的取值范围为．【小问3详解】由，得，由，得，即，，当且仅当时，等号成立．因为，所以， 所以，即，，解得，因为，所以的最大值为2．