安徽省池州市贵池区2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测数学试题（Word版附解析）

贵池区2023～2024学年度第一学期期中教学质量检测高一数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）命题单位：池州二中注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3.请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据集合交集概念求解．【详解】故选：A2.命题“，有实数解”的否定形式是（）A.，无实数解B.，有实数解C.，无实数解D.，无实数解【答案】D【解析】【分析】根据存在性量词命题的否定，直接得出结果.【详解】由题意知，命题“有实数解”的否定为“无实数解”. 故选：D3.已知幂函数的图象经过，则（）A.是偶函数，且在上是增函数B.是偶函数，且在上是减函数C.是奇函数，且在上是减函数D.是非奇非偶函数，且在上是增函数【答案】A【解析】【分析】根据题意和幂函数的定义可得，结合幂函数的单调性和奇偶性即可求解.【详解】设幂函数的解析式为，则，解得，所以，定义域为R，且，所以函数为偶函数，在上单调递增.故选：A.4.王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（）A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.充要条件D.必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义即可求解.【详解】由题意知，“有志”不一定“能至”，但“能至”一定“有志”，所以“有志”是“能至”的必要不充分条件.故选：D.5.下列函数中最小值为4的是（） A.B.当时，C.当时，D.【答案】B【解析】【分析】举例说明，即可判断AC；根据基本不等式计算即可判断BD.【详解】A：当时，，所以的最小值不为4，故A不符合题意；B：当时，，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为4，故B符合题意；C：当时，，所以的最小值不为4，故C不符合题意；D：，当且仅当即时等号成立，但无解，故D不符合题意.故选：B.6.若，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质应用作差法逐个判断即可.【详解】对于A：，，A错误；对于B：，所以当时，当时， 当时，B错误；对于C：，所以，C正确；对于D：，所以，D错误，故选：C7.关于的不等式在上恒成立，则的最大值为（）A.B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】先由不等式在上恒成立，可求出，再用不等式性质，用表示出，即可求解.【详解】设，因为不等式在上恒成立，所以令，则，解得，所以，故选：B.8.已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】设，根据函数的单调性可知函数在上单调递减，原不等式可转化为，解之即可.【详解】由题意知，，得，设，则函数在上单调递减，且，不等式等价于，即，所以，解得，即原不等式的解集为.故选：D.二、多选题（每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.下列命题为假命题的是（）A.命题“函数，是偶函数”B.“，”是“”的充分必要条件C.二次函数的零点为和D.“”是“”的既不充分也不必要条件【答案】ABC【解析】【分析】根据奇偶函数的定义判断A；根据基本不等式的适用原则和举例说明即可判断B；根据零点的定义即可判断C；举例说明即可判断D.【详解】A：函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故A符合题意；B：由基本不等式知当时，，当且仅当时等号成立.当时，满足，所以“”是“”的充分不必要条件，故B符合题意； C：由，得或3，所以二次函数的零点为和，故C符合题意；D：当时，满足，但不成立.当时，满足，但不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D不符合题意.故选：ABC.10.下列说法正确的有（）A.式子可表示自变量为x、因变量为y的函数B.已知，则最小值为C.已知，则当时，单调递减D.与是同一函数【答案】ABD【解析】【分析】先根据函数的定义判断是否为函数，然后根据不等式求出最值，对于绝对值不等式可以根据的取值去掉绝对值，最后判断是否为同一个函数先判断定义域，再判断函数的解析式即可.【详解】对于A：需满足，即，所以对，都有唯一确定的值与之对应，所以可表示自变量为x，因变量为y的函数，A正确；对于B：因为，所以，即的最小值为，B正确；对于C：当时，所以在区间不是单调递减，C错误；对于D：与定义域相同，解析式也相同，所以同一函数，D正确，故选：ABD11.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定 正确的是（）A.函数为偶函数B.函数的图象关于对称C.D.函数的图象关于对称【答案】ABC【解析】【分析】根据抽象函数的周期性、奇偶性和对称性，依次判断选项即可.【详解】A：由函数为偶函数，得，由，得，则，所以函数的周期为4，由，得，所以函数为偶函数，故A正确；B：由函数为偶函数，得，又，所以，故函数的图象关于点对称，故B正确；C：由知，又为偶函数，所以，所以，得，故C正确；D：由函数为偶函数，得，函数的图象关于直线对称，故D错误.故选：ABC.12.若关于的不等式的解集为，则的值可以是（）A.B.C.2D.1【答案】BC【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线，且需满足，即，解得，所以，所以，所以，故的值可以是和，故选：BC【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分，其中16题第1空2分，第2空3分）13.已知函数的定义域为，则的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】先根据的定义域得到不等式，然后解不等式，得到定义域即可.【详解】因为的定义域为，所以需满足，解得，故答案为：14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则__________.【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性先得到，再由定义域为求出，最后相加即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，又因为定义域为， 所以，所以，故答案为：15.已知，若，则的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，化简得到，设，求得，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，且，可得，则，设，可得且，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.16.设函数的定义域为，满足，当时，，则__________；若对任意，都有，则的最大值为__________.【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】根据已知条件，可得，即可求得的值；同时根据已知条件可以依次得到，时对应函数的解析式，然后按照规律画出函数的图象，可根据不等式恒成立结合函数的图象即可求得的最大值.【详解】因为， 所以.同时由可得.又当时，.当时，，.当时，，.当时，由，解得或.当时，，.显然，当时，，如图：对任意，都有，必有.所以的最大值是.故答案为：，.四、解答题（共70分，）17.已知集合，； （1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）因为所以很容易求出集合，又已知集合，利用集合的基本运算即可求出;（2）本题考查的是集合的运算，，所以需要考虑和不为空集两种情况，再结合集合的基本运算即可求出实数的取值范围．试题解析：（1）（2）当时，当时，综上所述：考点：集合的运算【易错点睛】凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数上所有点的集合．集合表示使函数解析式有意义的的取值范围，是定义域；所以在做题时要看清楚间隔号之前表示的是什么含义．18.（1）已知，，且，证明：；（2）若a，b，c是三角形的三边，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，则，结合基本不等式计算即可证明；（2）利用作差法可得，同理可得，相加即可证明.【详解】（1）证明：由，得， 所以，当且仅当即，时等号成立，所以；（2）证明：由题意知，，且，所以，即.同理可得，所以，即证.19.已知：实数满足，：实数满足（其中）.（1）若，且和至少有一个为真，求实数的取值范围；（2）若是充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式后取并集即可，（2）由充分不必要条件得推出关系后列式求解．【小问1详解】：实数满足，解得，当时，：，解得，∵p和q至少有一个为真，∴或，∴，∴实数的取值范围为；【小问2详解】∵，由，解得，即：，∵是的充分不必要条件， ∴（等号不同时取），∴，20.已知函数是定义域为上的奇函数，且.（1）求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数；（2）若实数满足，求实数的范围.【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得，即有，解可得，设，由作差法分析可得答案；（2）根据题意，原不等式变形可得，解可得的取值范围，即可得答案．【小问1详解】根据题意，函数是定义域在上的奇函数，则，即有，解可得，则，则，则此时奇函数，设，则，又，，则，，则，故在上是增函数.【小问2详解】根据题意，，即，则有，解可得； 即的取值范围为．21.某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）（1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】21.；22.当施用肥料4千克时，单株利润取得最大值640.【解析】【分析】（1）利用条件用销售额减去成本表示利润即可；（2）根据二次函数的单调性及基本不等式计算即可.【小问1详解】由题意可知：；【小问2详解】根据（1）可知：当时，，即在上单调递减，在上单调递增，易知，当时，， 当且仅当，即时取得等号，综上，当施用肥料千克时，单株利润取得最大值640.22.已知函数．（1）解不等式；（2）若，满足，且，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分段讨论x的取值范围，化简，分别解一元二次不等式，即可得答案；（2）作出函数大致图象，结合图像确定的范围，讨论当，成立；时，转化为证明，则可构造函数，，利用其单调性证明结论.【小问1详解】由题意，，①，不等式即，，②，不等式即，；综上，.【小问2详解】 函数大致图象如图，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，∴若，满足，则，由图象知，①若，则显然；②若，要证明，则要证，注意到，，且在递减，则可证明，∵，则可证明，构造函数，，则，，，，∵，，，∴，∴，∴在上单调递减，∵，∴时，，即，∴，从而得证．【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于证明；解答时利用函数的 图像确定的范围，再结合范围分类讨论。进而构造函数，利用函数的单调性解决问题.