山西省2023-2024学年高二数学上学期10月联合考试试卷（Word版附解析）

2023~2024学年山西省高二10月联合考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为A.B.C.D.2.直线：的倾斜角为A.B.C.D.3.已知向量，，若，则A.B.4C.或1D.4或4.已知点，，则经过线段的中点，且与直线平行的直线的方程为A.B.C.D.5.若直线：的倾斜角为，则“”是“不是钝角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知点，，，若是直线：和：的公共点，则直线的方程为A.B.C.D.7.如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点， ，则折后平面与平面的夹角的余弦值为A.B.C.D.8.正方体的棱长为2，是空间内的动点，且，则的最小值为A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则A.在方向上的投影向是为B.在方向上的投影向还为C.在方向上的投影向是为D.在方向上的投影向是为10.经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为A.B.C.D.11.直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是 A.B.C.D.12.已知正方体的棱长为2，是正方体所在空间内一点，下列结论正确的是A.若，则的最小值为B.若，则平面截正方体所得截面积的最大值为C.若，则三棱锥的表面积为D.若，则直线与所成角的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点，，，则______.14.已知直线：的倾斜角为，则______.15.如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则______.16.某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米.若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知直线：经过第一、二、四象限.（1）求的取值范围；（2）若直线：与直线垂直，求的值.18.（12分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，.（1）设，，，用，，表示；（2）若，求.19.（12分）已知直线：.（1）证明无论为何值，直线经过定点，并求出点的坐标；（2）若斜率大于0，且经过（1）中点的直线与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点，求面积的最小值.20.（12分）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，且，，，分别为，，的中点，.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离. 21.（12分）已知的三个顶点是，，.（1）过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程.22.（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，为的中点.（1）证明：.（2）若二面角的平面角为，是线段上的一个动点，求直线与平面所成角的最大值. 2023~2024学年山西省高二10月联合考试数学参考答案1.A点关于平面对称的点的坐标为.2.D设的倾斜角为，则.因为，所以.3.C因为，所以，解得或1.4.B线段中点的坐标为，过点且与直线平行的直线的方程为.5.A若，则的斜率，则不是钝角.若或，则.故“”是“不是钝角”的充分不必要条件.6.B由点在：上可知，，同理，故点与均满足方程，因此直线的方程为.7.D以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则得，取，则，， 得平面的一个法向量为，易得平面的一个法向量为，所以平面与平面的夹角的余弦值为.8.D取的中点，连接（图略），则，则，即，故动点的轨迹为以为球心，为半径的球.由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为，即动点的轨迹为正方体的外接球.取的中点，连接（图略），则.由题可知，，则，则.9.ACD由图可知，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为.故选ACD.10.AC若直线在两坐标轴上的截距均为0，则直线的方程为，A正确.若直线在两坐标轴上的截距不为0，可设直线的方程为，将代入方程得，则直线的方程为，C正确.11.BC对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确.对于B选项，当时，符合题意，B正确.对于C选项，当或时，符合题意，C正确.对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确.12.ABD对于A选项，在上取点（图略），使得，在上取点，使得，则由，得，即，故是线段上一点.将平面沿展开至与平面共面，此时，当，，三点共线时，取得最小值，A正确.对于B选项，由，可知是线段上一点. 连接并与交于点（图略）.当与重合时，平面与平面重合，不符合题意.当在线段（不含点）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当与重合时，截面面积最大，最大值为.当在线段（不含点，）上时，延长并与交于点，作并与交于点，则截面为等腰梯形，设，则，.梯形的高，面积为.当与重合时，截面为矩形，面积为.故平面截正方体所得截面积的最大值为，B正确.对于C选项，因为，所以为的中点，三棱锥的表面积为，C不正确.对于D选项，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，.因为，所以，所以直线与所成角的最小值为，D正确. 13.2因为，，，所以，，.14.由题可知，因为，所以.15.因为，所以.又二面角的平面角大小为，四边形，均为边长为4的正方形，所以，，，所以，则.16.以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形.由题可知，直线的方程为，直线的方程为.设，其中，则，，则，，四边形的面积.当时，取得最大值.17.解：（1）将直线的方程转化为. 因为经过第一、二、四象限，所以解得，即的取值范围为（2）将直线的方程转化为，因为，所以解得或.又，所以.18.解：（1）连接，（图略）.因为为的中点，，所以所以.（2）因为，所以.因为平面，平面，所以，，.又，所以，即.19.（1）证明：将直线的方程转化为，令，解得，故无论为何值，直线经过定点，且点的坐标为.（2）解：依题意可设该直线的方程为， 令，得，令，得，则的面积，当且仅当时，等号成立，故面积的最小值为4.20.解：（1）连接，因为底面是菱形，所以因为，分别为，的中点，所以，则平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由，，得，，，，则，.，故直线与所成角的余弦值为.（2）由（1）知.设平面的法向量为，则令，得. 点到平面的距离为.21.解：（1）设，则，因为的面积是面积的3倍，所以则解得故直线的方程为，即.（2）显然，的斜率存在且不为零，设的方程为，则过点且与垂直的直线的方程为.设点关于直线对称的点为，因为直线的方程为，所以整理得.因为，所以，解得或.又，，所以，故直线的方程为，即.22.（1）证明：如图，取的中点，连接，.∵底面是正方形，，∴，，∵，，平面，∴平面又∵平面，∴ （2）解：如图，由（1）可知，二面角的平面角为，且，过点作垂直于直线，垂足为.以为原点，，所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得，，，，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则得取，则设，，则设直线与平面所成的角为，则.令，则，.当时，，；当时，