山西省阳泉市第一中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

阳泉一中2023年高二分班考试试题数学考试时间120分钟分值150一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合要求的）1.已知实数集为，集合，，则A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】分析：先求出，再根据集合的交集运算，即可求解结果.详解：由题意，集合，所以，又由集合，所以，故选C.点睛：本题主要考查了集合的混合运算，熟练掌握集合的交集、并集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简，再得出的共轭复数.【详解】故选：D【点睛】本题主要考查了复数的除法以及求共轭复数，属于基础题.3.甲盒中有一个红球，两个白球，这三个球除了颜色外完全相同，有放回地连续抽取两次，每次从中任意抽取一个，取出的两个球中至少有一个白球的概率为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】首先分析总的基本事件个数，再分析满足题意的事件的基本事件个数，最后根据古典概型求出概率即可.【详解】由题意可知，设抽到红球为事件A，抽到两个白球分别为事件则基本事件共有,,,,,,,,共9个，则取出的两个球中至少有一个白球由8个基本事件，所以由古典概型可知：,故选：D【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.4.已知关于的不等式的解集为，则的值为（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题得、为方程的根，将代入，即得解【详解】由题得、为方程的根，将代入，得，即，故选：A5.若正数满足，则的最小值为A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】【分析】将x+4y＝xy，转化为，再由x+y＝（x+y）（）展开后利用基本不等式可求出x+y最小值．【详解】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy， ∴,∴x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+2＝9，当且仅当x＝2y取等号，结合x+4y＝xy，解得x＝6，y＝3∴x+y的最小值为9，故答案为A．【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.6.要得到函数的图象，只需要将函数的图象A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】B【解析】【详解】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位．本题选择B选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．7.设非零向量满足，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，由平方化简计算可得. 详解】解：设，由平方，得，，化简得，，，又.故选：B8.棱长为1的正四面体中，点，分别是线段，上的点，且满足，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，，，以这3个向量为空间中的基底，将转化为基底的数量积运算，即可得答案.【详解】设，，，由题意可得，，则.故选：A.【点睛】本题考查空间向量基本定理的运用、数量积运算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意基底思想的运用.二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的不得分）9.不等式成立的充分不必要条件可以是（　　）A.B.C.D.【答案】CD【解析】 【分析】求出不等式的解，然后概率充分必要条件的定义判断．【详解】由得，因此A是充要条件，B既不是充分条件也不是必要条件，CD是充分不必要条件．故选：CD．10.已知复数（为虚数单位），则（）A.的共轭复数的虚部为B.为纯虚数C.的模为D.若在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为【答案】BCD【解析】【分析】由已知复数相等，应用复数的四则运算得，结合各选项的描述即可判断正误.【详解】，A：，虚部为，错误；B：，正确；C：，所以，正确；D：，由，其对应的复数为，正确.故选：BCD.11.已知、是随机事件，则下列结论正确的是（）A.若、是互斥事件，则B.若、是对立事件，则、是互斥事件C.若事件、相互独立，则D.事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率【答案】BD【解析】【分析】利用互斥事件的定义可得出，进而可判断A选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用并事件的概率公式以及独立事件的概率公式可判断C选项；列举两个事件所包含的基本情况，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、是互斥事件，则，则，A错；对于B选项，若、是对立事件，则、是互斥事件，B对；对于C选项，若事件、相互独立，则，C错；对于D选项，事件、至少发生一个包含三种情况：、、，事件、恰好发生一个包含两种情况：、，因此，事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率，D对.故选：BD.12.如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作，为垂足.设，则的取值可以是（）A.B.C.D.1【答案】BC【解析】【分析】首先连接，设，，根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，利用勾股定理得到，，，根据得到，即可得到，再根据即可得到答案.【详解】连接，设，. 因为平面平面，，所以平面.又因为平面，所以.在中，，在中，，在中，，设，在中，，在中，，所以，即又因为，所以.故选：BC三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13.已知函数，则________.【答案】4【解析】【分析】本题根据分段函数由内向外求函数值即可.【详解】解：∵，∴，， 故答案为：4.【点睛】本题考查分段函数求函数值，是基础题.14.已知，，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直的坐标表示求解作答.【详解】向量，，且，则，所以.故答案为：15.已知，都是锐角，，，则___________．【答案】【解析】【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值．【详解】解：，都是锐角，，又，，，，则．故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．16.已知、、分别为的三个内角、、的对边，且，点是边上的中点，若，则的面积最大值为_______． 【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用平面向量的数量积结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】因为，所以，，即，所以，.，解得.，所以，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，所以，.故答案为：.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.四、解答题（6个题，共70分，解答应写出必要文字说明、证明过程或推演步骤）17.集合A＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0}，B＝{x|x＜1或x＞2}，若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】a＞2或a＜0．【解析】【分析】先求出集合A的范围，结合充分不必要条件的定义，建立不等式关系进行求解即可．【详解】集合A中x2﹣（2a+1）x+a2+a=（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0得a≤x≤a+1，即A＝{x|a≤x≤a+1}， 且B＝{x|x＜1或x＞2}，因为p是q的充分不必要条件，则A⊊B，即a+1＜1或a＞2，解得a＞2或a＜0，实数a的取值范围是a＞2或a＜0．【点睛】本题主要考查充分条件不必要条件的应用，结合条件转化为集合关系是解决本题的关键，属于基础题.18.已知点A、B、C的坐标分别为、、，.（1）若，求角的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得的值，根据的范围求得；（2）根据向量的基本运算根据，求得和的关系式，然后用同角和与差的关系可得到，再由化简可得，进而可确定答案．【详解】（1）∵，∴化简得，∵，∴．（2）∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题，属于中档题.19.如图，在棱长为的正方体中，点是的中点． （1）证明：平面;（2）求三棱锥外接球的表面积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）将三棱锥补成长方体，计算出该长方体的体对角线长，可得出外接球的半径，结合球体的表面积公式可求得结果.【详解】（1）连接交于点，连接，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面；（2）将三棱锥补成长方体，如下图所示： 则长方体的体对角线长为，所以，三棱锥外接球半径为，因此，三棱锥外接球表面积为.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.20.正三棱锥的高为，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，求：（1）棱锥的表面积；（2）内切球的半径.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正三棱锥棱长与锥体的高关系求出锥体的表面积；（2）根据等体积法求出内切球的半径.【详解】（1）如图，过点作平面于，连结并延长交于，连结，∵是正三角形，∴是边上的高和中线，为的中心， ∵，∴，又，∴，∴，∴三棱锥表面积为；（2）设内切球的半径为，以球心为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵，∴，由等体积可得，∴内切球的半径为.【点睛】对于正三棱锥常构造以下四个直角三角形：1、斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形；（含侧棱与底边夹角）2、高、斜高、斜高射影构成的直角三角形；（含侧面与底面夹角）3、高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形；（含侧棱与底面夹角）4、斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。第二问解题关键点是几何体内切球的大小用等体积法求其半径．21.习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：调查评分心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人. （1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?【答案】（1）2000，（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解，（2）由分层抽样与对立事件的概率公式求解．【小问1详解】由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以，解得.【小问2详解】由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，若按分层抽样抽取人，则调查评分在有人，有人，因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的人经过心理疏导后，心理等级均达不到良好的概率为， 所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.22.已知向量，，且.(1)求及；(2)求函数的最小值，并求使函数取得最小值时x的值.【答案】(1)，；(2)当时，.【解析】【分析】(1)由向量的数量积的计算公式和向量的模的计算公式，结合三角恒等变换的公式，即可求解，得到答案；(2)利用向量的数量积的运算，求得，再结合题设条件和二次函数的性质，即可求解.【详解】(1)由向量的数量积的计算公式，可得，又由因为，所以，所以.(2)由函数，因为，所以，所以当，即时，函数有最小值，最小值为.【点睛】本题主要考查了向量的数量积和向量的模的运算，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记向量的运算公式，合理应用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.