山东省日照市2023-2024学年高二数学上学期8月校际联合考试试题（Word版附解析）

2022级高二上学期校际联合考试数学试题2023.8考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解出N的解集，利用两个集合的交集的定义求解即可.【详解】因为，故，故选.2.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.或C.D.或【答案】C【解析】【分析】转化存在量词命题的否定为真命题，列式求解.【详解】命题“，使得”是假命题，即“成立”是真命题，故，解得.故选：C. 3.用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.【详解】令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，，所以函数在区间上有唯一零点，所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.故选：B.4.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断的奇偶性，再根据时的函数值的符号判断图象.【详解】因为，， 所以，故函数的为奇函数，排除BD；又所以，故A错误.故选：C5.如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.【详解】由已知，，，，所以.由已知是的中点，所以，，.所以，，所以，. 故选：B.6.如图，在棱长为a的正方体中，点E为棱的中点，则点A到平面的距离为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直可得面面垂直，进而根据面面垂直的性质可得的长即为点A到平面的距离，即可利用等面积法求解.【详解】在正方体中，平面，而平面，则平面平面，在平面内过点A作于F，连接，如图，因平面平面，平面,于是平面，则的长即为点A到平面的距离，点E为棱的中点，在中，，，即，解得，所以点A到平面的距离为，故选:C. 7.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在上单调递减，则下面结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知可知函数具有周期性和对称性，从而可得，，再利用函数单调性比较大小即可.【详解】由得，所以，又为偶函数，所以的图象关于对称，所以，，又在内单调递减，，即.故选：D.8.已知，，，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据同角关系，结合三角函数的性质可得，，即可根据和差角公式求解. 【详解】，因为，所以，因为，当在第二象限时，由于，又在上递减，且，不符合题意．所以在第三象限，因为，所以．因为，所以，则．因为，所以．所以，即．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有且仅有一个零点0B.C.在上单调递增D.在上单调递减【答案】BC【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点． 【详解】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误；由于，故B正确；当时，所以在上单调递增，故C正确；当时，所以上单调递减，上单调递增，故D错误．故选：BC．10.下列命题中正确的是（）A.是的充分不必要条件B.是的既不充分也不必要条件C.是幂函数在上是增函数的充分不必要条件D.函数在区间上不单调的一个必要不充分条件是【答案】BD【解析】【分析】根据集合间的关系可判断A，由特殊值法可判断不等式求解B，根据幂函数的性质即可判断C，根据二次函数的单调性即可判断D.【详解】对于A，则，反之，若，则，故是的充要条件，A错误；对于B，不能得到，比如，而也不能得到，比如，故是的的既不充分也不必要条件，B正确；对于C，若幂函数在上是增函数，则需要，故是幂函数在上是增函数的充要条件，C错误；对于D，函数在区间上不单调，则需要，故是的一个必要不充分条件，故D正确.故选：BD11.在中，角，，所对的边分别是，，，下列叙述正确的是（） A.若，，，则满足条件的三角形有且只有一个B.若，则为钝角三角形C.若，则为等腰三角形D.若不是直角三角形，则【答案】ABD【解析】【分析】由，又可判断A；由正弦定理边角转化和余弦定理可判断B；由利用正弦边角关系及三角形内角性质可得或可判断C；由三角形内角性质及和角正切公式可判断D．【详解】对于A，由，则，又，知满足条件的三角形只有一个，故A正确；对于B，，即，为钝角，故B正确；对于C，，即，由正弦定理可得，则，所以或，故C错误．对于D，因为不是直角三角形，所以，，均有意义，又，所以，所以，故D正确；故选：ABD．12.已知边长为的菱形中，，将沿翻折，下列说法正确的是（）A.在翻折的过程中，直线、可能相互垂直B.在翻折的过程中，三棱锥体积最大值为C.当时，若为线段上一动点，则的最小值为D.在翻折的过程中，三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取，取的中点，连接、，证明出平面，再利用线面垂直的性质可判断A选项；求出三棱锥高的最大值，结合锥体体积公式可判断B选项；将、展开在同一平面内，由当、、三点共线时，取最小值，并求之，可判断C选项；求出三棱锥表面积的最大值，利用等体积法求出此时三棱锥的内切球半径，利用球体表面积公式可判断D选项.【详解】如图，在翻折过程中构成四面体，和是正三角形，取中点，连接、，对于A，，则在翻折过程中，的范围是，当时，是正四面体，取的中点，连接、，因为、均为等边三角形，则，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，则A正确；对于B，三棱锥的底面积是定值，因为、均为等边三角形，为的中点，则，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，则平面平面，过作在平面内作直线于，因为平面平面，平面平面，， 平面，所以，平面，则有，当且仅当点与点重合时取“”，因此，，B错误；对于C，当时，三棱锥为正四面体，将、展开在同一平面内，显然四边形为菱形，，当、、三点共线时，此时，为、的中点，此时，，则取得最小值，故C正确；对于D，三棱锥中，，而，即三棱锥的表面积，而在翻折过程中，的范围是，，当且仅当时取“”，因此得三棱锥的表面积的最大值为，此时，等腰的底边上的高， ，从而得，设三棱锥内切球半径为，设三棱锥的表面积为，由得取最大值时的，此球的表面积为，D正确.故选：ACD．【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，且，则实数m的值为__________.【答案】【解析】【分析】根据向量平行的坐标公式，即可求解.【详解】因为，所以，得.故答案为：14.若，则________．【答案】【解析】 【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式结合弦化切化简所求代数式，可得结果.【详解】因为，则，.故答案为：.15.已知、，则使函数有两不相等的零点的概率为________．【答案】##【解析】【分析】比较、、、的大小，分析可知、均为正数，由函数有两不相等的零点，可得出，可得出，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】因，，，，，所以，，因为、，则、均为正数，以为一个样本点，因为函数有两个不相等的零点，则，可得，所有基本事件有： 、、、、、、、、、、、、、、、，共个基本事件，其中，满足函数有两个不等的零点的基本事件有：、、、、、，共个基本事件，故所求概率为.故答案为：.16.四边形中，点，分别是，的中点，，，，点满足，则的最大值为________．【答案】1【解析】【分析】利用向量线性表示、向量数量积公式以及余弦的二倍角公式即可解决问题.【详解】如图所示： 因为，，又点是的中点，所以，所以，，又，所以，又点是的中点，所以，因为，所以，即，设，，则，所以，所以，所以当即时，有最大值1，即有最大值为1．故答案为：1四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式； （2）若将图象向左平移个单位，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据图象可由周期得，进而代入最低点即可求解，（2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的最值.【小问1详解】由图象知，，即，又，∴，∴，则，又函数过点，所以，所以，，解得，，又，所以，即．【小问2详解】若将的图象向左平移个单位，得到，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象即，当，则，，则当或时，函数取得最大值，最大值， 当时，函数取得最小值，最小值为．即在上的值域为．18.已知函数，.（1）判断函数的奇偶性并予以证明；（2）若存在使得不等式成立，求实数的最大值.【答案】（1）偶函数，证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断并证明即可；（2）转化问题为，进而根据函数的单调性求解即可.【小问1详解】函数为偶函数，证明如下：，由，解得，的定义域为，关于原点对称，，为偶函数.【小问2详解】若存在使得不等式成立，，而，，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，在上单调递减， ，，即，实数的最大值为1.19.如图，在平面四边形中，，，.（1）求；（2）若，，，四点共圆，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可求得，进而得解；（2）由题意知，利用余弦定理结合基本不等式可知，进而利用面积公式求解即可.【小问1详解】在中，由正弦定理得，所以.又，所以，则【小问2详解】因为，，，四点共圆，所以，.在中，由余弦定理得，即， 化简得，当且仅当时取等号.所以的面积.又，则四边形的面积.故四边形面积的最大值为.20.为了加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，某社区开展了“远离电信诈骗，保护财产安全”宣传讲座．已知每位居民是否被骗相互独立，宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1．（1）假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话，求该社区这一天有人被电信诈骗的概率；（2）根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗？（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生）（参考数据：，，，）【答案】（1）0.271（2）2次【解析】【分析】（1）用概率乘法即可得出被电信诈骗的概率；（2）求出宣传次之后每个人每次接到电话被骗的概率为，10位居民有人被骗，则，解不等式可得，再由函数的单调性即可得出结论.【小问1详解】记事件：该社区这一天有人被骗，则，∴该社区这一天有人被电信诈骗的概率为0.271．【小问2详解】设宣传次之后每个人每次接到电话被骗的概率为， 事件：10位居民有人被骗，则．即，∴∴∴∴又函数在上单调递减，当时，；当时，，∴，即至少要宣传2次才能保证这10位居民都不会被骗．21.已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点，点在线段上．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意得，取的中点，则，因为平面平面，所以平面，，又，所以平面，从而，利用线面垂直的判定定理可得结论；（2）由平面，故为与平面所成的角，可求得，由题意可得为线段的中点，取的中点为，则，所以平面，则，过点作， 垂足为，则，所以为二面角的平面角，求解即可．【小问1详解】因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以．取的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面．【小问2详解】由（1）知，平面，故为与平面所成的角，∴，∴，又平面，平面，所以，，，∴，∴，即为线段的中点．取的中点为，连接，因为为线段的中点，所以，，又平面，所以平面，平面．所以，过点作，垂足为，连接，，，平面，所以平面．平面，所以，所以为二面角的平面角． 在等边三角形中，，由（1）知，平面，平面．所以，在中，，由，即，解得．因为平面，平面，所以，在中，，所以，即二面角的平面角的余弦值为．22.已知．（1）若，求函数在上的最小值；（2）若对于任意的实数恒成立，求a的取值范围；（3）当时，求函数在上的最小值．【答案】（1）（2）（3）详见解析.【解析】【分析】（1）将代入后，利用基本不等式可求得其最小值；（2）将问题转化为对于任意的实数恒成立，然后利用绝对值三角不等式求出的最大值，使其最大值小于等于1，从而可求出a的取值范围；（3）先求出的表达式，利用零点分段法，分和两种情况讨论求解函数的最小值【小问1详解】 ，且时，，当且仅当时，等号成立，即函数的最小值为；【小问2详解】对于任意的实数恒成立，即对于任意的实数恒成立，即对于任意的实数恒成立，即对于任意的实数恒成立，，当且仅当与同号时取等号，∴，则，∴取值范围是；【小问3详解】的范围是．，①当时，由（2）得，故当，即时，；当，即时，．当时，的范围不符合．②当时，；．画出和的大致图象如下图所示： 故当，即时，．当，即时，（ⅰ）时，．（ⅱ），．综上所述：时，；时，；时，；时，．