湖南省百校大联考2023-2024学年高一上学期12月考数学试题（Word版附解析）

高一数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.满足的集合M的个数为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】【分析】根据子集的概念可得集合的个数.【详解】因为，所以集合可能为：，，，共4种情况.故选：C2.命题“，”否定是（）A.不存在，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据存在量词命题的否定，直接得出结果.【详解】由题意知，命题“”的否定为“”.故选：C3.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由得或，结合充分、必要条件的定义即可求解.【详解】由，得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件.故选：A4.已知函数则的值为（）A.7B.3C.9D.8【答案】D【解析】【分析】由里到外逐步代入即可求解.【详解】,故选：D5.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的真数大于零可求得函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得，故函数的定义域为.故选：B. 6.若，则的大小关系是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】∵，，，∴．故选．点晴：本题考查的是指数式，对数式的大小比较．解决本题的关键是利用指、对数函数的单调性比较大小，当指、对函数的底数大于0小于1时，函数单调递减，当底数大于1时，函数单调递增；另外由于指数函数过点（0，1），对数函数过点（1，0），所以还经常借助特殊值0,1比较大小7.根据表中数据，可以判定函数的零点所在的区间为（）x101.191.411.682A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由函数零点的判定定理可知，使函数值一正一负即可．【详解】由题意可得，由于函数为增函数，则函数有一个零点所在的区间为.故选：D．8.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，P沿直线l匀速向右、Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点Q运动到如图所示的位置时，点P也停止运动，连接OQ，OP ，则阴影部分的面积，的大小关系是（）A.B.C.D.先，再，最后【答案】C【解析】【分析】根据给定条件求出扇形AOQ与面积，再由面积的关系即可判断作答.【详解】因圆O与直线l相切，则，于是得面积，令弧AQ的弧长为l，扇形AOQ面积，依题意，即，令扇形AOB面积为，则有，即，所以阴影部分面积，的大小关系是.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列图象表示的函数中有两个零点的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】 【分析】根据函数的零点个数与函数图象的交点个数之间的关系，结合图形依次判断即可.【详解】A：由零点的定义知，该图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点，故A符合题意；B：由零点的定义知，该图象与x轴有3个交点，所以该函数有3个零点，故B不符合题意；C：由零点的定义知，该图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点，故C符合题意；D：由零点的定义知，该图象与x轴有1个交点，所以该函数有1个零点，故D不符合题意；故选：AC10.下列说法正确的是（）A.两个角的终边相同，则它们的大小可能不相等B.C.若，则为第一或第四象限角D.扇形的圆心角为，周长为，则扇形面积为【答案】ABD【解析】【分析】利用终边相同的角的定义可判断A选项；利用诱导公式可判断B选项；利用三角函数值符号与角的终边的位置关系可判断C选项；利用扇形的弧长和面积公式可判断D选项.【详解】对于A选项，两个角的终边相同，则它们的大小可能不相等，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，若，则为第一或第四象限角或终边落在轴正半轴上，C错；对于D，设扇形的半径为，弧长为，则，，联立解得，，所以该扇形的面积为，D对.故选：ABD.11.若、、，则下列命题正确的是（）A.若，则B.C.若正数、满足，则的最小值是D.若，则【答案】BD【解析】 【分析】取可判断A选项；利用作差法可判断B选项；由已知可得出，结合基本不等式可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，故A错误；对于B选项，因为，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C选项，因为正数、满足，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为，故C错误；对于D选项，因为，当且仅当时，等号成立，由知，可得，当且仅当时，即当或时，等号成立，故D正确．故选：BD.12.已知定义在上的奇函数满足：①；②当时，．下列说法正确的有（）A.BC.当时，D.方程有个实数根【答案】ACD 【解析】【分析】推导出函数的周期为，结合周期性可判断AB选项；利用周期性和对称性求出函数在上的解析式，可判断C选项；数形结合可判断D选项.【详解】对AB，因为函数在上为奇函数，故，因为，即，则，故，故的周期为，故，故A正确，B错误；对C，因为是奇函数，所以当时，，故，则，当时，，，故当时，，故C正确；对D，，即，如下图所示：由图可知，直线与函数的图象共有个交点，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.______．【答案】##【解析】【分析】利用诱导公式可得出所求代数的值.【详解】.故答案为：.14.已知幂函数的图象经过原点，则_________． 【答案】##【解析】【分析】利用幂函数定义及图象特征求解即得.【详解】幂函数，得，解得或，当时，，其图象经过原点；当时，，其图象经不过原点故答案：15.函数的单调递减区间为________.【答案】【解析】【分析】先求出函数定义域，然后根据复合函数单调性的规则来确定单调递减区间.【详解】令，得或.因为函数在上单调递减，在上单调递增，且函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得的单调递减区间为.故答案为：.16.已知函数，若关于的方程只有一个实数根，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据函数图象即可根据图象交点求解.【详解】画出的大致图象，如图所示．关于的方程只有一个实数根，结合图象可得的取值范围为．故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.化简或求值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）由指数幂的运算得到；（2）由对数的运算得到.【小问1详解】原式【小问2详解】原式18.已知集合，集合．（1）若，求；（2）命题P：，命题Q；，若P是Q的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性，化简集合，即可由交运算求解，（2）根据集合间的包含关系即可求解. 【小问1详解】由可得，当时，，所以．【小问2详解】因为P是Q的必要条件，所以．当时，，解得；当时，，解得．综上，实数a的取值范围为．19.已知函数，其中且.（1）若的图象恒过点，写出点的坐标；（2）设函数，试判断的奇偶性，并证明.【答案】（1）（2）为偶函数，证明见解析【解析】【分析】（1）令，解出，进而可得定点；（2）先确定的定义域，然后通过证明可得答案.【小问1详解】由题意得，令，得，，则点的坐标为；【小问2详解】为偶函数，证明如下： 由，得，即的定义域为，关于原点对称.因为，所以为偶函数.20.定义在上的奇函数满足：当时，．（1）求的解析式；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分，以及讨论，结合指数函数的单调性求解，即可得到结果.【小问1详解】因为当时，，设，则，则，又是定义在上的奇函数，，且，则，所以.【小问2详解】由（1）可知，，当时，由可得，， 即或，解得或，又时，所以解集为；当时，，，显然不成立；当时，由可得，，即或，解得或，又，所以解集为；综上所述，不等式的解集为.21.已知函数（且）．（1）若，且，求的定义域；（2）若，函数的定义域为，存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当且时，可得出，利用对数真数大于零以及指数函数的单调性可求得函数的定义域；（2）分析可知，关于的方程有两个不同的解，令，可得出方程有两个不同的正根，分、两种情况讨论，结合二次函数零点分布可求得的取值范围.【小问1详解】解：当且时，，由题知，即，解得，故当且时，函数的定义域为．【小问2详解】 解：因为，因为内层函数在定义域内为增函数，外层函数在定义域内为增函数，所以，函数在定义域内单调递增，因为函数的定义域为，存在，使得在上的值域为，故，所以，关于的方程有两个不同的解，故，即有两个不同的解．令，若，则，，即方程可转化为有两个不同的正数根，令，则，设函数的两个零点分别为、，则，不合乎题意；若，则，，即方程可转化为在上有两个不同的实数根，得，解得，故实数的取值范围为．【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：（1）二次项系数的符号；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.22.长沙市地铁8号线项目正在进行中，通车后将给市民带来便利．该线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时，列车处于满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与 成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人，记列车载客量为．（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量．（2）若该线路每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值．【答案】（1），475人（2）当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，且最大值为1400元．【解析】【分析】（1）根据题意分和两种情况，求出解析式；（2）在（1）的基础上得到，分两种情况，结合函数单调性和基本不等式求出最大值，比较后得到答案.【小问1详解】显然当时，，当时，设，当时，，即，解得，故，故；当时，，故当发车时间间隔为5分钟时，载客量为475人．【小问2详解】由（1）知，当时，单调递减，故， 当时，，当且仅当时，等号成立，故，由于，故当时，，即当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，且最大值为1400元．