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湖南省百校大联考2023-2024学年高一上学期12月考数学试题(Word版附解析)

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高一数学考试注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第一册第一章至第五章5.3.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.满足的集合M的个数为()A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】【分析】根据子集的概念可得集合的个数.【详解】因为,所以集合可能为:,,,共4种情况.故选:C2.命题“,”否定是()A.不存在,B.,C.,D.,【答案】C【解析】【分析】根据存在量词命题的否定,直接得出结果.【详解】由题意知,命题“”的否定为“”.故选:C3.若,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由得或,结合充分、必要条件的定义即可求解.【详解】由,得或,所以“”是“或”的充分不必要条件,即“”是“”的充分不必要条件.故选:A4.已知函数则的值为()A.7B.3C.9D.8【答案】D【解析】【分析】由里到外逐步代入即可求解.【详解】,故选:D5.函数的定义域为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的真数大于零可求得函数的定义域.【详解】对于函数,有,解得,故函数的定义域为.故选:B. 6.若,则的大小关系是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】∵,,,∴.故选.点晴:本题考查的是指数式,对数式的大小比较.解决本题的关键是利用指、对数函数的单调性比较大小,当指、对函数的底数大于0小于1时,函数单调递减,当底数大于1时,函数单调递增;另外由于指数函数过点(0,1),对数函数过点(1,0),所以还经常借助特殊值0,1比较大小7.根据表中数据,可以判定函数的零点所在的区间为()x101.191.411.682A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由函数零点的判定定理可知,使函数值一正一负即可.【详解】由题意可得,由于函数为增函数,则函数有一个零点所在的区间为.故选:D.8.已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从点A出发,P沿直线l匀速向右、Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动,当点Q运动到如图所示的位置时,点P也停止运动,连接OQ,OP ,则阴影部分的面积,的大小关系是()A.B.C.D.先,再,最后【答案】C【解析】【分析】根据给定条件求出扇形AOQ与面积,再由面积的关系即可判断作答.【详解】因圆O与直线l相切,则,于是得面积,令弧AQ的弧长为l,扇形AOQ面积,依题意,即,令扇形AOB面积为,则有,即,所以阴影部分面积,的大小关系是.故选:C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列图象表示的函数中有两个零点的有()A.B.C.D.【答案】AC【解析】 【分析】根据函数的零点个数与函数图象的交点个数之间的关系,结合图形依次判断即可.【详解】A:由零点的定义知,该图象与x轴有两个交点,所以该函数有两个零点,故A符合题意;B:由零点的定义知,该图象与x轴有3个交点,所以该函数有3个零点,故B不符合题意;C:由零点的定义知,该图象与x轴有两个交点,所以该函数有两个零点,故C符合题意;D:由零点的定义知,该图象与x轴有1个交点,所以该函数有1个零点,故D不符合题意;故选:AC10.下列说法正确的是()A.两个角的终边相同,则它们的大小可能不相等B.C.若,则为第一或第四象限角D.扇形的圆心角为,周长为,则扇形面积为【答案】ABD【解析】【分析】利用终边相同的角的定义可判断A选项;利用诱导公式可判断B选项;利用三角函数值符号与角的终边的位置关系可判断C选项;利用扇形的弧长和面积公式可判断D选项.【详解】对于A选项,两个角的终边相同,则它们的大小可能不相等,A对;对于B选项,,B对;对于C选项,若,则为第一或第四象限角或终边落在轴正半轴上,C错;对于D,设扇形的半径为,弧长为,则,,联立解得,,所以该扇形的面积为,D对.故选:ABD.11.若、、,则下列命题正确的是()A.若,则B.C.若正数、满足,则的最小值是D.若,则【答案】BD【解析】 【分析】取可判断A选项;利用作差法可判断B选项;由已知可得出,结合基本不等式可判断C选项;利用基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选项,当时,,故A错误;对于B选项,因为,当且仅当时,等号成立,故B正确;对于C选项,因为正数、满足,所以,当且仅当时,即当时,等号成立,所以,的最小值为,故C错误;对于D选项,因为,当且仅当时,等号成立,由知,可得,当且仅当时,即当或时,等号成立,故D正确.故选:BD.12.已知定义在上的奇函数满足:①;②当时,.下列说法正确的有()A.BC.当时,D.方程有个实数根【答案】ACD 【解析】【分析】推导出函数的周期为,结合周期性可判断AB选项;利用周期性和对称性求出函数在上的解析式,可判断C选项;数形结合可判断D选项.【详解】对AB,因为函数在上为奇函数,故,因为,即,则,故,故的周期为,故,故A正确,B错误;对C,因为是奇函数,所以当时,,故,则,当时,,,故当时,,故C正确;对D,,即,如下图所示:由图可知,直线与函数的图象共有个交点,故D正确.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.______.【答案】##【解析】【分析】利用诱导公式可得出所求代数的值.【详解】.故答案为:.14.已知幂函数的图象经过原点,则_________. 【答案】##【解析】【分析】利用幂函数定义及图象特征求解即得.【详解】幂函数,得,解得或,当时,,其图象经过原点;当时,,其图象经不过原点故答案:15.函数的单调递减区间为________.【答案】【解析】【分析】先求出函数定义域,然后根据复合函数单调性的规则来确定单调递减区间.【详解】令,得或.因为函数在上单调递减,在上单调递增,且函数在上单调递增,所以根据复合函数的单调性可得的单调递减区间为.故答案为:.16.已知函数,若关于的方程只有一个实数根,则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】根据函数图象即可根据图象交点求解.【详解】画出的大致图象,如图所示.关于的方程只有一个实数根,结合图象可得的取值范围为.故答案为: 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.化简或求值:(1);(2).【答案】(1)(2)0【解析】【分析】(1)由指数幂的运算得到;(2)由对数的运算得到.【小问1详解】原式【小问2详解】原式18.已知集合,集合.(1)若,求;(2)命题P:,命题Q;,若P是Q的必要条件,求实数a的取值范围.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)根据指数函数的单调性,化简集合,即可由交运算求解,(2)根据集合间的包含关系即可求解. 【小问1详解】由可得,当时,,所以.【小问2详解】因为P是Q的必要条件,所以.当时,,解得;当时,,解得.综上,实数a的取值范围为.19.已知函数,其中且.(1)若的图象恒过点,写出点的坐标;(2)设函数,试判断的奇偶性,并证明.【答案】(1)(2)为偶函数,证明见解析【解析】【分析】(1)令,解出,进而可得定点;(2)先确定的定义域,然后通过证明可得答案.【小问1详解】由题意得,令,得,,则点的坐标为;【小问2详解】为偶函数,证明如下: 由,得,即的定义域为,关于原点对称.因为,所以为偶函数.20.定义在上的奇函数满足:当时,.(1)求的解析式;(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据题意,由函数的奇偶性,代入计算,即可得到结果;(2)根据题意,分,以及讨论,结合指数函数的单调性求解,即可得到结果.【小问1详解】因为当时,,设,则,则,又是定义在上的奇函数,,且,则,所以.【小问2详解】由(1)可知,,当时,由可得,, 即或,解得或,又时,所以解集为;当时,,,显然不成立;当时,由可得,,即或,解得或,又,所以解集为;综上所述,不等式的解集为.21.已知函数(且).(1)若,且,求的定义域;(2)若,函数的定义域为,存在,使得在上的值域为,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)当且时,可得出,利用对数真数大于零以及指数函数的单调性可求得函数的定义域;(2)分析可知,关于的方程有两个不同的解,令,可得出方程有两个不同的正根,分、两种情况讨论,结合二次函数零点分布可求得的取值范围.【小问1详解】解:当且时,,由题知,即,解得,故当且时,函数的定义域为.【小问2详解】 解:因为,因为内层函数在定义域内为增函数,外层函数在定义域内为增函数,所以,函数在定义域内单调递增,因为函数的定义域为,存在,使得在上的值域为,故,所以,关于的方程有两个不同的解,故,即有两个不同的解.令,若,则,,即方程可转化为有两个不同的正数根,令,则,设函数的两个零点分别为、,则,不合乎题意;若,则,,即方程可转化为在上有两个不同的实数根,得,解得,故实数的取值范围为.【点睛】方法点睛:本题考查利用二次函数的零点分布求参数,一般要分析以下几个要素:(1)二次项系数的符号;(2)判别式;(3)对称轴的位置;(4)区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.22.长沙市地铁8号线项目正在进行中,通车后将给市民带来便利.该线路通车后,列车的发车时间间隔t(单位:分钟)满足,经市场调研测算,列车载客量与发车时间间隔t相关,当时,列车处于满载状态,载客量为600人,当时,载客量会减少,减少的人数与 成正比,且发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人,记列车载客量为.(1)求的表达式,并求当发车时间间隔为5分钟时,列车的载客量.(2)若该线路每分钟的净收益(元),问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大?并求出最大值.【答案】(1),475人(2)当发车时间间隔为5分钟时,该线路每分钟的净收益最大,且最大值为1400元.【解析】【分析】(1)根据题意分和两种情况,求出解析式;(2)在(1)的基础上得到,分两种情况,结合函数单调性和基本不等式求出最大值,比较后得到答案.【小问1详解】显然当时,,当时,设,当时,,即,解得,故,故;当时,,故当发车时间间隔为5分钟时,载客量为475人.【小问2详解】由(1)知,当时,单调递减,故, 当时,,当且仅当时,等号成立,故,由于,故当时,,即当发车时间间隔为5分钟时,该线路每分钟的净收益最大,且最大值为1400元.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2024-01-15 12:05:02 页数:15
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文章作者:随遇而安

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