福建省 、永安一中、漳平一中三校协作2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

“德化一中､永安一中､漳平一中”三校协作2023-2024学年第一学期联考高一数学试卷（考试时间：120分钟总分：150分）本试卷分第II卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角与角的终边相同，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用终边相同的角的特征即可得解.【详解】因为角与角的终边相同，所以，则.故选：B.2.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据抽象函数定义域的求法以及二次根式、分式有意义的条件列出不等式组即可求解.【详解】若函数的定义域为，则函数有意义当且仅当，解得，即函数的定义域为. 故选：A.3.若函数的图象在上连续不断，且满足，则下列说法正确的是（）A.在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点B.在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点C.在区间上一定有零点，在区间上可能有零点D.在区间上可能有零点，在区间上一定有零点【答案】D【解析】【分析】直接根据存在定理即可得结果.【详解】因为，所以在区间上可能有零点，因为，，所以在区间上一定有零点，故选：D.4.设集合，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意解对数函数不等式得到集合，由即可得解.【详解】由题意，，则，若，则.故选：C.5.已知幂函数的图象过点，设，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据幂函数过点求出解析式，由解析式可得函数单调性，再比较大小得解.【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得，即，故函数在上为增函数，因为，，，所以.故选：D6.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（）A.9B.10C.24D.25【答案】C【解析】【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果.【详解】设，由，得，即，所以故选：C. 7.是函数且在是减函数的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】令，，图象的对称轴为直线，判断在上单调递减，若要满足且在单调递减，则单调递增，进而得到不等式组，求出的范围，利用逻辑推理判断选项.【详解】令，，则图象的对称轴为直线，所以在上单调递减，若要满足且在单调递减，则单调递增，则，解得,故，则是函数且在单调递减的必要不充分条件.故选：B8.设函数(，且)，则（）A.若，则一定有零点B.若，则无零点 C.若，且，则一定有零点D.若，则有两个零点【答案】D【解析】【分析】根据选项条件，逐一画图判断，能画出反例的即可排除.【详解】对于A，如图，此时，当，，此时无零点；对于B，，如图时，，如图在，，此时有零点；对于C，反例图如选项A，此时无零点；对于D，设，，又因为，所以 无解，有两解，故选：D.【点睛】本题考查函数图像的应用，考查二次函数的性质，考查学生运用图像画反例的能力，是一道难度较大的题目.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若角的终边经过点，则下列结论正确的是（）A.是第二象限角B.是钝角C.D.点在第二象限【答案】ACD【解析】【分析】根据点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案.【详解】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，A正确，B错误；，C正确；由，，则点在第二象限，D正确.故选：ACD.10.对于实数，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】【分析】由特值法可判断BD，由不等式的性质判断A，由作差法判断C，从而得解.【详解】对于A，因为，所以，则，则，故A正确；对于B，取，则，故B错误； 对于C，若，则，即，故C正确；对于D，因为，当时，，故D错误．故选：AC．11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.为奇函数B.值域为C.若，且，则D.当时，恒有成立【答案】AC【解析】【分析】应用奇偶性定义判断A；在上，令研究其单调性和值域，再判断的区间单调性和值域判断B；利用解析式推出，根据已知得到，再应用基本不等式判断C；特殊值法，将代入判断D.【详解】由解析式知：函数定义域为，且，所以为奇函数，A对；当时，令，当且仅当时等号成立，由对勾函数性质知：在上递减，在上递增，且值域为，而在上递增，故在上递减，在上递增，且，由奇函数的对称性知：在上递增，在上递减，且，所以值域为，B错； 由，若且，所以，故，当且仅当时等号成立，而时，故等号不成立，所以，C对；由，即时，D错；故选：AC【点睛】关键点点睛：对于C选项，根据解析式推导出，进而得到为关键.12.已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（）A.B.函数在上单调递增C.D.满足不等式的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用赋值法求得，从而得以判断；对于B，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D，先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断.【详解】对于A，因为，令，得，所以，故A正确； 对于B，令，得，所以，任取，且，则，因为，所以，即，所以，所以在上是增函数，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，，所以，又因为，所以，由得即，因为在上增函数，所以，解得，所以不等式解集为，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则 ________【答案】【解析】【分析】由三角函数的定义可求出的值，然后由诱导公式可得得到答案.【详解】点在角的终边上，则.由三角函数的定义可得：又故答案为：【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题.14.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】易知不等式成立，当时，根据一元二次不等式恒成立即可判断.【详解】因为命题“”是假命题，所以在R上恒成立，当时，不等式化为，恒成立；当时，由不等式恒成立，得，解得：，因此实数m的取值范围为．故答案：.15.音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，其音量的大小可由公式（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）计算得到，设的声音的声波强度为 的声音的声波强度为，则是的__________倍.【答案】【解析】【分析】由题意根据指数、对数互换运算即可求解.详解】由题意，所以.故答案为：.16.设函数，若关于的函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】画出图象，换元后分析可知方程的一根在区间上，另一根在区间上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.【详解】作出函数的图象如图，令，函数恰好有四个零点．则方程化为，设的两根为，因为，所以两根均大于0，且方程的一根在区间内，另一根在区间内．令 所以，解得：，综上：实数的取值范围为故答案为：【点睛】关键点点睛：复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.（1）计算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）结合指对数的运算性质化简即可；（2）结合两次平方关系即可求得.【详解】（1）原式.（2），，即，，，，.18.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.已知__________. （1）求的值；（2）当为第三象限角时，求的值.【答案】（1）选①②③，答案均为（2）【解析】【分析】（1）若选①，利用诱导公式得到，化弦为切，代入求值即可；若选②和③，利用诱导公式和同角三角函数关系得到，化弦为切，代入求值即可；（2）根据，利用同角三角函数关系求出，利用诱导公式化简，代入求值.【小问1详解】若选①，则，所以；若选②，则，即，则，所以；若选③，则，即，所以.【小问2详解】由（1）得，即，由，则，解得，为第三象限角，， .19.已知函数在上的最大值为3，最小值为-1.（1）求的解析式；（2）若，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二次函数的最大值、最小值求出函数的解析式；（2）分离参数，根据存在性转化为求出函数的最小值，利用对勾函数单调性得解.【小问1详解】依题意得，，，，，，即，.【小问2详解】，使得，令， 由对勾函数的单调性知，在上单调递增，，当时，，的取值范围为.20.已知函数.（1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；（2）已知时，函数的最小值为，求实数的值.【答案】（1）（2）或5.【解析】【分析】（1）由奇函数的性质结合的解析式可求的解析式；（2）首先化简得，再利用换元法结合二次函数的性质求a的值即可.【小问1详解】当时，，当时，为上的奇函数综上所述，函数的解析式为；【小问2详解】， 设，则，函数化为.①当，即时，函数在上是增函数的最小值为，解得（不合题意，舍去）②当，即时，函数在上是减函数的最小值为，解得③当，即时，函数在上有最小值的最小值为解得或（不合题意，舍去）综上所述，实数的值为或5.21.“双11”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．例如，一次购买商品的价格为150元，则实际支付额=140元，其中[x]表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为810元，则实际支付额1340=705元．（1）小芳计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小芳常用必需品，其价格为30元/件，小芳趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？【答案】（1）一次支付好，理由见解析（2）15件或16件，25元/件【解析】 【分析】(1)分别按两次支付及一次支付求出支付额，进行比较即可求解；(2)设购买x（x∈N*）件，平均价格为y元/件，当1≤x≤14时，及当15≤x≤19时，求出最低平均价格即可求解.【小问1详解】解：（1）分两次支付：支付额为元，一次支付：支付额为元因为745＜790，所以一次支付好．【小问2详解】（2）设购买x（x∈N*）件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，最多购买19件，当1≤x≤14时，不能享受每满400元再减40元的优惠，当1≤x≤14时，，n∈N*，当x＝2n时，，n∈N*．当x＝2n+1时，，n∈N*．所以当1≤x≤14时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．当15≤x≤19时，能享受每满400元再减40元的优惠，，当x＝2n时，，当n＝8，x＝16时，ymin＝25，当x＝2n+1时，，y随着n的增大而增大，所以当n＝7，x＝15时，ymin＝25．综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．22.已知函数，函数的图像与的图像关于对称.（1）求的值； （2）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数m，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）或（3）存在，【解析】【分析】（1）由题意，将代入可得答案.（2）由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设,作出其函数图像，数形结合可得答案.（3）设记，则函数在上单调递增，根据题意若存在实数m满足条件，则a，b是方程的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案.【小问1详解】由题意，，所以【小问2详解】由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设，作出函数在上的图像（如下图） ，，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，所以实数k的取值范围是或【小问3详解】记，其中，在定义域上单调递增，则函数在上单调递增，若存在实数m，使得的值域为，则，即a，b是方程的两个不等正根，即a，b是的两个不等正根，所以解得，所以实数m的取值范围是.【点睛】思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理.