福建省 、永安一中、漳平一中三校协作2022-2023学年高一数学下学期5月联考试题（Word版附答案）

“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作2022-2023学年第二学期联考高一数学试卷（考试时间：120分钟总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数在复平面内对应点的坐标为，则（）A.B.C.D.2.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（）A.B.C.D.3.在平面四边形中，是的中点，，，则（）A.B.C.D.4.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，则D若，则5.在中，若，则最大角和最小角之和为（）A.B.C.D.6.我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈。欲斩末为方亭，令上方六尺。问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（注:1丈=10尺）（）A.立方尺B.立方尺C.立方尺D.立方尺7.某市有一宝塔主体是由圆柱、棱柱、球等几何体构成，如图所示。为了测量宝塔的高度，某数学兴趣小组在宝塔附近选择楼房作为参照物，楼房高为，在楼顶处测得地面 点处的俯角为，宝塔顶端处的仰角为，在处测得宝塔顶端处的仰角为，其中在一条直线上，则该宝塔的高度（）A.B.C.D.8.若正的边长为，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.已知向量，，下列说法正确的是（）A.B.C.与向量平行的单位向量是D.向量在向量上的投影向量为10.如图，在四面体中，截面是正方形，则下列判断正确的是（）A.B.平面C.D.点到平面的距离不相等。11.已知点是所在平面内一点，下列命题正确的是（    ）A.若，则点是的重心.B.若点是的外心，则.C.若，则点是的垂心.D.若点是的垂心，则12.如图，正方体的棱长为，点是侧面上的一个动点（含边界），下列结论正确的有（）A.若四点共面，则点的运动轨迹长度为；B.若，则点的运动轨迹长度为；C.若，则点的运动轨迹长度为；D.若直线与所成的角为，则点的运动轨迹长度为.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若复数为一元二次方程的一个根，则_____.14.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．15.已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为，下底面的半径为，则该球的体积为_________． 16.记的内角的对边分别为，，若的面积为3，则当的周长取到最小值时，.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。17、已知复数．（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．（2）若复数，求的共轭复数.18.已知向量满足，，.（1）求向量的夹角的大小；（2）设向量，，若的夹角为锐角，求实数的取值范围.19.如图，已知四棱锥中，，、分别是、的中点，底面，且（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积．20.在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并解答。①；②；③.问题：在中，内角的对边分别为，为的面积，且满足。（1）求角B的大小；（2）若，，平分，交于点，求的长.21.如图所示，三棱台中，底面，，.（1）证明：是直角三角形；（2）若，，问为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？22.如图，设的内角所对的边分别为，为边上的中线，已知.（1）求的面积； （2）点为上一点，，过点的直线与边（不含端点）分别交于.若，求的值。“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作2022-2023学年第二学期联考高一数学参考答案一、单项选择题：二、多项选择题：三、填空题：四、解答题17.解：（1）因为，所以……………………………（2分）因为复数在复平面上对应的点在第四象限，所以………………（3分），即实数的取值范围为…………………………………………（5分）………………………………（9分）所以．…………………………………………………………………………（10分）18.解：（1）由，两边平方得，………………（1分）∵，，，………………………（3分） ，………………………………………………………………（4分），………………………………………………………………（5分）（2）向量的夹角为锐角，等价于且方向不同。………………（6分）由，…………………………………………………………………………………（9分）若方向相同，设，∵不共线，，……………………………………（11分）综上所述，的取值范围是……………………………………（12分）19.（1）证法一：连接AC交BO于点，连接.………………………（1分），∴四边形为平行四边形∴是的中点……………………………………………………………………（3分）∵中，是的中点…………………………………………………………………………（4分）∵平面，平面，∴平面……………………………………………………………………（6分）证法二：中，分别是的中点，又平面，平面平面…………………………………………………………………（2分）且∴四边形是平行四边形，又平面，平面平面………………………………………………………………………（4分），平面∴平面平面………………………………………………………………（5分）∵平面，平面……………………………………………（6分）（2）连结，，由中，，得， ∴的面积……（8分）又平面，∴三棱锥的体积为……（9分）∵是的中点，……………………………（10分）∴………………（12分）20解：（1）若选①，由及正弦定理，得…………………………………………………（1分）中，，，……………………………………（2分）……………………………………………………………………………（4分）中，，，，………………………………………………………………（5分）若选②：由，得，………………………………………（1分）由正弦定理得，，…………………………………………………（3分）……………………………………………………………（4分），………………………………………………………………（5分）若选③：由，又，…………………………………（1分）…………………………………………（2分），…………………………………（3分）………………………………………………………………………………（4分），…………………………………………………………………（5分）（2）由，………………………………………（7分）由余弦定理得，又 ，，…………………（9分）由平分，及，得，，………………………………………………………（12分）21.解：（1）∵平面，平面，∴…………………（1分）又，，∴平面………………………………（2分）∵三棱台中，……………………………………………………（3分）∴平面………………………………………………………………………（4分），故是直角三角形。…………………………………………………（5分）（2）在平面内作，垂足为，连接。……………………（6分）由（1）知，平面，又平面，，平面……………………………………………（7分）是在平面上的射影，为直线与平面所成角。……（8分）设，则，∵三棱台中，，，.在中，，……………………（9分）在中，……………………（10分）解得。∴当时，直线与平面所成角的正弦值为。………………………（12分）22.（1）解法一：由及正弦定理得：………………………（1分） ………………………………………………（2分）∵是边上的中线，，…………………………………………………………（4分）易知为锐角，…（5分）……………………………………………………………（6分）（法二）由及正弦定理得：………………………………………（1分）………………………………………………………（2分）在中，由正弦定理得……①，在中，设，由正弦定理得……②，①②得，…………………………………………………………………………（4分）易知为锐角，……………………（5分）…………………………………………………………………（6分）（法三）：由及正弦定理得：………………………………………（1分）设，∵AD为边上的中线，∴，则，……………………… （2分），………………………………………（3分）∴，整理得，即，∴或，经检验，符合题意，∴，…………（5分）∴.……………………………………………………………（6分）（2）设∵D为BC的中点，又E、G、F三点共线，所以，即……③…………………………（8分）又，由（1）知，，化简得……④，………………………………………………………………（10分）由③④，得，，………………………………………………………………（11分）∴…………………………（12分）