重庆市开州区临江中学2023-2024学年高一上学期第二阶段性（12月期中）考试数学试题（Word版附解析）

临江中学高2026届高一上第二阶段性考试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.(-1，2C.D.【答案】A【解析】【分析】利用并集运算直接求解即可.【详解】因为，，所以.故选：A2.已知幂函数的图象经过点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，即可得解.【详解】设幂函数，所以，解得，所以，故.故选:C.3.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】“积跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必有“积跬步”，“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.故选：B.4.已知函数，若，则实数的值为（    ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式求得，继而可得，可得，即可求得答案.【详解】由题意可得，故，所以，故选:A5.已知，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．6.已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先可以求出的最大的单调递增区间为，若函数在区间上单调递增，则当且仅当，由此即可得解. 【详解】因为是定义在R上奇函数，所以，因为当时，，所以当时，，，所以由二次函数的单调性可知的最大的单调递增区间为，若函数在区间上单调递增，则，所以实数的取值范围是.故选：C.7.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知当时，，当时，，由函数的单调性对比选项即可得解.【详解】当时，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增，且时，当且仅当时，， 由此可知C，D选项中图象错误；当时，，此时在上单调递减，故选项A中图象不合题意，又，故B中图象符合题意.故选：B.8.已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.【详解】∵函数为偶函数，∴，即，∴函数的图象关于直线对称，又∵函数定义域为，在区间上单调递减，∴函数在区间上单调递增，∴由得，，解得.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是真命题的是（）A.已知，则的值为11B.若，则函数的最小值为C.函数是偶函数 D.函数在区间内必有零点【答案】AD【解析】【分析】代入求值判断A，利用基本不等式求最值判断B，根据偶函数的定义判断C，根据零点存在性定理判断D.【详解】对于A，由函数，令，可得，正确；对于B，若，由，当且仅当时，即时，等号显然不成立，错误；对于C，由函数，则满足，解得，即函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，错误；对于D，由函数，可得，所以，且函数连续不间断，所以函数在内必有零点，正确.故选：AD.10.下列命题为真命题的是（）A.“”的否定为“”B.函数的单调递减区间为C.函数与函数是同一个函数D.已知函数定义域为，则函数的定义域为【答案】BD【解析】【分析】对A，利用命题的否定即可判断；对B根据复合函数单调性的判断方法即可；对C，根据函数三要素即可判断；对D，根据抽象函数定义域的求解方法即可判断.【详解】对A，“”的否定为“”，故选项A错误；对B，中，即 解得，则定义域为，又的增区间为，而为单调减函数，则由复合函数同增异减原则可得函数的单调递减区间为，故选项B正确；对C，由于，可知两者解析式不一致,则函数与函数不是同一个函数，故选项C错误；对D，函数的定义域为，故，则，所以的定义域为，所以，即函数的定义域为，故D正确；故选：BD.11.已知，且，下列结论中正确的是（）A.的最小值是9B.的最小值是C.的最大值是D.的最小值是【答案】ABD【解析】【分析】对于A，直接由“乘1法”结合基本不等式即可判断；对于B，直接由基本不等式以及指数的运算性质即可判断；对于C，先由基本不等式得到的最大值为，进一步结合对数的运算性质即可判断；对于D，直接由“配凑法”以及基本不等式即可得解.【详解】，且，对于A，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以A正确；对于B，由，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确；对于C，由，解得，当且仅当时等号成立， 则的最大值为，的最大值是，所以C错误；对于D，由，得，当且仅当时等号成立，则的最小值是，所以D正确.故选：ABD.12.已知函数的定义域是，对都有，且当时，，且，下列说法正确的是（）A.B.函数在上单调递减C.D.满足不等式的的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】令求的值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明的单调性可判断B；由与计算判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D.【详解】因为，令，可得，解得，所以A正确；令，可得，所以，任取且，则， 因为，所以，所以，可得函数在上单调递增函数，所以B不正确；由，，所以C正确；因为，由，可得，所以，所以等价于，即，因为函数在上单调递增函数，可得，解得，即不等式的解集为，所以D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.实数且，则函数的图象恒过定点______．【答案】【解析】【分析】令，结合指数函数的性质即可得解.【详解】令，则，所以函数的图象恒过定点.故答案为：. 14.若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为____________.【答案】【解析】【分析】根据题中条件可得方程无实数解，则，解出即可.【详解】由题意可知方程无实数解，所以，解得，故实数m的取值范围为.故答案为：.15.已知函数，且对于，恒有.则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由题意先由复合函数单调性得出，然后根据时，有意义进一步得到的一个范围，最终还要保证整体的单调，由此即可得解.【详解】由题意，不妨设，则有，从而，即，所以是R上的减函数，首先有，此时函数关于单调递减，由复合函数单调性可知关于单调递增，所以，又时，有意义，即恒成立，而当时，单调递减， 故还需满足，所以当且仅当实数满足，符合题意，即，解得．故答案为：.16.已知为整数，若关于的方程有正数解，则________．【答案】【解析】【分析】将方程化为，运用换元法可求得，进而可得，解方程即可.【详解】由得，所以．设，则，，因为为整数，所以，即，解得，即，解得．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.计算：（1）（2）【答案】（1）0；（2）6. 【解析】【分析】（1）根据指数的运算法则化简、运算即可求解.（2）根据换底公式和对数的运算法则化简、运算即可求解.【小问1详解】原式【小问2详解】原式18.设函数的定义域为，集合（）.（1）求集合；（2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义域及根式有意义列出不等式组，求出集合；（2）根据p是q的必要不充分条件，得到是的真子集，分与两种情况，进行求解.【小问1详解】要使得函数有意义，只需要解得，所以集合.【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，当时，，解得；当时，解得，综上可知，实数的取值范围是.19.已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12.（1）求的解析式；（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明.【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式的解集设函数，然后根据最值求解参数即可解答；（2）利用对勾函数单调性判断，利用单调性定义证明即可.【小问1详解】因为是二次函数，且的解集是，所以可设，且易知，所以在区间上的最大值是，由已知得，所以，所以.【小问2详解】，在上单调递增，证明如下：设，则，其中，所以， 所以，所以在上单调递增.20.某企业生产A，B两种产品，根据市场调查可知，A产品的利润与投资额成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资额单位都是万元）．（1）求函数，的解析式；（2）该企业已筹集到160万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这160万元投资，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．【答案】（1），（2）当产品投入60万元，产品投入100万元，企业获得最大利润为65万元【解析】【分析】（1）根据题意，设，，，代入点的坐标计算即可；（2）设产品投入x万元，则产品投入万元，设企业的利润为y万元，，，化简后通过换元法求出最大值即可．【小问1详解】设投资额为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，由题设得，，，由图可知，则，又，所以，所以．【小问2详解】设产品投入x万元，则产品投入万元，设企业的利润为y万元， 则，令，则，故，所以当时，，此时，，所以当产品投入60万元，产品投入100万元，企业获得最大利润为65万元．21.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.（1）求函数和解析式，并判断函数的单调性(不用解析）；（2）求函数，的最小值.【答案】（1），在上单调递增，（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用奇偶性得到关系式，结合题意可求出函数和的解析式，再利用单调性的定义证明即可；（2）求出的解析式，结合换元法及二次函数的性质，分类讨论求解最小值.【小问1详解】定义在R上的奇函数和偶函数，则，∵①，∴，即②，联立①②解得:，在上单调递增，证明如下：设，且，，，， ，即，在单调递增.【小问2详解】，令，可知时单调递增，则，，令，当，即时，在时单调递增，则；当，即时，在时单调递减，在时单调递增，则；当，即时，在时单调递减，则；综上，当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为.22.已知，且是偶函数．（1）求的值；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）函数为偶函数，利用求的值； （2）设，依题意有，求函数最小值，可得实数的最大整数值．【小问1详解】函数定义域为R，由函数为偶函数，有，即，则有，即，得，所以.【小问2详解】由（1）可知，，则，设，依题意有，由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，令，则，有，由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，，则有，得，