四川省宜宾市叙州区第二中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

叙州区二中2023年秋期高一期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列写法中，正确的是（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】结合集合间的基本关系以及元素与集合的关系，逐项分析即可求出结果.【详解】A因为空集是任何集合的子集，所以，故A正确；B因为集合中只有一个元素0，所以，故B错误；C因为空集是任何集合的子集，所以，故C错误；D因为空集中无元素，所以，故D错误，故选：A.2.已知命题，则为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定的性质进行求解即可.【详解】因为命题，所以为.故选：C【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.3.若，则下列式子一定成立的是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质结合反例法逐一判断即可【详解】对于A：若，则，故A错误；对于B：由，可得，故B正确；对于C：若，则，故C错误；对于D：若，则，故D错误；故选：B4.将化成分数指数幂的形式是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可.【详解】.故选：A5.杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.故选：C6.函数的单调减区间为 A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，求得函数定义域，本题即求在定义域内的单调减区间．利用二次函数的性质可得在定义域内的单调减区间．【详解】解：令，求得，故函数的定义域为，本题即求在内的减区间．利用二次函数的性质可得在内的减区间为，即函数的单调减区间为，故选B．【点睛】本题主要考查根式函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，难度不大，但要注意，求单调区间，一定要先求函数定义域．7.若，且，则的最小值为（）A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】分析】利用基本不等式中常数代换技巧求解即可.【详解】因为，且，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为9.故选：C.8.已知函数，若对任意的正实数，，总存在，使得成立，则 实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设的最大值为，令，当时，函数单调递减，得到，又由，解得，分类讨论，即可求解．【详解】设的最大值为，令，当时，函数单调递减，所以，因为，所以，又由，解得，（1）由，当时，；当时，；当时，；（2）由时，；（3）由时，；综上可得：，所以实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等关系的有解问题，其中解答中合理分类讨论，确定函数的最小值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列判断正确的有（）A.B.（其中）C.D.（其中，）【答案】BCD【解析】【分析】根据根式的性质判断A，根据分数指数幂的运算性质判断B，C，D. 【详解】对于选项A，，A错误；对于选项B，因为，所以，B正确；对于选项C，，C正确；对于选项D，因为，，所以，D正确；故选：BCD.10.已知，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用比差法比较的大小，判断A，B，比较的大小，判断C，D.【详解】，因为，所以，，所以，即，所以A错误，B正确，，因为，所以，，所以，即，所以C错误，D正确，故选：BD.11.已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（）A.函数R上单调递增B.函数在上单调递增C.函数在上单调递减D.函数在上单调递减【答案】AB 【解析】【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可.【详解】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故C错误；因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误.故选：AB.12.在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.对任意，都有【答案】BCD【解析】【分析】若定义域为，通过对称中心可代入函数，整理可得A和C选项，结合题意可得关于原点对称，得D选项正确，将1代入可求得B选项【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以，所以，故A错误，C正确；结合题意可得关于原点对称，所以对任意，都有，故D正确；代入1得，且所以，故B正确 故选：BCD第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.集合，，若，则__________________.【答案】【解析】【分析】根据，得到，由此求得，进而求得.【详解】由于，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据交集的结果求参数，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.14.设（、为常数），若，则______【答案】40【解析】【分析】根据题意，求解相应函数值，利用等量代还，可得答案.【详解】由题意，则，即，由，故答案为：40.15.函数在R上是减函数，则a的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由分段函数的单调性可得，解出即可得到答案.【详解】要使函数在R上是减函数， 应满足，解得.故答案为：.16.已知定义在上的函数在上是增函数，且对任意的x，y，都有，若，则的解集为______．【答案】【解析】【分析】利用赋值法可得是偶函数，然后根据单调性和定义域列不等式，解不等式即可.【详解】令，则，所以是偶函数，则，，又定义在上的函数在上是增函数，由，得，则，解得，故的解集为．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集运算即可得解；（2）先由条件得到，再对与分两种情况讨论得解.【小问1详解】因为当时，， 所以.【小问2详解】因为，所以，当时，，，满足；当时，，因为，所以；综上，实数的取值范围为.18.已知为偶函数，为奇函数，且.（1）求，的解析式；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据奇偶函数建立方程，解方程即可得答案；（2）由题知，进而得，再解不等式即可得答案.【小问1详解】解：因为为偶函数，为奇函数，且有，所以，所以，，解得，.所以，，.【小问2详解】解：因为，当且仅当时等号成立，所以 所以，对任意的，恒成立，即，则，即，解得，所以，的取值范围.19.（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；（2）已知不等式恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根据不等式的解集是，得到，，，代入即可求解；（2）通过讨论和两种情况来求解.【详解】（1）因为不等式的解集是，所以和是方程的两根，且，所以，即，，代入不等式得，因为，所以，解得或，所以不等式的解集为或.（2）当时，不等式为，恒成立，满足题意；当时，要满足题意，需，解得，所以实数的取值范围为20.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x.（1）求出函数f(x)在R上的解析式；（2）画出函数f(x)的图象. 【答案】（1）（2）作图见解析；【解析】【分析】（1）根据函数为定义域为的奇函数，当时，，我们根据定义域为的奇函数的图象必过原点，且，即可求出函数在上的解析式；（2）根据（1）中分段函数的解析式，我们易画出函数的图象．【详解】解：（1）①当时，；②当时，，是奇函数，综上：（2）函数的图象如下图所示：【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质及函数的图象，其中根据函数奇偶性的性质，求出函数的 解析式是解答本题的关键．21.扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.【答案】（1）；（2）；（3）外周长的最小值为米，此时腰长为米.【解析】【详解】试题分析：（1）将梯形高、上底和下底用或表示，根据梯形面积的计算得到和的等式，从而解出，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.试题解析：⑴，其中，，∴，得，由，得∴；6分⑵得∵∴腰长的范围是10分⑶，当并且仅当，即时等号成立． ∴外周长的最小值为米，此时腰长为米．16分考点：函数的应用、基本不等式、函数的最值.22.已知函数，且满足.（1）判断在上单调性，并用定义证明：（2）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先求得的值，再利用函数单调性定义即可求得在上的单调性；（2）先求得在上的值域和在上的值域，再利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得的取值范围.【小问1详解】由函数满足，可得，解之得，则，在上单调递增，证明如下：设任意，且，则，由，可得，又，， 则，则，则在上单调递增.【小问2详解】对任意的，由在上单调递增，可得，即，则在上的值域为对称轴，当时，在上为增函数，值域为，由题意可得，则，解之得；当时，在上为减函数，值域为，由题意可得，则，解之得，