四川省宜宾市叙州区第二中学2023-2024学年高二数学上学期开学试题（Word版附解析）

叙州区二中2023年秋期高二开学考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．第I卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A.500名学生是总体B.每个被抽取的学生是个体C.抽取的60名学生的体重是一个样本D.抽取的60名学生的体重是样本容量【答案】C【解析】【分析】根据抽样中总体，个体，样本，样本容量的概念进行判断.【详解】由题可知，从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，其中总体是该年级500名学生的体重，个体是每名学生的体重，样本是抽取的60名学生的体重，样本容量是60，故只有C选项正确.故选：C.【点睛】本题考查对总体，个体，样本，样本容量的理解，属于基础题.2.若（是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值是（）A.B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则化简得到，再由是纯虚数，列出方程，即可求解.【详解】由题意，复数，因为是纯虚数，所以且，解得.故选：D. 3.已知向量，满足，，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直可知数量积等于0，从而可求出与的夹角.【详解】由可得，则，又，则，所以与的夹角为.故选：B.4.已知的内角的对边分别为，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接利用正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理，得.故选：A.5.函数的图像关于直线对称，则可以为（）A.B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】的对称轴为，化简得到得到答案.【详解】 对称轴为：当时，取值为.故选:C.6.在正三棱柱中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得该角的余弦值.【详解】根据正三棱柱的性质可知，所以是异面直线与所成角，设，在三角形中，，由余弦定理得.故选：C7.若三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中 ，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝6，则面积的最大值为（）A.8B.12C.16D.20【答案】B【解析】【分析】根据海伦-秦九韶公式化简得，再利用基本不等式求最值.【详解】在中，因为，所以，又a＝6，所以，可得，且，故的面积，当且仅当，即时取等号，故面积的最大值为12.故选：B8.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】B【解析】【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.已知一组数据为，，，，，，则该组数据的（）A.众数是B.平均数是C.第百分位数是D.方差是【答案】AB【解析】【分析】根据众数、平均数、百分位数和方差的计算方法直接求解可得结果.【详解】对于A，出现频率最高，众数为，A正确；对于B，平均数，B正确；对于C，将数据按照从小到大顺序排序为：，，，，，，，第百分位数为，C错误；对于D，方差，D错误.故选：AB.10.设函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.图象关于直线对称C.的一个零点为D.的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】先化简，得到，再根据三角函数的图像和性质对四个选项一一验证.【详解】函数.对于A：的最小正周期为.故A正确；对于B：，所以的图象关于直线对称.故B正确； 对于C：，所以是的一个零点.故C正确；对于D：函数,所以的最大值为2.故D错误.故选：ABC11.如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则（）A.直线与为异面直线B.正方体过点，的截面为三角形C.直线垂直平面D.平面平行于平面【答案】AD【解析】【分析】根据异面直线的定义，判断A；根据平面的公里，以及结合图形，即可求截面，判断B；根据线面垂直的定义，判断C；根据面面平行的判断定理，判断D.【详解】A.由异面直线的定义可知，直线与为异面直线，故A正确；B.因为点是的中点，所以点在平面,，所以点在平面,所以截面为平行四边形，故B错误；C．连结，因为,所以四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与也不垂直，由B可知，直线不垂直于平面故C错误；D.因为，平面，平面,所以平面，同理平面 ,且，平面，平面，所以平面平行于平面，故D正确.故选:AD12.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列结论中正确的是（）A.B.若，则C.，，使得D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据单调性判断A，根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，即可判断B，求出函数的最大值，即可判断C，根据函数的取值情况分类讨论，求出不等式的解集，即可判断D.【详解】解：因为，，所以函数为偶函数，又，当时，都有，所以在上单调递减，根据偶函数的对称性可知函数在上单调递增，又，所以，所以当或时，当时，对于A：因为在上单调递减，所以，故A错误；对于B：因为，所以，故，即或，解得或，即，故B正确； 对于C：函数在上的图象是连续不断的，且函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，故存在，使得，有，故C正确；对于D：不等式，当时，，解得；当时，，解得．综上所述，不等式的解集为，故D正确；故选：BCD第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，与的夹角为，则______.【答案】【解析】【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】因为，与的夹角为，所以.故答案为：14.化简：______．【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的关系化简.【详解】，故答案为:.15.已知函数，则满足实数的取值范围是________. 【答案】【解析】【分析】根据题意，由奇函数的定义可得函数为奇函数，由函数单调性的性质可得函数在上为减函数；据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数，，即函数为奇函数，又由在上为减函数，在上增函数与，则函数在上为减函数，则，解可得：，即的取值范围为；故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于的不等式，属于基础题．16.设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则______．【答案】##【解析】【分析】根据题意利用正、余弦定理分析可得，由结合数量积相关运算整理得关于的方程，运算求解即可.【详解】因为，且， 由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，整理得，又因为D为中点，所以，设的夹角为θ，则，即，且，因为，则为锐角，可知，可得，解得或（舍去）所以，整理得，解得或，且，即，所以，所以.故答案为：. 【点睛】关键点睛：对于等分点问题，常利用向量的线性运算以及数量积建立关系，运算求解即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量，，，且，．（1）求向量、；（2）若，，求向量，的夹角的大小.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；（2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求．【小问1详解】解：因为，，，且，，所以，，所以，，所以，；【小问2详解】解：设向量，的夹角的大小为．由题意可得，，，所以，因为，所以．18.某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到位员工每人手机月平均使用流量（单位：）的数据，其频率分布直方图如图． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）从该企业的位员工中随机抽取人，求手机月平均使用流量不超过的概率；（III）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：）流量套餐的规则是：每月日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含的流量）需要元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）订购套餐更经济【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率和为构造方程可求得结果；（Ⅱ）利用减掉超过月平均使用流量超过的概率即可得到结果；（Ⅲ）确定选择两种套餐可能的费用，计算平均费用，根据平均费用的大小可确定订购套餐更经济.【详解】（Ⅰ）由题意知：解得：（Ⅱ）月平均使用流量不超过的概率为：（Ⅲ）若该企业选择套餐，则位员工每人所需费用可能为元每月使用流量的平均费用为：若该企业选择套餐，则位员工每人所需费用可能为元每月使用流量的平均费用为： 该企业订购套餐更经济【点睛】本题考查频率分布直方图的相关知识，涉及补全频率分布直方图、利用频率分布直方图计算概率、利用频率分布直方图估计平均数的问题.19.在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．（1）求∠C的大小；（2）若△ABC的面积，求角A的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将表达式展开化简可得，即可求出∠C的大小；（2）由三角形的面积公式可求得，再由正弦定理结合三角恒等变化可求出，即可求角出A的最大值.【小问1详解】由条件得，，整理得，即，因为，所以．【小问2详解】因为，所以△ABC的面积，即， 由正弦定理，得，故，因为，解得，即，故A的最大值为．20.如图，已知平面，平面，是边长为2的正三角形，是的中点，且（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由勾股定理，得，过点作，垂足为．取的中点，连接，，可证得四边形是平行四边形，所以，从而得证；（2）设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，利用等体积法，由求得，再由即可得解.【详解】（1）证明：因为，所以由勾股定理，得，过点作，垂足为．取的中点，连接，．易知是矩形，则，．由勾股定理，得，所以，所以．因为，分别是，中点， 所以且．又且，所以且．所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）勾股定理，得，所以因为平面．平面．所以平面平面．易知，平面平面．平面，所以平面．设点到平面的距离为．由，得即，解得．设直线与平面所成角为．则,又,所以．故直线与平面所成角的大小为.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定和线面角的求解，考查了空间想象力，属于基础题.21.设，将奇函数图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像． （1）求a的值及函数的解析式；（2）设，，求函数的值域．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数性质，确定的值，再根据图象变换的规律，确定的解析式；（2）先写出具体的解析式，利用三角恒等变换化简到最简，根据角的范围，确定函数的值域.【小问1详解】因为是奇函数，且在处有定义，可知，得到，因为，所以，由图象向左平移个单位得到，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，可得.【小问2详解】由（1）可得：，，∵，∴， ∴.22.定义在上函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界，已知函数，（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以2为上界的有界函数，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由奇函数的定义结合对数函数的运算求解即可；（2）根据复合函数单调性的性质，结合题中所给的定义进行求解即可；（3）根据题中的定义，根据绝对值的性质，结合换元法、构造函数法，利用函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】函数为奇函数，所以，即，所以，解得而当时，不合题意，故．【小问2详解】由（1）知：，令，因为在上单调递减，而在定义域上单调递减，由复合函数的单调性可知在上单增， 所以函数在区间上单增，，，所以在区间上值域为所以，故函数在区间上的所有上界构成的集合为．【小问3详解】由题意可知：在上恒成立，所以即，所以在上恒成立，所以令易知在上递减，所以，在上递增，所以，