辽宁省丹东市2023-2024学年高一上学期期中教学质量调研测试数学试卷（Word版附解析）

丹东市2023年普通高中教学质量调研测试数学试卷考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知，则“”是“”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数图像必经过点（）A.B.C.D.4.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五直金八两.问牛､羊各直金几何？”大致意思是：有5头牛､2只羊，值金10两，2头牛､5只羊，值金8两，问牛､羊各值金多少两？（）A.B.C.D.5.已知，则（）A.B.C.D.6.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（）A.B.C.2D.7.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（） A.B.C.D.8.已知函数，则使得成立的的取值范围是（）AB.C.D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论中不正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知，则下列说法正确的是（）A.的图像关于点对称B.在区间单调递减C.的值域为D.的图像关于直线对称11.已知一元二次不等式解集为或，则（）A.B.C.D.12.已知是定义在上的连续函数，且满足，当时，，设（）A.若，则B.是偶函数C.在上是增函数 D.的解集是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域是__________.14.已知，则__________.15.已知正实数满足，则的最小值为__________.16.已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集，集合.（1）求；（2）若，求的取值范围.18已知正实数满足.（1）求的值；（2）求的值.19.已知函数.（1）求证：；（2）若，求的值.20.某公园内有一块场地，如下图所示，当地的文旅集团欲把三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知，，设，（单位：）. （1）请用表示；（2）当取何值时，的面积最大，并求最大值.21.已知函数.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）解关于的不等式.22.已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在轴上截得的线段长为4，设.（1）求的解析式；（2）求函数在区间上的最小值；（3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 丹东市2023年普通高中教学质量调研测试数学试卷考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为，所以，故选：C2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案.【详解】解：由，可得或；由可得且，所以由不能推出，但由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B.3.函数的图像必经过点（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的性质，令，求得，即可求解.【详解】由函数，令，即，可得，所以函数的图象必经过点.故选：D.4.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五直金八两.问牛､羊各直金几何？”大致意思是：有5头牛､2只羊，值金10两，2头牛､5只羊，值金8两，问牛､羊各值金多少两？（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意，列出方程组求解即可．【详解】设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意可得，解得，所以每头牛值金两，每只羊值金两．故选：A．5.已知，则（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由，即可得到结果.【详解】因为，且，所以.故选：B6.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的性质可得，即可代入求解.【详解】因为幂函数，所以，解得，或，又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，所以.故选:A.7.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数型复合函数的单调性及真数大于0列出不等式求解即可.【详解】令，由知，函数单调递减，由函数（，且）在区间上单调递增，则单调递减且，所以，解得，所以的取值范围是.故选：C 8.已知函数，则使得成立的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解.【详解】由于的定义域为,且，所以为偶函数，又当时，为单调递增函数，故由得，解得，故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论中不正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据不等式性质，取特殊值判断，作差法，即可判断选项.【详解】A.因为，可知，，则，故A正确；B.若，满足，此时，故B错误；C.，，满足，此时，故C错误；D.，因为，所以，，即，即，故D正确. 故选：BC10.已知，则下列说法正确的是（）A.的图像关于点对称B.在区间单调递减C.的值域为D.的图像关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】把化简成，进而得到是由先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，然后根据的图象画出的图象，即可判断选项【详解】化简得，的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，先画出的图象，再进行平移画出的图象，因为函数为奇函数，关于点对称，且在和上为单调递减函数，则经过平移后变成的关于点对称，且在和上为单调递减函数，则在上单调递减，值域为，若点在图象上，则，整理得，即点也在图象上，可知的图像关于直线对称，所以ABD正确；C错误. 故选：ABD.11.已知一元二次不等式的解集为或，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】由题意知是方程的两根，且，根据韦达定理可得出a，b，c的关系，代入各项即可判断．【详解】一元二次不等式的解集为或，则是方程的两根，且，则，得；则错误；，B正确；，C正确；，当且仅当，即时，等号成立.故，D正确.故选：BCD12.已知是定义在上的连续函数，且满足，当时，，设（）A.若，则B.是偶函数C.在上是增函数 D.的解集是【答案】ACD【解析】【分析】取得到，取，计算得到A正确，确定，计算得到B错误，取，计算得到C正确，考虑，和三种情况，根据函数单调性解得D正确，得到答案.【详解】对选项A：取得到，即，取，得到，又，，解得，正确；对选项B：取得到，即，，函数定义域为，函数为奇函数，错误；对选项C：设，则，时，，故，，故，即，函数单调递增，正确；对选项D：，，当时，，则，故；当时，不成立；当时，，则，故；综上所述：，正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域是__________. 【答案】【解析】【分析】根据对数型函数的定义域和二次根式的性质进行求解即可.【详解】因为对数的真数大于零，二次根式被开方数为非负实数，所以有，所以该函数的定义域为.故答案为：14.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】直接计算得到答案.【详解】，则.故答案为：.15.已知正实数满足，则的最小值为__________.【答案】1【解析】【分析】由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.【详解】因为正实数满足，所以，所以 ，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案：.16.已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】将函数零点个数问题转化成方程解的个数问题，进一步转化成图像的交点个数问题.【详解】函数在区间上有两个零点，即在区间上有两个不同的解，即在区间上有两个不同的解，转化成与在区间上有两个不同的交点，结合对勾函数的性质可知在单调递减，在单调递增，且，所以，解得，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集，集合.（1）求； （2）若，求的取值范围.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）求出集合，再根据集合的交、并、补的定义求解即可；（2）由题意可得根据子集的定义求解即可.【小问1详解】由题意得，集合所以，；【小问2详解】因为，所以又因为，所以，即.所以的取值范围为.18.已知正实数满足.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将两边平方得.（2）根据平方关系可得，进而结合立方差公式运算求解.【小问1详解】将两边平方得， 所以.【小问2详解】因为是正实数，令，则，所以，可得，所以.19.已知函数.（1）求证：；（2）若，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）先化简函数，进而根据基本不等式求证即可；（2）先由解出的值，进而根据对数的运算性质求解即可.【小问1详解】证明：由，因为，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以.【小问2详解】 由，得，解得，或，则或，即或，解得或.20.某公园内有一块场地，如下图所示，当地的文旅集团欲把三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知，，设，（单位：）.（1）请用表示；（2）当取何值时，的面积最大，并求最大值.【答案】（1）（2）当时，的面积最大，最大值为【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出即可；（2）结合基本不等式表示出三角形的面积求出最值即可.【小问1详解】因为，直角三角形与直角三角形全等，所以，在中，，所以，整理得【小问2详解】由（1）得的面积为 当且仅当，即时等号成立，所以当时，的面积最大，最大值为21.已知函数.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）解关于的不等式.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）考虑函数的开口方向和对称轴，建立不等式，解出即可；（2）分类讨论的值，根据开口方向和根的大小解出即可.【小问1详解】当时，的图像开口向上且对称轴方程为，要使在上单调递减，需满足，解得，所以的取值范围为.小问2详解】不等式，即当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，不等式的解为；当时，不等式化为，若，即时，不等式的解为或，若，即时，不等式的解为，若，即时，不等式的解为或， 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解为，当时，不等式的解集为.22.已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在轴上截得的线段长为4，设.（1）求的解析式；（2）求函数在区间上的最小值；（3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性及过的点列式求解即可；（2）根据，，分类讨论求解即可；（3）由题意，利用换元法求解函数的最小值，结合（2）中的最小值列不等式求解即可.【小问1详解】因为，则的图象关于直线对称，且在轴上截得线段长为，的图象与轴的交点分别为，所以设，该函数的图象经过点，所以，解得，所以.【小问2详解】 因为，其对称轴方程为，当，即时，，当，即时，，当，即时，，综上所述，当时，，当时，，当时，.【小问3详解】若对于任意，总存在，使得成立，等价于，函数，因为，所以，所以当时，取得最小值为，当时，，所以，不成立；当时，，所以，解得或，所以；当时，，所以，解得，所以；综上所述，的取值范围是.