四川省内江市威远中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（期中考试）数学试卷（Word版附解析）

威远中学校2025届高二上第二次月考（半期考试）数学试题一、单选题（每题6分，共40分)1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】一个点关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标改变成原来的相反数，即可选出答案.【详解】一个点关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标改变成原来的相反数，点关于轴对称的点的坐标为.故选：C.2.已知圆锥底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据圆锥体积公式直接计算.【详解】由题意知，圆锥底面积为，圆锥的高，则圆锥的体积为.故选：A3.已知直线，，若∥，则的值是A.B.C.或1D.1【答案】A【解析】【详解】试题分析：∵∥，∴，∴=-2，故选A 考点：本题考查了两直线的位置关系点评：熟练掌握两直线平行的充要条件是解决此类问题的关键，属基础题4.过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】按截距为0和不为0分类讨论分别求得符合题意的直线方程【详解】当截距时，设直线方程为，将，代入得，∴方程为当截距时，过原点和点的直线方程为又且在两坐标轴上的截距相等，∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和故选：D.5.设直线，．若，则的值为（）A.或B.或C.D.【答案】A【解析】【分析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】因为，则，解得或.故选：A.6.已知点，．若直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解.【详解】设直线过定点，则直线可写成，令，解得.直线必过定点．，．直线与线段相交，  由图象知，或，解得或，则实数的取值范围是．故选：A.7.设三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，，，，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意以SA，SB，SC为棱构造长方体，建系，利用空间向量求点到面的距离.【详解】因为三棱锥的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，且，，， 以SA，SB，SC为棱构造长方体，则，解得，如图，以A为原点，AE为x轴，AG为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，可知球心O是SF的中点，则，可得，，.设平面ABC的法向量，则，令，则，可得，所以球心O到平面ABC的距离为.故选：A.8.已知实数x，y满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由表示直线上一动点到定点的距离之和，利用数形结合法求解.【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示： 设点关于直线的对称点为，则，解得，所以对称点为，则由图知：的最小值为，故选：D二、多选题(每题5分，共20分)9.下列直线与直线l：平行，且与它的距离为的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】设所求的直线方程为，再利用平行直线的距离公式即可求解.【详解】设与直线l：平行直线方程为，由题意可得，解得或，故所求直线的方程为或.故选：AB10.圆：与圆：，则下列说法正确的是（）A.两圆公共弦所在的直线方程为B.两圆的位置关系为外切C.公共弦长为D.两圆有四条公切线【答案】AC 【解析】【分析】先用两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程；求出两圆圆心和半径，求出圆心距，与半径之差、半径之和比较可判断位置关系，根据位置关系可得出公切线条数，求出圆心到直线距离，可求出公共弦的长度.【详解】将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，故A正确；圆的圆心为，半径为，由可得，即圆的圆心为，半径为，则两圆的圆心距为，因为，所以两圆相交，公切线有两条，故BD错误；点到直线的距离为，则公共弦的长度为，故C正确；故选：AC.11.已知直线：，圆：的圆心坐标为，则下列说法正确的是（）A.直线恒过点B.，C.直线被圆截得最短弦长为D.若点是圆上一动点，的最小值为【答案】AB【解析】【分析】直线恒过点，A正确，根据圆的一般方程计算B正确，计算弦长的最小值为，C错误，确定，D错误，得到答案.【详解】圆：的圆心坐标为，故，，解得，，圆方程，对选项A：因为直线恒过点，正确； 对选项B：，，正确；对选项C：当直线与垂直时，弦最短，此时，弦长为，错误；对选项D：设，即，当直线与圆相切时，，解得或，故，错误；故选：AB12.在长方体中，，，P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（）A.平面B.与所成角的正切值的最大值是C.以A为球心，5为半径的球面与侧面的交线长是D.若P为靠近B的三等分点，则该长方体过的截面周长为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由长方体性质及线面平行判定证面、面，再由面面平行的判定和性质判断；对于B，由及异面直线夹角的定义得到与所成角即为（锐角），根据线面垂直的性质有，则即可确定其最大值；对于C，首先确定以为球心，5为半径的球面与面的轨迹，再判断球面与侧面的交线图形，即可求长度；于D，应用平面基本性质画出截面，结合长方体性质判定其为平行四边形，结合已知求边长即可判断.【详解】由长方体性质知：，面，面，则面，同理可证面，又，面，则面面，又面，则平面，A对；由，则与所成角即为（锐角）， 由面，面，则，所以，而，只需最大，即为4，故与所成角的正切值的最大值是，B错；以为球心，5为半径的球面与面的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以球面与侧面的交线是个圆弧，则交线长为，C对；如图，延长交于，过作交于，连接，结合长方体性质知：四边形为平行四边形，且为该长方体过，P，C的截面，又为靠近的三等分点，则，故，所以，，则的周长为，D对.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握立体的相关知识，逐一分析选项即可得解.三、填空题(每空5分，共20分)13.如图，是水平放置的斜二测直观图，其中，则原图形的面积是_________.【答案】6【解析】【分析】画出原图形，求出面积即可. 【详解】画出原图形如下：其中，故.故答案为：614.直线关于直线的对称直线的方程为___________.【答案】【解析】【分析】设出为所求直线上一点，找出其关于的对称点，代入直线即可求出.【详解】设为所求直线上一点，它关于的对称点为，则可得，由题可得在直线上，所以，整理可得所求的对称直线方程为.故答案为：.15.若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是______.【答案】或【解析】【分析】曲线的图像是一个半圆，结合图象通过讨论直线的位置，求出的范围即可.【详解】解：曲线方程变形为，表示圆心为，半径为2的下半圆， 根据题意画出图形，如图所示：当直过时，将坐标代入直线方程得：，即；当直过时，将代入直线方程得：，即；当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，即，（舍）或，则直线与曲线只有一个公共点时的范围为：或.故答案为：或.【点睛】本题考查了直线和圆的关系，是一道中档题.16.已知实数满足方程，给出下列四个结论：①的最大值为②的最大值为③的最大值为④的最大值为其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②【解析】【分析】令，由直线与圆有公共点，求解判断①；求出的范围，把视为的函数并求出范围判断②；令，由直线和圆 有公共点，求解判断③，令，由直线与圆有公共点，求解判断④.【详解】依题意，方程，即表示圆心为，半径为的圆，对于①，令，则直线与圆有公共点，于是，解得，即的最大值为，①正确；对于②，由，得，解得，因此，即的最大值为，②正确；对于③，令，即，则直线和圆有公共点，则，解得，即的最大值为，③错误；对于④，令，则直线与圆有公共点，则，解得，即的最大值为，④错误，所以所有正确结论的序号是①②.故答案为：①②【点睛】思路点睛：换元并把问题转化为直线与圆的位置关系，再借助点到直线距离公式求解即得.四、解答题(共70分)17.已知空间向量，，.（1）若，求；（2）若，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，由向量模的坐标运算求解即可；（2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，从而得到，由空间向量的夹角公式求解即可．【小问1详解】空间向量，，，因为，所以存在实数k，使得，所以，解得，则．【小问2详解】因为，则，解得，所以，故．18.已知圆C经过点和点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的方程；（2）过点的直线被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用圆心在直线上，设出圆心的坐标，再由圆心分别到的距离相等，建立方程求出圆C的方程；（2）由弦长公式得出圆心到直线的距离，设出直线的方程，由点到直线的距离公式求出斜率，从而得出直线l的方程． 【详解】解：（1）由于圆心C在直线上，可设圆心圆C经过点和点故有，求得，故圆心，半径为故要求的圆的方程为．（2）过点的直线1被圆C截得的弦长为6故圆心C到直线的距离为显然直线l的斜率存在，设为k，则直线l即；，即．由，求得故直线l的方程为，即．【点睛】本题主要考查了求圆的方程以及根据弦长求参数的值，涉及了点到直线的距离公式的应用，属于中档题.19.在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可；（2）利用向量法求线面距离作答即可.【小问1详解】在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，所以直线与所成角的余弦值为.【小问2详解】由（1）知，，，，，显然，所以，而平面，平面，于是平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，设平面的法向量为，则，令，得，所以点到平面的距离为，所以直线FC到平面的距离是. 20.如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，.（1）求证：直线平面PAC；（2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，，利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．【小问1详解】底面，平面，，在正方形中，，又，平面，平面，平面.【小问2详解】由题意可建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示： 因为，则,0,，,1,，,0,，,1,，,0,，,1,，,0,，,1,，设平面的一个法向量为,,，则，取，则，，平面的一个法向量为,1,，设直线与平面所成的角为，则，21.已知直线l：.（1）求原点到直线l的距离的最大值；（2）若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出直线l经过的定点，结合图形以及两点的距离公式，即可得出答案；（2）先求出的坐标，表示出.然后根据基本不等式，即可得出最小时，的值，代入方程，即可得出答案.【小问1详解】直线l：可化为.解可得，，所以直线l过定点. 如图，过点作，垂足为，连接易知，当时，原点到直线l的距离取得最大值.【小问2详解】易知令，由可得，.令，由可得，.且，所以，所以，.因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.所以，直线l的方程，即.22.在平面直角坐标系中，直线交轴于，以为圆心的圆与直线相切.（1）求圆的方程；（2）设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围；（3）是否存在定点S，对于经过点S的直线，当与圆交于时，恒有？若存在，求点S的坐标：若不存在，说明理由.【答案】（1） （2）（3）存在，.【解析】【分析】（1）先利用点到直线的距离公式求出半径，从而求得圆的方程；（2）考虑临界情况，只要当直线与圆相切时，就满足题意；（3）当直线斜率存在时，设出方程，然后与圆的方程联立，然后利用给定条件结合韦达定理求出的关系即得；再讨论斜率不存在时的情况即可作答.【小问1详解】因为以为圆心的圆与直线相切，所以圆的半径，所以圆的方程为.【小问2详解】如图，直线与圆相切，设，则，由题意知当时满足题意，所以由，得，由于，所以由距离公式得，解得，所以的取值范围为.【小问3详解】直线交轴于，当直线的斜率存在时，设， 设与圆的交点，，根据题意只需，即，把，代入化简得，①联立消去得，，所以，由韦达定理得，代入①式得，化简得，即，所以，恒过点，当直线的斜率不存在时，过点的直线显然存在满足题意，