江苏省扬州中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题（Word版附解析）

江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.经过、两点的直线的倾斜角为（    ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果.【详解】设直线的倾斜角为，则，且，故.故选：B.2.抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的准线求得的值【详解】由题意可得：，则故选：B3.已知是椭圆上的点，则的值可能是（）A.13B.14C.15D.16【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设，得到，求得的取值范围，即可求解.【详解】由椭圆，可设，其中，则，其中，因为，所以，即的取值范围为，结合选项，可得A符合题意.故选：A.4.若点在圆的外部，则a的取值范围是（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得；由点在圆的外部可知：，得.故.故选：C5.已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，则的周长为（）A.10B.16C.20D.26【答案】C【解析】【分析】由椭圆的定义可得，，代入即可求出答案.【详解】由椭圆的定义可得：，， 则的周长为：.故选：C.6.已知抛物线，直线与交于A，两点，是射线上异于A，的动点，圆与圆分别是和的外接圆（为坐标原点），则圆与圆面积的比值为（    ）A.小于1B.等于1C.大于1D.与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】求出的坐标，由对称性可得，，设，的外接圆半径为，由正弦定理得到，，故，故面积比值为1.【详解】由题意得，抛物线的焦点坐标为，将代入中，，不妨令，由对称性可知两点关于轴对称，，，设，的外接圆半径为，当点在点上方时，， 当点在点上方时，，同理，因为，所以，所以圆圆面积的比值为1.故选：B7.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可. 【详解】设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，所以，即双曲线方程为：.故选：B8.已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设中点，根据垂径定理可得点的轨迹方程，进而可得的取值范围，又，即可得解.【详解】设中点，则，，所以，即，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以，，所以，又，所以的最大值为，故选：A.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题 答案填到答题卡的指定位置中. ）9.已知直线，其中，则（　  ）A.直线过定点B.当时，直线与直线垂直C.当时，直线在两坐标轴上的截距相等D.若直线与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为【答案】ABD【解析】【分析】坐标代入方程检验判断A，根据垂直的条件判断B，求出两坐标轴上截距判断C，求出平行线间距离判断D．【详解】选项A，把坐标代入直线方程而立，A正确；选项B，时直线方程为，斜率是1，直线斜率是，两直线垂直，B正确；选项C，时直线方程为，在轴上截距为，在轴上截距为，不相等，C错；选项D，即或时，直线方程为与直线平行，距离为，D正确．故选：ABD．10.已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（）AB.已知椭圆的离心率为，短轴长为2C.是等边三角形，且椭圆的离心率为D.设椭圆的焦距为4，点在圆上【答案】ABD 【解析】【分析】逐项代入分析即可求解.【详解】根据之间的关系即可求解，故选项A正确；根据即可求解，故选项B正确；是等边三角形，且椭圆的离心率为，只能确定，不能求椭圆标准方程，故选项C不正确；设椭圆的焦距为4，点在圆上，所以，即可求出椭圆标准方程,故选项D正确.故选：ABD.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ）A.B.C.D.与之间的距离为4【答案】BC【解析】【分析】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入，由韦达定理得，进而求得，可判断B；先求点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断A；根据抛物线的定义可知，可判断C；由于与平行，所以与之间的距离，可判断D.【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入得，则，所以，所以，故B正确；点与均在直线上，则点的坐标为，由得， 则点的坐标为，则，故A错误；由抛物线的定义可知，，故C正确；与平行，与之间的距离，故D错误.故选：BC.12.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（　　）A.的最小值为8B.为定值C.若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为；D.若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为.【答案】AB【解析】【分析】设，由，可判定A正确；化简，可判定B正确；设直线的方程为，联立方程组，结合，得到，在化简，可判定C不正确；根据通经长和实轴长，可判定D错误.【详解】由题意，双曲线，可得，则，所以焦点，且， 设，则，且，即，双曲线的两条渐近线的方程为，对于A中，由，所以A正确；对于B中，（定值），所以B正确；对于C中，不妨设，直线的方程为，联立方程组，整理得，若直线与双曲线相切，则，整理得，联立方程组，解得，即点的纵坐标为，联立方程组，解得，即点的纵坐标为，则点的纵坐标之积为所以C不正确；对于D中，若点在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为，若点在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为，所以D错误.故选：AB. 三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为____．【答案】【解析】【分析】由，可求出，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线的离心率为，，所以，所以，双曲线渐近线方程为：.故答案为：14.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.【答案】##【解析】【分析】作出图象，结合题意可知A，P及P到准线的垂足三点共线时，所求距离之和最小，此时P点的纵坐标为1，代入抛物线即可求得P点的坐标.【详解】根据题意，由y2＝－4x得p＝2，焦点坐标为(－1，0)，作出图象，如图， .因为等于到准线的距离，所以，可知当A，P及P到准线垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，此时点P的纵坐标为1，将y＝1代入抛物线方程求得，所以点P的坐标为.故答案为：.15.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆（a>b>0）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则该椭圆的面积为_____________.【答案】【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出、，进而求出面积.【详解】设，，记的中点为，即，因为的中点为，所以由中点坐标公式得，因为直线过椭圆焦点，所以直线斜率为，又因为，在椭圆上， 所以，两式相减得，整理得，代值化简得，因为椭圆的焦点为，所以，得，，由题意可知，椭圆的面积为.故答案为：.16.已知圆和圆与轴和直线相切，两圆交于两点，其中点坐标为，已知两圆半径的乘积为，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可设，，，由在两圆上，将坐标代入对应圆的方程整理，易知是的两个根，进而求直线的斜率，再根据直线、倾斜角的关系求值.【详解】由题设，圆和圆与轴和直线相切，且一个交点，∴和在第一象限，若分别是圆和圆的半径，可令，，，∴，易知：是的两个根，又，∴，可得，则，而直线的倾斜角是直线的一半，∴.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：分析圆心的坐标并设，，结合已知确定为方程的两个根，应用韦达定理求参数m，进而求斜率，由倾斜角的关系及二倍角正切公式求k值.四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.已知方程（且）（1）若方程表示焦点在上椭圆，且离心率为，求的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求的值及双曲线的焦点坐标.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根据题中条件及离心率公式直接计算即可；（2）根据题中条件得，进一步计算得到的值，即可求解.【小问1详解】因为方程为焦点在轴上的椭圆，所以则离心率，解得故【小问2详解】由题意得，故焦点坐标为18.已知直线经过直线的交点．（1）若直线经过点，求直线的方程;（2）若直线与直线垂直，求直线的方程．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程.（2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果.【小问1详解】由得，即直线和的交点为．直线还经过点，的方程为，即．【小问2详解】由直线与直线垂直，可设它的方程为．再把点的坐标代入，可得，解得，故直线的方程为.19.已知圆C经过两点，且在x轴上的截距之和为2．（1）求圆C的标准方程；（2）圆M与圆C关于直线对称，求过点且与圆M相切的直线方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的一般式方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设圆的方程为，令，可得，则， 将代入可得，，解得，所以圆方程为，即.【小问2详解】圆C的圆心，圆的圆心与关于对称，∴设圆的圆心为则，解得，圆的标准方程为：，若过点的直线斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，满足题意；若过点且与圆相切的直线斜率存在，则设切线方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，所以切线方程为，即，综上，过点且与圆相切的直线方程为或.20.已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.（1）求抛物线的方程；（2）若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.【答案】（1）（2）见解析. 【解析】【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.（2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证.【小问1详解】由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】设，联立，由韦达定理得，所以所以，所以以为直径的圆经过原点O.得证21.已知直线，与双曲线的左支交于A，B两点.（1）求实数的取值范围；（2）若的面积为（O为坐标原点），求此时直线的斜率的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设点坐标，联立方程组，根据根与系数的关系求解； （2）通过面积求解出，从而求解出的值.【小问1详解】依题意，设，联立方程组，整理得：因为直线，与双曲线的左支交于A，B两点，所以，解得，故，【小问2详解】设点O到直线的距离为，则，，又因为，所以又因为，代入，得，整理得，又，解得， 此时直线的斜率的值为.22.已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆方程；（2）点分别为椭圆的上下顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，探究直线的交点是否在一条定直线上，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由椭圆离心率可得，再将代入椭圆的方程可得，即可求出椭圆的方程；（2）设，直线的方程为:，联立直线和椭圆的方程求出两根之积和两根之和，设直线的方程和直线的方程，两式联立求得交点的纵坐标的表达式，将两根之积和两根之和代入可证得交点在一条定直线上.【小问1详解】因为椭圆的离心率为，即，所以，所以，又因为椭圆过点，所以，解得：，所以椭圆方程为.【小问2详解】因为，设， 直线的方程为:，联立方程，得，得则直线的方程为：，直线的方程为：，联立两直线方程消元：法1：由解得：，代入化简，，解得：，即直线的交点在定直线上.法2：由韦达定理得代入化简，得，即直线的交点在定直线上.法3：由，得代入化简，得， 即直线的交点在定直线上.法4：代点进椭圆方程得化简得进而得到，代入化简转化为韦达定理代入，得，即直线的交点在定直线上.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.