江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年第一学期高二年级10月学情调研测试数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过，两点的直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两点坐标可得直线斜率，进而可得倾斜角.【详解】由，，可知直线斜率，所以直线倾斜角满足，且，所以，故选：C.2.直线与直线平行，则实数的值为（）A.B.C.D.或【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行的公式求解即可.【详解】因为直线与直线平行，所以且，解得.故选：A.3.若双曲线=1离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据离心率求得，进而即得．【详解】由题意得，∴，又双曲线的渐近线方程为，∴双曲线的渐近线方程是，即．故选：C．4.《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国､秦､汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”则第1人比第3人多得钱数为（）A.钱B.钱C.钱D.钱【答案】B【解析】【分析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，则有，，从而可求出，进而即得.【详解】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，则有，，故，解得，则， 故选：B.5.在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的对称性和几何关系得出四边形为菱形，然后设，从而得出，带入抛物线的方程求解即可.【详解】因为线段的垂直平分线交交于两点,所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形.设点且,则线段的垂直平分线方程为,令与轴交于点,又,则在直角三角形中,所以，在抛物线上，，则四边形的周长为 故选：D6.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若且，则的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解．【详解】因为右焦点，故，设,,,，由可知是的中点，，，且，两式相减得，，，，，故椭圆方程为，故选：D.7.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的性质的得到，利用双曲线的定义将最大值转化为 的最大值，然后根据几何知识求最大值即可.【详解】设双曲线的标准方程为，焦距为，由题意得，，则，解得由双曲线的定义得，所以最大值即的最大值，如图，连接与双曲线交于，两点，由题意得当点在处时最大，.故选：C.8.已知双曲线的左右顶点分别为，垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，由题可得，设，利用两点连线斜率公式可化简得到，由可求得双曲线的离心率.【详解】如图，因为， 所以，，由题意知，设，则，所以，双曲线的离心率.故选：A.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.关于直线：，下列说法正确的有（）A.直线的斜率为B.经过点C.在轴上的截距为D.直线经过第二､三､四象限【答案】BD【解析】【分析】根据直线方程可判断B，由一般式化为斜截式可判断ACD.【详解】因为直线：，令，可得，即直线经过点，故B正确；由可得， 所以直线的斜率为，直线在轴上的截距为，直线经过第二､三､四象限，故AC错误，D正确.故选：BD.10.下列说法正确的有（）A.数列和是两个不同的数列；B.数列的最大项为；C.数列是递减数列；D.数列的通项公式，若数列为递增数列，则.【答案】AC【解析】【分析】利用数列的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】对于A，因为数列与数列，两个数列的顺序不同，所以它们是两个不同的数列，故A正确；对于B，因为，当且仅当，即等号成立，而，故等号不成立，故B错误；对于C，由反比例函数的性质可知数列是递减数列，故C正确；对于D，由题可知恒成立，即，恒成立，所以，故D错误.故选：AC11.在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上一点，则（）A.曲线关于轴对称；B.曲线关于原点对称；C.点的横坐标的取值范围为；D.直线与曲线有且仅有两个公共点. 【答案】BCD【解析】【分析】A选项，若曲线关于轴对称则满足曲线的方程，代入不一定成立，故曲线不关于轴对称；B选项，若曲线关于原点对称则满足曲线的方程，代入成立，故曲线关于原点对称；C选项，将曲线的方程可整理为，然后列不等式求解即可；D选项，联立方程，根据根的判别式判断即可.【详解】由题意得，将代入曲线的方程中得，不一定成立，所以曲线不关于轴对称，故A错；将代入曲线的方程中得，成立，所以曲线关于原点对称，故B正确；曲线的方程可整理为，因为，所以，解得，故C正确；联立得，，所以直线与曲线有且仅有两个公共点，故D正确.故选：BCD.12.过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的射影分别为，，O为坐标原点，则（）A.以为直径的圆与准线相切B.可能为正三角形C.D.记的面积分别为，则【答案】ACD【解析】 【分析】A选项，根据抛物线的定义和梯形中位线的性质得到到准线的距离为，即可说明相切；B选项，假设为正三角形，根据正三角形的性质得到，即可得到，此时，即可说明不存在为正三角形；C选项，直线：，联立直线和抛物线方程，然后利用韦达定理求；D选项，根据三角形面积公式和韦达定理即可得到.【详解】如图，假设点位于第四象限，根据抛物线的定义可得，设中点为，点在准线上的射影为，所以，所以以为直径的圆与准线相切，故A正确；设与轴交于点，若为正三角形，则，即，此时，，所以此时不是正三角形，故B错；设直线：，联立得，则，，，，所以 ，故C正确；，，，，，所以，故D正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡中的横线上.）13.在数列中，，则___________.【答案】23【解析】【分析】根据递推关系赋值运算可得.【详解】∵，令，可得，令，可得.故答案为：23.14.点关于直线对称的点的坐标为___________.【答案】【解析】【分析】设点关于直线对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果.【详解】设点关于直线对称的点的坐标是，则， 解得，所以点关于直线对称的点的坐标是.故答案为：.15.已知直线与曲线有一个公共点，则实数的取值范围为___________.【答案】或【解析】【分析】直线l过定点，曲线表示以为圆心，1为半径的上半圆，数形结合可得答案.【详解】直线，得，可知直线l过定点，由可得，曲线表示以为圆心，1为半径的上半圆，当直线l与半圆相切时，，解得，或(舍去)，曲线与x轴交于点，，因为直线与曲线有一个公共点，所以或 故答案为：或.16.已知直线与圆交于两点，点满足，若的中点为，则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】设，中点，则，，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最大值.【详解】设，中点，则，，又，，则，所以，又，则，而，，所以，即，综上，，整理得，即为M的轨迹方程，所以在圆心为，半径为的圆上，又，所以点在圆外，则，即的最大值为 故答案为：.【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于中点的轨迹方程.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知直线（1）若直线过点，且，求直线的方程；（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据直线位置关系可得直线的斜率，然后利用直线的点斜式即得；（2）由题可设直线，然后根据平行线间距离公式即得.【小问1详解】由题可知直线的斜率，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程是，即； 【小问2详解】设直线，则平行线与之间的距离，得或，所以直线的方程是或.18.已知两圆和，求：（1）当取何值时两圆外切？（2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.【答案】（1）41（2）；【解析】【分析】（1）利用配方法，结合两圆外切的性质进行求解即可；（2）根据两圆公共弦的性质，结合点到直线距离公式、圆的垂径定理进行求解即可.【小问1详解】由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：，所以，因为两圆外切，所以，即，所以；【小问2详解】当时，，两圆相减得：，所以两圆的公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以公共弦长为. 19.已知圆经过两点，且与轴的正半轴相切.（1）求圆的标准方程；（2）在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）这样的点有2个.【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，根据条件列方程组即得；（2）假设在圆上存在点，可得，然后根据直线与圆的位置关系即得.【小问1详解】设圆的标准方程为，由条件可得：，解得或，又因为圆与轴正半轴相切，所以满足题意，圆的标准方程为；【小问2详解】存在这样的点，并且这样的点有2个.假设在圆上存在点使得，则，化简，得，说明点为直线与圆的公共点，又圆的圆心到直线的距离， 即直线与圆相交，所以在圆上存在点使得，并且这样的点有2个.20.已知为坐标原点，位于抛物线上，且到抛物线的准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的最小值以及此时直线的方程.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上，到准线的距离为4列方程，解方程即可；（2）设直线的方程为，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，然后求最小值和直线方程即可.【小问1详解】根据题意可得，所以又，解得，故所求抛物线C方程 【小问2详解】设点，抛物线的焦点坐标为.当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为：；联立抛物线方程可得，消去得：，由韦达定理得，,易知,,故所以当时，取最小值，此时直线的方程为.21.已知双曲线的方程为，离心率为2，左､右顶点分别为，.（1）求双曲线的方程；（2）已知点是直线上任意一点，若直线分别与双曲线交于点，求证：直线恒过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程；（2）设，由直线、直线的方程分别与双曲线方程联立，求得两点的坐标，当时可得直线经过双曲线的右焦点，然后可得时，直线也经过点，进而即得.【小问1详解】不妨设双曲线的半焦距为，由条件，，所以，于是，所以，双曲线的方程为；【小问2详解】设，则直线方程分别为，由，可得，记，则和是该方程的两个根，则，即，由，得，记，则1和是该方程的两个根，则，即，当时，，直线垂直于轴，直线经过双曲线的右焦点， 下证当时，直线也经过点，，，所以，即直线也经过点，综上，直线恒过双曲线的右焦点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点,常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.22.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其短轴的一个端点与两焦点，构成的三角形周长为. （1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆上的相异三点，并且关于原点对称，若的面积为，求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率知，由题意知，联立方程组即可求出和，根据，求得，即可求出椭圆方程.（2）首先需对直线斜率是否存在分情况讨论，直线斜率不存在时，为直角三角形，所以此时；当直线斜率存在时，设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，得到，根据直线与椭圆相交弦长公式，点到直线距离公式，求出中底边长，和底边上的高，表示出面积，根据中位线的性质求出的长，然后得出，求其范围即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为，则由，短轴的一个端点与两焦点构成的三角形周长为，所以，解得，从而，所以椭圆的方程为.【小问2详解】当直线的斜率存在时，设其方程为，由题意知.将代入方程中，整理得， 此时必须有，即（*），设，则有，所以，又关于原点的对称，则，所以点到直线的距离：，所以三角形的面积，整理得，符合（*）式，又，，所以弦的中点为，从而，，所以，因为，所以，所以，所以， 当直线的斜率不存在时，三角形为直角三角形，，综上，的取值范围为.