江苏省泰州市靖江高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

江苏省靖江高级中学2023---2023学年第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟，满分150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.若两直线与互相垂直，则实数的值为（）A.B.3C.D.【答案】A【解析】【分析】根据一般式直线方程垂直的公式，即可求解.【详解】由题意可知，两直线垂直，则，得.故选：A2.已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（）A.或B.或C.或D.或【答案】C【解析】【分析】设直线的倾斜角为，根据得到，根据夹角得到答案.【详解】，即，设直线的倾斜角为，，则，，夹角为，故或.故选：C.3.双曲线与直线的公共点的个数为（）A.0B.1C.0或1D.0或1或2【答案】C 【解析】【分析】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点；当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点.故选：C4.若，则方程表示的圆的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由圆的一般方程表示圆的条件计算即可.【详解】由题意可知：，解之得，又，所以.故选：C5.已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交椭圆于、 两点．若的周长为，则椭圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依据题意得到，并结合，简单计算即可.【详解】如图，由题可知：，则所以椭圆方程为：故选：C6.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】直线即，恒过定点，曲线即表示以点为圆心，半径为1， 且位于直线上方的半圆（包括点，），当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为，分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.故选：B.7.设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义求出、，由勾股定理即可得到、的关系，从而解出．详解】由椭圆及双曲线定义得，所以，因为，由余弦定理得，同时除以得， 因为，，，所以，则，故选：B.8.斜拉桥是鼗梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为.最短拉索的锚，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解.【详解】如图，以为原点建系，根据题意，最短拉索的锚，满足，，且均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为，则，即点， 同理，又，即点，所以，即最长拉索所在直线的斜率为.故选：B.二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分）9.已知直线，则（）A.在轴上的截距为2B.C.的交点坐标为D.之间的距离为【答案】BC【解析】【分析】选项A：令，求在轴上的截距；选项B：根据直线垂直对应系数关系求解；选项C：解方程组求解；选项D：根据两平行线间距离求解；【详解】令，易得在轴上的截距为，A错误．由，得，B正确．由得所以的交点坐标为，C正确．易得，则之间的距离为，D错误．故选：BC.10.记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则（）.A.，，成等差数列 B.，，成等差数列C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由等差数列性质及前项和公式对4个选项依次判断即可．【详解】，，，，成等差数列，故选项A正确；，，，，，，即，，成等差数列，故选项B正确；，不成立，即选项C错误；，成立，即选项D正确；故选：ABD．11.已知，，为圆上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.以为直径的圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为B.若点，则的面积为C.过点且与圆相切的圆的圆心轨迹为圆 D.的最小值为【答案】AB【解析】【分析】根据题意求出圆的一般方程，与圆的一般式方程相减即可判断A；根据点到直线的距离公式三角形的面积公式计算即可判断B；作出图形，结合图形和椭圆的定义即可判断C；根据两点求距离公式得，而表示圆上动点到定点的距离的平方，结合点与圆的位置关系即可判断D.【详解】A:由，，则其中点为，所以，则圆的标准方程为，化为一般式方程为①，又圆的一般式方程为②，而，①-②得为两圆相交弦所在的直线方程．故A正确；B：由直线的方程为，则点到直线的距离，．故B正确；C:由图可知，设过点且与圆内切圆的圆心为，且切点为，则满足椭圆定义，故圆心的轨迹为椭圆．故C错误； D：设，，则可转化为圆上动点到定点的距离的平方，所以的最小值为，故．故D错误.故选：AB.12.设抛物线的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是（）A.若，则O为线段MN的中点B.若，则C.若，则D.存在点M，使得【答案】AC【解析】【分析】对每个选项，根据已知条件求得的坐标，并由此判断出正确答案.【详解】抛物线的焦点为，准线为，A选项，，所以，不妨设，则直线的方程为，令得，所以，所以是线段的中点，所以A选项正确.BC选项，，所以，则，B选项错误，不妨设，则直线的方程为，令得，所以， 所以，所以，C选项正确.D选项，设，则直线的方程为，由消去得，解得或，当时，，则，而，所以，，所以不存在点M，使得，即D选项错误.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.已知直线l：恒过点P，点Q在直线上，则的最小值为______________．【答案】【解析】【分析】求出定点P的坐标，的最小值即为点P到直线的距离，由点到直线的距离公式可得结果. 【详解】由直线l可得，令，得P点坐标，依题意：的最小值即为点P到直线的距离，由点到直线的距离公式可得故答案为：14.已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆上有且只有一个点满足，则的值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据可得在的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解.【详解】在的垂直平分线上，所以中垂线的斜率为，的中点为，由点斜式得，化简得，在圆满足条件的有且仅有一个，直线与圆相切，，故答案为:.15.已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，．则数列的通项公式是_______；若数列满足，且为等差数列，则c的值是__________ 【答案】①②.或0【解析】【分析】利用等差数列定义并根据公差大于零可求得数列的首项为，公差，即得数列的通项公式；求出前n项和为，再根据等差数列性质即可求得或.【详解】设等差数列的首项为，公差为；由，可得，解得；所以可得，即数列的通项公式是可知数列的前n项和，即，所以；因为为等差数列，所以可得，即，解得或，经检验时，；时，都符合题意；故答案为：；或016.已知直线l：与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_____________．【答案】【解析】【分析】求出直线l所过的定点恰好为圆的圆心，由得到为AB的中点，利用点差法得到，结合，且，求出，从而求出离心 率的取值范围.【详解】变形为，恒过点，即直线经过圆圆心，因为，所以为AB的中点，设，则，则有，两式相减得：，即，因为，且，所以，则离心率，故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．17.倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点（1）求抛物线的准线方程；（2）求的面积（为坐标原点）.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据抛物线的方程，即可得出答案；（2）由已知求出直线的方程，代入抛物线得出，解法一：求解得出的值，然后根据弦长公式求出，然后根据点到直线的距离，结合面积公式即可得出答案；解法二：根据抛物线的定义求出，然后根据点到直线的距离，结合面积公式即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，，焦点在轴上，所以，抛物线的准线方程为.【小问2详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为.又∵倾斜角为的直线，所以斜率为，∴直线AB的方程为：.代入抛物线方程消去y并化简得.解法一：解得，所以．又点到直线的距离为，所以.解法二：，设，则，过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示． ．点到直线的距离为，所以.18.已知数列满足，且.（1）求；（2）证明：数列是等差数列，并求.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据递推关系式求得.（2）根据等差数列的定义进行证明，进而求得.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】 因为，所以，则，故，又，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.所以，则.19.用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，，抛物线与梯形下底的两个焊接点为，．已知梯形的高是40厘米，、两点间的距离为40厘米．（1）以为原点，梯形的上底所在直线为轴，建立直角坐标系，求横梁的长度；（2）求梯形外框的用料长度．（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）【答案】（1）；（2）141cm．【解析】 【分析】（1）以为原点，梯形的上底所在的直线为轴建立直角坐标系，设，代入点，求得的值，求得抛物线的方程，即可求得横梁的长度；（2）设，联立方程组，根据，求得直线的斜率，进而求得梯形外框的用料长度．【详解】（1）如图所示，以为原点，梯形的上底所在的直线为轴，建立直角坐标系，设梯形下底与轴交于点，抛物线的方程为，由题意，代入可得，解得，所以抛物线的方程为．令，解得，即，，所以，即横梁的长度约为．（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点，设．联立方程组，整理得，则，解得，即，得，，可得，，，梯形周长为．20.已知，，，且，点．（1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值．【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为0；（3）最大值，最小值为.【解析】【分析】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求；（2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算；（3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算.【小问1详解】由题意，因为，所以，整理得，所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆.所以点到的距离为，所以的最小值为，最大值为.【小问2详解】设，则，由题意与有交点，所以，解得，所以的最大值为，最小值为0.【小问3详解】设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值，所以，解得或，所以的最大值为，最小值为.21.已知双曲线C经过点，且渐近线方程为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）点A为双曲线C的左顶点，过点作直线交双曲线C于M、N两点，试问，直线AM与直线AN的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）为定值.【解析】【分析】（1）根据渐近线可设双曲线方程为，代入经过的点即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，由斜率公式得斜率之和的表达式，将韦达定理代入化简即可求解.【小问1详解】由渐近线方程为，可设双曲线方程为，将点代入双曲线方程中可得，故双曲线方程为【小问2详解】由题意可知：直线有斜率，设其方程为，联立直线与双曲线方程，设,则， 由于,则，所以将代入可得，由于点在直线上，所以，此时，只需要，即可，因此故直线AM与直线AN的斜率之和为定值.【点睛】圆锥曲线中的范围或最值或定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，充分利用弦长公式以及斜率公式，以及向量的共线坐标公式，即可让表达式得以化简，往往可得定值，若求最值，则需要利用函数的单调性或者基本不等式即可求解最值.22.已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点距离为，若以k为斜率的直线l与椭圆C相交于两个不同的点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）设坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值； （3）若线段的垂直平分线过点，求k的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由离心率、椭圆参数关系列方程求标准方程；（2）设直线，由点线距离得，联立直线和椭圆，应用韦达定理，注意，求出，根据面积公式得到面积关于的关系式，最后应用基本不等式求最值，注意取值条件.（3）设中点为，结合（2）韦达公式，结合垂直关系、两点斜率公式列方程，及，求斜率范围.【小问1详解】由题设，则，故椭圆C的方程.【小问2详解】设直线，则，故，联立椭圆方程，则，，即，所以，，则， 所以面积，当且仅当，即，时等号成立，所以面积最大值为.【小问3详解】设中点为，由（2）知：，，所以，垂直平分线过，则，整理得，所以，由（2）知：，所以，则，即.