江苏省射阳中学2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年第一学期高二年级期中考试数学试题一、单项选择题：每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知倾斜角为的直线过，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解.【详解】由题意，解得,故选：C．2.已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据离心率求出，再根据双曲线的渐近线方程即可得解.【详解】设双曲线的方程为，因为，所以，则，所以渐近线方程为.故选：C.3.以为顶点的三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形 C.以为直角顶点的直角三角形D.以为直角顶点的直角三角形【答案】D【解析】【分析】通过斜率证明两直线垂直，得到三角形形状.【详解】直线的斜率，直线的斜率，由，所以，故是以为直角顶点的直角三角形．故选：D4.已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（）A.100B.105C.90D.95【答案】A【解析】【分析】等差数列前n项和公式的应用【详解】由，有，偶数项的和为100．故选：A5.直线与圆的位置关系为（）A.相离B.相切C.相交D.不确定【答案】C【解析】【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系.【详解】由题知，圆心坐标，半径，将直线化为点斜式得，知该直线过定点，又，故该定点在圆内，所以该直线与圆必相交. 故选：C6.已知数列对任意满足，则（）A.4040B.4043C.4046D.4049【答案】B【解析】【分析】根据数列的递推公式可知相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，写出的表达式即可求出结果.【详解】由可得；两式相减可得；即相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，且公差为4，所以可得，即；当时，，因此.故选：B7.刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（）元．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】表示出第10个月末所欠银行贷款数，因为分10次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案．【详解】设小明每个月所要还款的钱数为元，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为：，第二个月末所欠银行贷款为：,，……，第10个月末所欠银行贷款为： 由于分10次还清所有的欠款，故，解得，故选：D．8.斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是（）A.B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】由点在椭圆内有求m范围，设直线方程联立椭圆整理为一元二次方程形式，则必有，，结合韦达定理有，即可求的范围.【详解】由题设，在椭圆内，则，设直线代入椭圆，整理得且，则，由图知：直线斜率不可能0，所以，故或.故选：C二、多选题:每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求,全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分. 9.已知直线，则下列说法正确的是（）A.直线过点B.直线的斜率为C.直线在上的截距为D.直线在上的截距为【答案】BD【解析】【分析】根据直线，对各个选项分析判断即可求出结果.【详解】选项A，因为，即直线不过点，所以选项A不正确；又由，得到，所以直线斜率为，在上的截距为，所以选项BD正确，又由直线，令，得到，所以选项C错误，故选：BD.10.若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（）A.B.（其中且）C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列定义直接判断作答.【详解】因为等比数列，设其公比为，则有，对于A，是非零常数，数列是等比数列，A是；对于B，且，是非零常数，数列是等比数列，B是；对于C，是非零常数，是等比数列，C是；对于D，显然，为等比数列，而，数列不是等比数列，D不是.故选：ABC 11.已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列选项正确的是（）A.B.以MF为直径的圆与轴相切C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据抛物线的定义结合已知条件判断AB；先求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果判断C；根据抛物线的性质结合三角形的面积公式求解判断D.【详解】依题意，抛物线的焦点为，准线方程为，对于A，由，得，A正确；对于B，显然的中点的横坐标为，则该点到轴的距离，所以以为直径的圆与轴相切，B正确；对于C，当时，，解得，即，则，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD12.已知与，则下列说法正确的是（）A.与有2条公切线B.当时，直线是与的公切线C.若分别是与上的动点，则的最大值是3 D.过点作的两条切线，切点分别是，则四边形的面积是【答案】BD【解析】【分析】根据圆心距和半径之间的关系可判断A；计算圆心到直线的距离可判断B；结合两圆外切求得的最大值判断C；求出弦长即可求得四边形的面积判断D.【详解】由题意知的圆心，半径的圆心，半径，所以，所以与相外切，有3条公切线，错误；当时，点到直线的距离，即与相切；点到直线的距离，即与相切；所以直线是与的公切线，正确；由于与相外切，故的最大值为，C错误；连接，则，根据勾股定理可得，所以四边形的面积，D正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确两圆的位置关系，即判断出两圆外切，则圆的公切线问题即可解决.三、填空题:每小题5分，共20分.13.两条平行直线与间的距离是__________．【答案】1【解析】【分析】根据平行关系求得a的值，再利用平行线间的距离公式求解即可.【详解】因为直线与平行，故．可得符合题意，由平行线距离公式可得所求为．故答案为：114.若满足：，则满足上述条件数列的一个通项公式为________．【答案】【解析】【分析】根据条件，数列单调递减，且，写出符合要求的即可.【详解】因为，即数列单调递减，所以满足上述条件数列的一个通项公式可以为．故答案为：.（答案符合条件即可）15.定义：点P为曲线外的一点，A，B为曲线上的两个动点，当取最大值时，为点P对曲线的张角．已知点P为直线l：上的动点，A，B为圆O：上的两个动点，设点P对圆O的张角为，则的最大值为______．【答案】【解析】 【分析】当过点O的直线与直线l垂直时张角最大，即可求解.【详解】由题可知点P在圆O外，当PA，PB均与圆O相切时，最大，则也最大，此时．要使最大，则最小，又的最小值为点O到直线l的距离，所以，所以．故答案为：16.已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________．【答案】【解析】【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解．【详解】由题意可知，，设，可得直线的斜率分别为，，因为点在双曲线上，则，整理得，所以， 设点，可得直线，的斜率，，因为点在椭圆上，则，整理得，所以，即，则，所以直线与关于轴对称，又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，又，则，所以，整理得，即，解得，或（舍去），所以椭圆的离心率为．故答案为：．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．四、解答题:共计70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.已知直线过点．（1）若直线与直线垂直，求直线的方程（2）若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程．【答案】（1）； （2）或．【解析】【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.【小问1详解】因为直线与直线垂直，所以可设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为【小问2详解】当直线过原点时，直线的方程是，即．当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，所以直线的方程是．综上，所求直线的方程为或18.已知等差数列的前n项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，根据等差数列的定义以及通项公式，可得答案；（2）由题意，根据裂项相消求和方法，可得答案.【小问1详解】由题意得：，所以是公差为2的等差数列，则；【小问2详解】 由题知则19.圆：内有一点，过直线交圆于，两点.（1）当为弦中点时，求直线的方程；（2）若圆与圆：相交于，两点，求的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由垂径定理得⊥，根据得到，从而求出直线的方程；（2）先求出公共弦方程，即直线的方程为，由点到直线距离公式和垂径定理求出答案.【小问1详解】因为为弦中点，由垂径定理得⊥，因为，所以，故直线的方程为，即；【小问2详解】与相减得，，即直线的方程为，圆心到直线的距离为，由垂径定理得的长度为.20.已知拋物线的顶点在原点，对称轴为轴，且经过点.（1）求抛物线方程; （2）若直线与抛物线交于两点，且满足，求证:直线恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）（2）定点，证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线过点，代入即可求出结果;（2）由题意直线方程可设为，将其与抛物线方程联立，根据韦达定理，化简求解，即可求出定点.【小问1详解】由题可知，拋物线的开口向右，设拋物线方程为，因为经过点，所以，解得所以，抛物线的标准方程为:.【小问2详解】如图，设直线的方程为:，联立方程 消有：由于交于两点，设，则，即，，由.则.解得:，验证满足条件.所以直线的方程为，即证直线恒过定点.21.各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．（1）求数列的通项公式；（2）在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得，进而可得，再利用退一相减法可得；（2）利用等差数列等差中项的性质可得，再利用错位相减法可得前项和.【小问1详解】由， 得，所以，所以，当时，，所以，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；【小问2详解】由已知在和之间插入个数，这个数组成等差数列，所以，设数列的前项和为，则，，所以，所以.22.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）： 步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中点与点重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）直线与在第一象限内交于点，直线与交于两点（均异于点），则直线的斜率之和是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）（2）是定值，定值为0【解析】【分析】（1）由，故点的轨迹是以为焦点的椭圆，根据已知数据求出方程即可；（2）直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示直线的斜率之和，化简即可.【小问1详解】由题意可知，，故点的轨迹是以为焦点，且长轴长的椭圆，焦距，所以，所以曲线的方程为．【小问2详解】把代入曲线的方程，求得．设， 联立，消去得，则，得，，则，