江苏省扬州市新华中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

扬州市新华中学2023-2024学年度第一学期高一数学期中考试试卷一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据并集定义求解即可.【详解】因为，，所以.故选：D.2.对于命题p：，则命题p的否定为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：命题p：的否定为.故选：D3.函数，则（）A.B.1C.D.2【答案】A【解析】【分析】由解析式代入计算函数值即可.【详解】设，得，则. 故选：A.4.我们知道，任何一个正数可以用科学计数法表示成（为正整数），此时，当时，称的位数是.根据以上信息可知的位数是（）（）A.27B.28C.29D.30【答案】C【解析】【分析】通过求，根据已知估值计算即可求解．【详解】，则的位数是是．故选：C．5.若函数的图象如下图所示，函数的图象为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换，判断选项.【详解】函数的图象关于对称可得函数的图象， 再向右平移2个单位得函数，即的图象.故选：C.6.已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由一元一次不等式求得，且；由此化简二次不等式并求出解集.【详解】由关于x的不等式的解集是，得且，则关于x的不等式可化为，即，解得：或，所求不等式的解集为：.故选：A.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题.7.已知函数为R上的单调递增函数，，任意，都有，则不等式的解集为（）A.或B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】根据题意利用赋值法可得，将不等式化为，结合函数单调性运算求解.【详解】因为，则有： 令，可得；令，可得；且不等式可化为：，又因为函数为R上的单调递增函数，则，即，解得，所以不等式的解集为.故选：B.8.若正数，满足，则的最小值为（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用已知等式可得且；代入所求式子可得基本不等式形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由得：，即：，当且仅当，即时取等号本题正确选项：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够通过代入消元的方式，整理出符合基本不等式的形式.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断即可.【详解】对于A，因为，则，，所以，即，故A正确；对于B，由，假设，有，又，所以，故B错误；对于C，由，可知，，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以，故D正确.故选：ACD.10.已知，则下面选项中不成立的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】通过取特殊集合，依次分析各选项即可.【详解】对于A选项，由得，不妨设，则，故不满足，故A选项不成立；对于B选项，由得，显然，满足，故B选项正确；对于C选项，由得，由A选项知其不满足，故C选项不成立；对于D选项，由，不妨设，显然 ，故不满足，故D选项不成立，故选:ACD.【点睛】方法点睛：通过取特殊集合，依次分析各选项.11.定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（）A.B.为奇函数C.D.在区间上有最大值【答案】ABC【解析】【分析】利用赋值法对ABC进行逐项分析判断即可；对于D选项，结合题意及函数的特征，可设，即可判断.【详解】对于A，依题意，取，可得，解得，故A正确；对于B，由于函数的定义域为，在中，取，可得，所以，则函数为奇函数，故B正确；对于C，取，由可得：，则有，故C正确；对于D，由于函数为定义在上的奇函数，且，若，则在区间上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，故D错误.故选：ABC.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，的单调减区间为B.函数为上的单调函数，则C.若恒成立，则实数的取值范围是 D.对，不等式恒成立【答案】BCD【解析】【分析】对于选项A，借助一次函数和二次函数的单调性可写出函数的单调区间；对于选项B，根据函数解析式可判断函数为上的减函数，借助二次函数的单调性列出不等式求解即可；对于选项C，根据函数和图象之间的关系及恒成立的几何意义可列出不等式进行求解即可；对于选项D，作差即可比较大小.【详解】对于选项A，当时，.因为当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，所以当时，的单调减区间为和，故选项A错误；对于选项B，因为函数为减函数，函数的图象开口向下，对称轴为直线.所以要使函数为上的单调函数，须使函数在区间上单调递减，即满足，解得.故选项B正确对于选项C，因为函数的图象是由函数图象向右平移1个单位后得到的，恒成立表示的几何意义是函数的图象恒在函数图象的上方.当时函数为上减函数，符合题意；当时，函数在区间和上递减，在区间上递增.令得或，由图象平移可得，解得，故选项C正确；对于选项D，因为对， ，所以，即不等式恒成立，故选项D正确.故选：BCD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答.【详解】依题意，要使函数有意义，自变量的取值必须满足，解得：且，所以函数的定义域为：.故答案为：.14.已知，则“”是“”的__________条件（填充“充分不必要条件､必要不充分､充要条件､既不充分又不必要条件”）【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】因为或或，，所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分.15.已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用二次函数单调性，比较对称轴与区间的位置关系即可解得实数的取值范围是.【详解】由题意可知，二次函数的对称轴为，若上单调递增可知，解得；若在上单调递减可知，解得；所以实数的取值范围是.故答案为：16.有同学发现：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是.根据以上结论，则函数的对称中心是__________；若为正整数，则__________.【答案】①.②.【解析】【分析】设出函数的对称中心是，根据列出方程，即可求得对称中心是；根据对称中心可得，那么原式可化为，代入求解即可.【详解】设函数的对称中心是，则，因为，所以有，整理得：， 即，所以，则，故函数的对称中心是；因为的对称中心是，依题意有，则.故答案为：，.四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（1）已知，，试用表示；（2）已知（），求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用换底公式即可求解.（2）利用指数的运算即可求解.【详解】（1）由换底公式得．（2）由于，且，所以；又；所以．18.设全集，集合. （1）当命题:,为真命题时，实数的取值集合为，求；（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意，可知方程有解，由可求出集合，然后解分式不等式求出集合，再利用交集的运算求解即可；（2）由已知可确定真包含于，根据集合的包含关系，列出不等式求解即可.【小问1详解】依题意，方程有解，则恒成立，解得：，所以集合，又因为，所以，所以.【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以真包含于，由（1）知，则集合，又，则，解得：，所以实数的取值范围为：. 19.若正数满足．（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）25（2）【解析】【分析】（1）根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可；（2）根据等式，结合基本不等式即可得，解不等式即可得的取值范围．【小问1详解】当时，有，即所以当且仅当，即时取等号．则的最小值为；【小问2详解】当时，有，则因为所以，即，解得或（舍）当时，即时，等号成立所以．20.已知函数为奇函数.（1）求实数的值；（2）求证：在区间上是增函数；（3）若对任意的都有求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）. 【解析】【分析】（1）先由求出，再由定义验证为奇函数；（2）利用单调性的定义证明在区间上是增函数；（3）根据函数单调性得出，再解不等式，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）由为奇函数，定义域为，可得，即，解得，此时，对任意，，满足为奇函数（2）对任意，由，可得，，则则，则在区间上是增函数；（3）由在区间上是增函数可得对任意，则，解得或，实数取值范围是.21.随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路､地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，一般情况下，该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度与车流密度之间满足函数关系式：，（为常数）.（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据： ）【答案】21.22.隧道内车流量的最大值为辆/小时，此时车流密度为辆/千米.【解析】【分析】（1）先根据时，得到，从而得到满足要求，时，解不等式，得到答案；（2）分和两种情况，表达出车流量关于车流密度的关系式，由函数单调性和基本不等式求出最值，比较后得到答案.【小问1详解】当时，由题意得，当时，，即，解得，当时，车流速度为60千米/小时，满足要求，若，令，解得，综上，，车流密度的取值范围为；【小问2详解】当时，，单调递增，故当时，取得最大值，最大值为辆/小时；当时，，令，则，当且仅当，即时，等号成立，此时由于，故隧道内车流量的最大值为辆/小时，此时车流密度为辆/千米.22.已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由;（3）当时，对任意的，恒有成立，求的最大值.【答案】（1）的单调递增区间为；（2）见解析；（3）10.【解析】【分析】（1）根据题意，求出，然后结合二次函数的性质可求得答案；（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；（3）对任意的，恒有成立等价于“在上恒成立”，然后分，和三种情况求解即可.【小问1详解】当时，，当时，，所以在上递增，当时，，所以上递增，因为，所以的单调递增区间为；【小问2详解】当时，，因为，所以为偶函数，当时，因为，所以不是奇函数，因为，，且，所以，所以不是偶函数，综上，当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数； 【小问3详解】当，时，，所以，整理得，即在上恒成立，因为对勾函数在上单调递增，所以若，则在上单调递减，所以当时，取得最小值，则，所以，当时，，若时，则在上单调递增，所以当时，取得最小值，则，所以，当且仅当时，取得最大值10，综上，的最大值为10.【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的判断，考查二次函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为“在上恒成立”，然后结合对勾函数的性质分情况讨论，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题.