江苏省连云港高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023—2024学年第一学期期中考试高一数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定为（）A，B.，C.，D.，2.若集合，，则（）A.B.C.D.3.函数的最小值为（）A.10B.9C.8D.74.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数是（）A.B.C.D.5.已知，则（）A.B.0C.2D.46.设是定义在上的奇函数，则（）A.B.C.D.7.当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.定义域为函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.设全集，若，则（）A.B.C.D.10.若，，则下列各式中，恒等的是（）A.B.C.D.11.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集为C.不等式的解集为或D.12.已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，，给出以下结论，正确的是（）A.B.C.为R上的减函数D.为奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则函数__________.14.是__________条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）.15.设，，且，则的最小值是__________.16.若集合，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求：（1）求，；（2）求，.18.计算：（1），（2）.19.设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.20.已知a，b均为正实数.（1）证明：；（2）若的两条直角边分别为a，b，斜边，求周长的最大值.21.如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地，其长为36米，宽为24米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为米与米均不小于3米，要求“转角处（图中矩形）”的面积为12平方米.（1）试用表示草坪的面积，并指出的取值范围；（2）如何设计人行道的宽度，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积.22.已知定义在R上的奇函数过原点，且.（1）求实数的值;（2）判断在上的单调性并用定义证明; （3）画出在上的图像. 2023—2024学年第一学期期中考试高一数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，”是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即为，，故选：D2.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据并集的含义【详解】根据并集的定义得，故选：A.3.函数的最小值为（）A.10B.9C.8D.7【答案】B【解析】【分析】根据函数形式，结合基本不等式求解函数最小值即可. 【详解】函数中，，由基本不等式可得当且仅当时，即时取等号，所以函数的最小值为9.故选：B.4.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的定义及性质可以得出答案.【详解】首先定义域必须关于0对称，C错；不是奇函数，D错；在定义域内不是增函数，B错；故选：A.5.已知，则（）A.B.0C.2D.4【答案】C【解析】【分析】对数式化为指数式，再由指数的运算法则求解．【详解】由得，即，又且，所以，故选：C．6.设是定义在上的奇函数，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意有，从而可得，进一步可以算出，.【详解】由题意是定义在上奇函数， 则由奇函数的性质可得，解得，所以，从而.故选：C.7.当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分离参数，求出右边的范围即可得到答案.【详解】由题意得对恒成立，设，则在上单调递减，则，所以，故选：B.8.定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的对称性和单调性比较大小即可求解.【详解】因为定义域为的函数满足，所以函数的图象关于对称，所以，又因为当时，，所以函数在单调递增，则在单调递减，因为， 所以，所以，即，故选:C,二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设为全集，若，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据包含关系结合集合间的运算求解.【详解】因为，等价于，等价于和，故A错误，BCD正确；故选：BCD.10.若，，则下列各式中，恒等的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据对数运算法则和性质即可判断.【详解】对于A：，故选项A不正确；对于B，根据对数的运算法则得，故B正确；对于C：，故选项B不正确；对于D：，故选项D正确；故选：BD. 11.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集为C.不等式的解集为或D.【答案】AC【解析】【分析】根据不等式的解集为或，可得，且和是的两个根，进而可判断选项.【详解】由题意可知且和是的两个根，故，，得，，A选项：由可判断A正确；B选项：由得得，故B错误；C选项：由得，得，得或，故C正确；D选项：，故D错误，故选：AC12.已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，，给出以下结论，正确的是（）A.B.C.为R上的减函数D.为奇函数 【答案】ABD【解析】【分析】利用抽象函数的关系式，令判断A的正误；令，，判断B的正误；当时，，再令，结合单调性的定义判断C的正误；令判断D的正误.【详解】因为，则令，可得，即，解得，故A正确；令，，可得，即，解得，再令，可得，即，故B正确；因，所以，令，不妨设，可得，即，因为，则，则，可得，即，所以为R上的增函数，故C错误；令，可得，即，整理得， 所以奇函数，故D正确.故选：ABD．【点睛】关键点点睛：利用抽象函数的定义通过赋值法，并结合函数单调性、奇偶性的定义才是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则函数__________.【答案】0【解析】【分析】直接赋值代入即可.【详解】令得，故答案为：0.14.是的__________条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）.【答案】充分条件【解析】【分析】解出绝对值不等式，再根据充分条件的判定即可.【详解】，解得或，则是的充分条件，故答案为：充分条件.15.设，，且，则的最小值是__________.【答案】9【解析】【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.【详解】因为，，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是9.故答案为：9. 16.若集合，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意可知：对任意的恒成立，分和两种情况，结合二次函数以及判别式分析求解.【详解】由题意可知：对任意的恒成立，若，则，符合题意；若，则，解得；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求：（1）求，；（2）求，.【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根据根式的定义求的定义域，根据二次函数求的值域；（2）根据集合间运算求解.【小问1详解】对于函数，则，解得，所以，对于，当且仅当时，等号成立，所以. 【小问2详解】由（1）可得：，，所以.18.计算：（1），（2）.【答案】（1）11（2）2【解析】【分析】（1）根据指数幂和对数的运算法则计算即可；（2）根据对数的运算法则计算．【小问1详解】原式.【小问2详解】原式.19.设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，解不等式组可得答案；（2）“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可【小问1详解】由题意得到A＝[1，5]， 由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，则，解得，故实数a的取值范围是.【小问2详解】由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，当时，2-a＞1+2a，即a＜时，满足题意，当时，即a≥时，则，解得≤a≤1.综上a≤1，故实数a的取值范围是.20.已知a，b均为正实数.（1）证明：；（2）若的两条直角边分别为a，b，斜边，求周长的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质即可得证；（2）利用（1）中的结论和三角形性质即可得出结果.【小问1详解】因为，则，当且仅当时取“”.又为正实数，所以【小问2详解】 由题意，得.由（1）的结论，，当时取“”.所以直角周长的最大值为.21.如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地，其长为36米，宽为24米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为米与米均不小于3米，要求“转角处（图中矩形）”的面积为12平方米.（1）试用表示草坪的面积，并指出的取值范围；（2）如何设计人行道的宽度，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积.【答案】（1）（2）当人行道的宽度才能使草坪的面积最大，且草坪的最大面积为.【解析】【分析】（1）根据题意列出表达式即可；（2）利用基本不等式求解即可.【小问1详解】由条件知，因为，所以，所以，所以，所以. 【小问2详解】由（1），当且仅当时取等号，即时，的最大值为600.所以当人行道的宽度才能使草坪的面积最大，且草坪的最大面积为.22.已知定义在R上的奇函数过原点，且.（1）求实数的值;（2）判断在上的单调性并用定义证明;（3）画出在上的图像.【答案】（1）（2）函数在上是增函数，证明见解析（3）图像见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由可求得，再将点的坐标代入即可求得；（2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可；（3）根据题意，直接绘制函数图像.【小问1详解】 定义在上的奇函数，则，即，解得，又，即，解得，，经检验符合题意.【小问2详解】函数在上是增函数，证明如下：任取且，则，因为，则，，故，即，因此函数在上是增函数.【小问3详解】