江苏省滨海县东元高级中学，盐城大丰区新丰中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年度第一学期期中考试高一年级数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】根据并集运算求解.【分析】由题意可得：.故选：B.2.不等式：成立的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先解出一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】由，解得，因为真包含于所以不等式成立的一个必要不充分条件是.故选：A3.函数，则（）A.B.1C.D.2【答案】A【解析】【分析】由解析式代入计算函数值即可.【详解】设，得，则. 故选：A.4.设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合初等函数的性质，以及函数奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数，此时为非奇非偶函数函数，不符合题意；对于B中，函数，此时为非奇非偶函数函数，不符合题意；对于C中，函数，此时为非奇非偶函数函数，不符合题意；对于D中，设，可得定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，符合题意.故选：D.5.设，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】指数式改为对数式，然后由对数的运算法则求解．【详解】，则， 所以，故选：D．6.据市场分析某个车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行（）年时，其产出的年平均利润最大．A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】【详解】先求得关于的表达式，然后利用基本不等式求得取得最大值时对应的的值.【分析】，设，将代入上式得，所以，则，当且仅当时等号成立.故选：C7.若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【详解】由题意可知：对一切实数恒成立，分和两种情况，结合二次方程分析求解.【分析】由题意可知：对一切实数恒成立，若，则，符合题意；若，则，解得；综上所述：实数k的取值范围是.故选：C.8.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【分析】依题意，在上单调递减，所以，解得.故选：A二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知关于x不等式的解集为，则（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集为【答案】ABD【解析】 【分析】A选项：一元二次不等式的解集的形式可以确定，B选项：用韦达定理求出的关系，进而求出的解集；CD选项：用与，与的关系确定的符号，以及求出不等式的解集.【详解】因为的解集为，则的两个根为与2，且，故A正确；由韦达定理得：，所以.不等式化简为：，且，解得：，所以不等式的解集是，故B正确；因为，则，故C错误；不等式即为，且，可得：，解得：或，所以不等式的解集为，故D正确；故选：ABD.10.下列说法正确的是（）A.命题：，的否定是：，.B.命题：，的否定是：，.C.是的充分不必要条件.D.是关于x的方程有一正一负根的充要条件.【答案】ABD【解析】【分析】由含量命题的否定写出A、B中命题的否定判断；当，假设即可判断C；根据方程根的分布，结合对应函数的性质列不等式求m的范围，结合充分、必要性定义判断D. 【详解】A：全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为，，对；B：特称命题的否定为全称命题，原命题的否定为，，对；C：若，假设，此时不成立，故充分性不成立，错；D：要使的根有一正一负，令，由于开口向上且对称轴为，故只需，反之也成立，所以是关于x方程有一正一负根的充要条件，D对.故选：ABD11.下面四个命题中，真命题是（）A.若且，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AD【解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法、基本不等式、特殊值等知识确定正确答案.【详解】A选项，若且，则，则，所以，所以A选项正确.B选项，若，如，所以，所以B选项错误.C选项，，则，其中，但的范围无法确定，所以的大小关系不确定，所以C选项错误.D选项，， ，当且仅当时等号成立，所以D选项正确.故选：AD12.定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.为奇函数C.在区间上有最大值D.的解集为【答案】ABD【解析】【分析】A.由，利用赋值法求解判断；B.由，令，由奇偶性的定义判断；C.判断函数的单调性求解；D.利用函数的奇偶性和单调性求解判断.【详解】解：因函数满足，所以，即，则；令，则，故为奇函数，设，且，则，即，所以在R上是减函数，所以在区间上有最大值，由，得，由在R上是减函数，得，即，解得，所以的解集为， 故选：ABD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，第16小题第一空2分，第二空3分，共20分．）13.函数的定义域是__．【答案】【解析】【分析】根据分母不等于零及开偶数次方根号里的数大于等于零求解即可.【详解】由，得，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：.14._______.【答案】7【解析】【分析】利用指数和根式的运算求解.【详解】解：，，故答案为：715.若函数是偶函数，则的递减区间是_______.【答案】（0处可以取）【解析】【详解】根据偶函数的定义求得，进而结合二次函数分析单调区间.【分析】因为函数是偶函数，则， 即，且，且不恒为0，可得，即，则，可知其开口向下，对称轴为y轴，所以的递减区间是.故答案为：.16.考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的含量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的含量），则经过5730年后碳14的含量变为原来的______；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的含量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间（参考数据：，）【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】将代入函数，可得答案，令，则，根据对数运算，可得答案.【详解】当时，，所以经过5730年后，碳14的含量变为原来的．令，则，所以，所以，所以良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间．故答案为：；四、解答题：（本题共6小题，共70分．第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）计算：；（2）已知，求的值．【答案】（1）10；（2）18【解析】【分析】（1）根据对数和指数运算求得正确答案. （2）利用平方的方法求得正确答案.【详解】（1）原式.（2）∵，∴，∴.18.已知集合，（1）若，求的范围；（2）若“”的充分不必要条件是“”，求的范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，根据列不等式来求得的范围.（2）对是否为空集进行分类讨论，结合充分不必要条件列不等式来求得的范围.小问1详解】由题意，若，则，∴，解得；【小问2详解】若是的充分不必要条件，则，若即时，，若，则，无解．综上m的取值范围是．19.已知定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数在上的解析式；（2）在坐标系中作出函数的图象；（3）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）作图见解析（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和性质求解析式；（2）根据解析式结合二次函数作图；（3）根据图象结合函数单调性列式求解.【小问1详解】因为函数定义在上的奇函数，所以且，当时，，则，可得，，所以函数在上的解析式为.【小问2详解】根据函数的解析式，作出函数的图象， 【小问3详解】函数在区间上是单调函数，根据图象可知，或或，解得：或或，所以t的取值范围是.20.厦门市杏南中学一年一度的校运动会将在十月份举行.学校各单门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个单位使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形）为，根据设计要求，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.（1）若，，且该海报的面积不超过，求的取值范围；（2）若，，则当长多少时，才能使纸的用量最少？【答案】（1）（2）20cm【解析】【分析】（1）根据题意得到不等式，求出的取值范围；（2）设宣传单的面积为，，表达出，利用基本不等式求出面积最小值和的大小.【小问1详解】依题意可得， 即，解得，又∵，∴，故的取值范围为.【小问2详解】记宣传单的面积为，设，则，∴，当且仅当，即，等号成立，∴当长为时，宣传单面积最小，最小值为.21.（1）已知，求值.（2）已知，，用，表示．【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）由条件可得，，然后代入计算，即可得到结果；（2）由条件可得，再结合对数的运算，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由得，，∴（2）因为，所以，即．22.已知函数是定义域为上的奇函数，且. （1）求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数；（2）若对，都有，求实数的范围.【答案】（1），证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）利用求得，根据函数单调性的定义证得函数在上是增函数.（2）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，结合不等式恒成立列不等式来求得的取值范围.【小问1详解】根据题意，函数是定义域在上的奇函数，则，即有，解可得，则，则，则此时为奇函数，设，则，又，，则，，则，，故在上是增函数.【小问2详解】根据题意，是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则有对，恒成立， 则有，则，即的取值范围为．【点睛】根据函数的奇偶性求参数，如果函数是定义在上的奇函数，则有，用这个来求参数时，要注意验证是否符合奇函数的定义.利用函数单调性的定义来证明函数的单调性，主要是判断的符号.