突破新高考数学精选压轴题 第21讲 向量的转换与计算（原卷版）

第21讲向量的转换与计算一．选择题（共1小题）1．是抛物线的焦点，过作两条斜率都存在且互相垂直的直线，，交抛物线于点，，交抛物线于点，，则的最小值是　　A．8B．C．16D．二．解答题（共14小题）2．已知抛物线的准线为，焦点为，的同心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且．（Ⅰ）求和抛物线的方程；（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的相交线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、，求的最小值．3．已知抛物线过点．（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与抛物线相交于点，，与抛物线相交于点，，求的最小值．4．已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为2，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线、，设与抛物线相交于点、，与抛物线相交于点、．（1）求抛物线的方程； （2）求的最小值．5．如图，已知直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，交于点，，抛物线的焦点为．（1）求的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与曲线相交于点，，与曲线相交于点，，求的最小值．6．已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值．7．已知椭圆的方程为，为左焦点，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与椭圆相交于点，．与椭圆相交于点．，求的最小值．8．设定点，动圆过点且与直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与轨迹相交于点，，与轨迹相交于点，，求的最小值．9．已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点．（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线、，交抛物线于点、， 交抛物线于点、，求的最小值．10．已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是过原点的直线，是与垂直相交于点，与椭圆相交于，两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．11．如图，已知点和圆，是圆的直径，从左到右、和依次是的四等分点，（异于，是圆上的动点，，交于，，直线与交于，为定值．（1）求点的轨迹曲线的方程及的值；（2）设是过原点的直线，直线与垂直相交于点，与轨迹相交于，两点，且．是否存在直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．12．椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设是过原点的直线，直线与垂直相交于点且与椭圆相交于、两点， ，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．13．如图，已知点和圆，是圆的直径，从左到右和依次是的四等分点，（异于、是圆上的动点，，交于，，直线与交于，为定值．（1）求的值及点的轨迹曲线的方程；（2）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与轨迹相交于，两点的直线，，是否存在上述直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．14．已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是过原点的直线，是与垂直相交于点、与椭圆相交于，两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；（Ⅱ）求的最大值．