统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷五仿真模拟专练一文（附解析）

仿真模拟专练(一)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0)}，B＝{x|y＝log2(3－x)}，则A∪B＝(　　)A．(－∞，3]B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．R2．已知命题p：∃x0>0，lnx0<0，命题q：∀x∈R，ex>1，则下列命题为真命题的是(　　)A．¬p∨qB．p∧qC．p∧¬qD．¬(p∨q)3．在复平面内，复数z＝(其中i为虚数单位)对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.如图为陕西博物馆收藏的国宝—唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，是唐代金银细工的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，则双曲线C的渐近线方程是(　　)A．y＝±xB．y＝±3xC．y＝±xD．y＝±x5．旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中所发生的一切关系和现象的总和．随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2023年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．估计2023年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5%B．估计2023年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人人数的一半C．估计2023年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助游的青年人多D．估计2023年到该地旅游的游客选择自助游的比率为8.75%6．已知a＝，b＝log32，c＝log43，则有(　　)A．a<b<cB．a<c<bC．b<c<aD．c<b<a7．等差数列{an}中，a1，a3，a4为等比数列，则公比为(　　)A．1或B．C．－D．18．若△ABC满足a2＝b2＋c2－bc，且sinB＝2sinC，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或直角三角形9．已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则“α∥β”是“m⊥n”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)A．内含B．相交C．外切D．外离11．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|≤)图象相邻两条对称轴间的距离为π，且对任意实数x，都有f(x)≤f().将函数y＝f(x)图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则关于函数y＝f(x)＋g(x)描述不正确的是(　　)A．最小正周期是2πB．最大值是＋ C．函数在[0，]上单调递增D．图象关于直线x＝对称12．已知点P为抛物线y2＝4x上一动点，A(1，0)，B(3，0)，则∠APB的最大值为(　　)A．B．C．D．[答题区]题号123456789101112答案二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若平面向量a，b满足|a|＝5，|b|＝3，|a－b|＝6，则a·b＝________．14．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处的切线的倾斜角为________．15．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2＋x＋sinx，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－4，4]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．16．当x∈[0，]时，不等式m<sinx(cosx－sinx)＋<m＋2恒成立，则实数m的取值范围为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2(n∈N*，n≥2)(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝(n∈N*)，Sn是数列{bn}的前n项和，求Sn. 18．(12分)某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4∶1.现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如下表(单位：件)，且每件产品都有各自生产线的标记．产品件数一等品二等品总计甲生产线2乙生产线7总计50(1)请将2×2列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2＝.(2)从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率． 19．(12分)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC的边长为2，且满足A1B⊥B1C.(1)证明：B1C⊥C1A；(2)求三棱锥B1A1BC的体积V. 20．(12分)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.21．(12分)已知函数f(x)＝x3，x>0，g(x)＝ax＋b，其中a，b∈R.(1)若a＋b＝0，且f(x)的图象与g(x)的图象相切，求a的值；(2)若f(x)≥g(x)对任意的x>0恒成立，求a＋b的最大值． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4—4：坐标系与参数方程]已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(α为参数)，以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；(2)射线θ＝与曲线C1和曲线C2分别交于A，B，已知点P(4，0)，求△PAB的面积．23．(10分)[选修4—5：不等式选讲]已知a>0，b>0，c>0.(1)若a＋b＝1，求证：(ax＋by)2≤ax2＋by2；(2)若a＋2b＋3c＝1，求证：a(b＋1)(c＋1)≤. 仿真模拟专练（一）1．A　由x2－2x－3≤0，得－1≤x≤3，又因为x∈N，故A＝{0，1，2，3}，由y＝log2（3－x）的定义域知，3－x＞0，即x＜3，故B＝{x|x＜3}，所以A∪B＝{x|x≤3}．故选A.2．C　当0<x0<1时，lnx0<0，故命题p：∃x0>0，lnx0<0为真命题，当x≤0时，ex≤1，故命题q：∀x∈R，ex>1为假命题，所以¬p为假命题，¬q为真命题，所以¬p∨q为假命题，p∧q为假命题，p∧¬q为真命题，¬（p∨q）为假命题，所以选项C正确，故选C.3．A　因为z＝＝＝＝1＋2i，所以复数z对应的点的坐标为（1，2），位于第一象限．故选A.4．D　由双曲线方程知a＝，b＝3，所以渐近线方程为y＝±x＝±x，故选D.5．A　青年人占总游客人数比例为1－20%－35%＝45%，则2023年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的比例为45%×30%＝13.5%，故A正确；选择自助游中年人比例为25%×35%＝8.75%，8.75%×2>13.5%，故B错误；选择自助游老年人比例为20%×20%＝0.04＝4%，即选择自助游的老年人和中年人的人数之和比为4%＋8.75%＝12.75%<13.75%，故C错误；2023年到该地旅游的游客选择自助游的比率为4%＋8.75%＋13.5%＝26.25%，故D错误．故选A.6．A　因为b＝log32＝log3＝log3，log3<log3，log3<log3，所以<b<，即a<b.因为c＝log43＝log23，log23>log22＝，所以c>，即b<c.所以a<b<c.故选A.7．A　设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4为等比数列，所以a1≠0，（a1＋2d）2＝a1（a1＋3d），解得d＝0或a1＝－4d，当d＝0时，等差数列{an}为常数列，所以a1＝a3＝a4，所以公比为1； 当a1＝－4d时，a3＝a1＋2d＝－2d，所以公比为＝＝.故选A.8．B　由正弦定理，以及sinB＝2sinC，可得b＝2c，代入a2＝b2＋c2－bc，可得a2＝（2c）2＋c2－2c×c＝3c2，∴a＝c，b＝2c，∴b2＝a2＋c2，∴∠B＝90°，故△ABC为直角三角形．故选B.9.A　直线m⊥平面α，若α∥β，则m⊥β，n⊂β，所以m⊥n，充分性满足，反之，如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是平面α，CD是直线n，平面CDD1C1是平面β，CC1是直线m，但平面α与平面β不平行，必要性不满足，因此是充分不必要条件．故选A.10．B　圆M：x2＋（y－a）2＝a2（a>0），圆心到直线x＋y＝0的距离为，因此有（）2＋（×2）2＝a2，解得a＝2，a＝－2（舍去），因为2－1<<2＋1，所以两个圆相交，故选B.11．C　由条件知，函数f（x）的最小正周期T＝2π＝，解得ω＝1.因为f（x）max＝f（）＝2sin（＋φ）＝2，即sin（＋φ）＝1，则φ＝2kπ＋，k∈Z.因为|φ|≤，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（x＋），g（x）＝f（x＋）＝2sin（x＋），则f（x）＋g（x）＝2sin（x＋）＋2sin（x＋）＝（＋1）（sinx＋cosx）＝（＋）·sin（x＋）.根据正弦函数的图象和性质易知，函数y＝（＋）sin（x＋）的最小正周期T＝ 2π，函数最大值是＋，函数在[0，]上单调递增，在[，]上单调递减，图象关于x＝对称，所以选项ABD正确，C错误，故选C.12．B　根据抛物线的对称性，不妨设P（x，y）（y>0），若x＝1，则P（1，2），|PA|＝2，|AB|＝2，所以tan∠APB＝＝1⇒∠APB＝；若x＝3，则P（3，2），|PB|＝2，|AB|＝2，所以tan∠APB＝＝⇒∠APB＝；若x≠1且x≠3，此时y≠2且y≠2，kPA＝，kPB＝，所以tan∠APB＝＝，因为y2＝4x，所以tan∠APB＝＝＝≤＝1，则0<∠APB≤，当且仅当y3＝⇒y＝2时取“＝”，而y≠2，所以0<∠APB<.综上：∠APB的最大值为.故选B.13．答案：－1解析：由|a－b|＝6得a2＋b2－2a·b＝36，所以25＋9－2a·b＝36，∴a·b＝－1.14．答案：45°解析：∵y′＝x2，∴当x＝－1时，y′＝1，∴曲线y＝x3－2在点（－1，－）处的切线的斜率为1，倾斜角为45°.15．答案：－4解析：∵f（x－2）＝－f（x），∴f（x－4）＝－f（x－2）＝f（x），即函数的周期是4，且f（x－2）＝－f（x）＝f（－x），则函数的对称轴为：x＝－1，f（x）是奇函数， 所以x＝1也是对称轴，x∈[0，1]时，f（x）＝x2＋x＋sinx，函数是增函数，作出函数f（x）的简图如图，若方程f（x）＝m（m>0）在区间[－4，4]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则四个根分别关于x＝－3和x＝1对称，不妨设x1<x2<x3<x4，则x1＋x2＝－6，x3＋x4＝2，则x1＋x2＋x3＋x4＝－6＋2＝－4.16．答案：（－1，－）解析：设f（x）＝sinx（cosx－sinx）＋，则f（x）＝sinx·cosx－sin2x＋＝sin2x－×＋＝sin2x＋cos2x＝sin（2x＋）.∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，π]，∴sin（2x＋）∈[－，1].由题意知m<f（x）<m＋2在x∈[0，]上恒成立，即∴∴实数m的取值范围为（－1，－）.17．解析：（1）由题意知，a1＝1，an＝an－1＋2（n≥2），所以d＝an－an－1＝2，故an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，对n＝1也成立．综上所述，数列{an}的通项公式为an＝2n－1；（2）由（1）得，bn＝＝＝（－）， 所以Sn＝（－＋－＋…＋－）＝（1－）＝，即数列{bn}的前n项和Sn＝.18．解析：（1）依题意可得2×2列联表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线38240乙生产线7310总计45550所以K2＝≈5.556，因为5.024<5.556<6.635，所以有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关．（2）依题意，记甲生产线的2个二等品为A，B，乙生产线的3个二等品为a，b，c；则从中随机抽取2件，所有可能结果有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc共10个，至少有1件为甲生产线产品的有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc共7个，所以至少有1件为甲生产线产品的概率P＝.19.解析：（1）如图，连接A1C，交AC1于点N，则点N是A1C的中点．取BC的中点M，连接AM，MN，则MN∥A1B.又A1B⊥B1C，所以B1C⊥MN.又△ABC是正三角形，所以AM⊥BC.又平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AM⊂平面ABC，所以AM⊥平面BCC1B1.又B1C⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AM.又AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，AM∩MN＝M，所以B1C⊥平面AMN.又C1A⊂平面AMN，所以B1C⊥C1A.（2）由（1）知B1C⊥平面AMN，而C1M⊂平面AMN，所以B1C⊥C1M.由△C1CM与△CBB1相似，＝，即＝，BB1＝CC1＝. 根据AA1∥BB1，VB1A1BC＝VA1B1BC＝VAB1BC＝VB1ABC，于是VB1A1BC＝VB1ABC＝S△ABC·BB1＝×（×2×2×）×＝.20．解析：（1）令x＝c，得＋＝1，则y2＝b2（1－）＝b2·＝，所以M（c，），∴＝，即2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2（舍去）.故C的离心率为.（2）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.　①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N（x1，y1），由题意知y1<0，则即代入C的方程，得＋＝1.　②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.21．解析：（1）因为f（x）的图象与g（x）的图象相切，设切点为（x0，y0），又f′（x）＝3x2，所以，解得x0＝，a＝.（2）因为f（x）≥g（x）等价于x3－ax－b≥0，令φ（x）＝x3－ax－b，φ′（x）＝3x2－a.当a≤0时，φ′（x）＝3x2－a>0对于任意正实数x恒成立，φ（x）单调递增，故由φ（0）＝－b≥0得b≤0，此时a＋b≤0.当a>0时，由φ′（x）＝0，得x＝，又当0<x<时，φ′（x）<0，函数单调递减； 当x>时，φ′（x）>0，函数单调递增．所以当x＝时，φ（x）有最小值φ（）＝－a－b＝－a－b，所以－a－b≥0，即b≤－a，所以a＋b≤a－a，令h（a）＝a－a（a>0），则h′（a）＝1－a，h′（3）＝0，当0<a<3时，h′（a）>0，h（a）为增函数，当a>3时，h′（a）<0，h（a）为减函数，所以h（a）max＝h（3）＝1，故a＋b≤1，所以a＋b的最大值为1，此时a＝3，b＝－2.综上所述，a＋b的最大值为1.22．解析：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），由于x2＝（）2，　①y2＝（）2，　②①－②得：x2－y2＝1.根据，整理得ρ2＝.曲线C2的参数方程为（α为参数），转换成普通方程为x2＋y2＝4x.转换成极坐标方程为ρ＝4cosθ.（2）射线θ＝与曲线C1和曲线C2分别交于A，B，所以ρA＝＝，ρB＝4cos＝2，所以|AB|＝|ρA－ρB|＝2－，又P（4，0），θ＝，∴P到AB的距离h＝2，则△PAB的面积为2－.23．证明：（1）∵a>0，b>0，∴设m＝（x，y），n＝（，），则|m·n|＝|x·＋y·|＝|ax＋by|.而|m|·|n|＝·＝ ∵a＋b＝1，∴|m|·|n|＝.∵|m·n|≤|m|·|n|，当m与n共线时等号成立∴|ax＋by|≤，两边平方，（ax＋by）2≤ax2＋by2.（2）6a（b＋1）（c＋1）＝a（2b＋2）（3c＋3）其中a＋（2b＋2）＋（3c＋3）≥3，等号成立的条件是a＝2b＋2＝3c＋3，此时a＝2，b＝0，c＝－，即a＋2b＋3c＋5≥3.∵a＋2b＋3c＝1，∴6≥3，∴两边三次方得：a（b＋1）（c＋1）≤.