适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练13圆锥曲线的方程与性质理（附解析）

考点突破练13　圆锥曲线的方程与性质一、选择题1.(2023北京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,且点P的横坐标为4,则|PF|=(　　)A.2B.3C.4D.52.(2023四川达州二模)设F1,F2是双曲线C:x24-y23=1的左、右焦点,过点F2的直线与C的右支交于P,Q两点,则|F1P|+|F1Q|-|PQ|=(　　)A.5B.6C.8D.123.(2023新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a=(　　)A.233B.2C.3D.64.(2022全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　)A.2B.22C.3D.325.(2023山东青岛一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=3x与C的左、右两支分别交于A,B两点,若四边形AF1BF2为矩形,则C的离心率为(　　)A.3+12B.3C.3+1D.5+16.(2023河南洛阳三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上的点,线段AF的垂直平分线经过点B(0,5p2),则|AF|=(　　)A.23pB.3pC.25pD.2p7.已知点F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,M为C的左支上一点,|MF1|=|F1F2|=2c,若圆F1:(x+c)2+y2=c2与直线MF2相切,则C的离心率为(　　)A.3+12B.3+1C.5D.5+128.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2AD,AB>CD,若双曲线E以A,B为焦点,且过C,D两点,则双曲线E的离心率的取值范围为(　　)A.1,5+12B.5+12,+∞C.1,3+12D.3+12,+∞9.(2023内蒙古赤峰二模)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点P,若PF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(　　)A.2-1B.2C.2±1D.2+110.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线l与椭圆C相交于M,N两点(点M在第一象限).若|MN|=|F1F2|,|NF1||MF1|≥33,则椭圆C的离心率e的最大值为(　　)A.6-12B.6-1C.3-12D.3-111.(2023四川广安二模)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线y2=4x交于点A,B,以线段AB为直径的圆经过定点D(2,0),则|AB|=(　　)A.4B.6C.8D.1012.已知F2,F1是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为(　　)A.3B.3C.2D.213.(2023广西南宁二模)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(-3,0),F2(3,0),离心率分别为e1,e2,点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点,且∠F1PF2=π3,若e2=3,则椭圆C1的方程为(　　)A.x29+y26=1B.x26+y23=1 C.x212+y29=1D.x24+y2=114.(2023湘豫名校联考二)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,直线l:9x-10y-57=0与椭圆C相交于P,Q两点,线段PQ的中点为B,直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F,且AB=3FB,则椭圆C的离心率为(　　)A.1010B.55C.55或255D.1010或31010二、填空题15.(2022全国甲,文15)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值　　　　　. 16.(2023全国乙,理13)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　　　　　. 17.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线C的方程为　　　　　　　　　　. 18.(2023陕西安康二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上有不同的三点A,B,P,且A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且kPA·kPB∈(14,1),则离心率e的取值范围是　　　　　. 19.(2023山东滨州一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过点F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,△ADE的周长是13,则|DE|=　　　　　. 20.已知F1,F2分别为双曲线:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作圆x2+y2=a2的切线交双曲线左支于点M,且∠F1MF2=60°,则该双曲线的渐近线方程为　　　　　　　　　　.  考点突破练13　圆锥曲线的方程与性质1.D　解析抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,由抛物线的定义,得|PF|=4+1=5.故选D.2.C　解析由题意得a=2,∴|F1P|-|PF2|=2a=4,|F1Q|-|QF2|=2a=4,∴|F1P|+|F1Q|-|PQ|=|F1P|+|F1Q|-(|PF2|+|QF2|)=|F1P|-|PF2|+|F1Q|-|QF2|=8.故选C.3.A　解析由题意,在C1:x2a2+y2=1中,a>1,b=1,c=a2-b2=a2-1,∴e1=ca=a2-1a.在C2:x24+y2=1中,a=2,b=1,c=a2-b2=3,∴e2=ca=32.∵e2=3e1,∴32=3×a2-1a,解得a=233.故选A.4.B　解析设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,即xA=1,所以yA2=4.所以|AB|=(xA-3)2+yA2=22.5.C　解析设点A(x1,y1),B(x2,y2),而F1(-c,0),F2(c,0),显然直线y=3x与F1F2交于原点O,由双曲线对称性知,若四边形AF1BF2是矩形,则|AB|=|F1F2|,由y=3x,x2a2-y2b2=1,消去y,整理得(b2-3a2)x2=a2b2,解得x1=-abb2-3a2,x2=abb2-3a2.则|AB|=1+3|x1-x2|=4abb2-3a2,则4abb2-3a2=2c,化简得b4-6a2b2-3a4=0,即b2a22-6·b2a2-3=0,又b2a2>0,解得b2a2=3+23.则e=ca=c2a2=1+b2a2=4+23=3+1.故选C.6.D　解析抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,p2),设A(x1,y1),线段AF的垂直平分线经过点B(0,5p2),所以|BF|=|BA|,即52p-p2=x12+(y1-5p2) 2,所以4p2=x12+(y1-5p2)2,因为x12=2py1,则4y12-12py1+9p2=0,(2y1-3p)2=0,解得y1=3p2,根据抛物线定义可得|AF|=y1+p2=2p.故选D.7.A　解析作F1D⊥MF2,垂足为D,因为圆F1:(x+c)2+y2=c2与直线MF2相切,所以|DF1|=c.因为|F1F2|=2c,所以|DF2|=3c,又|MF1|=|F1F2|,所以|MF2|=23c,由双曲线的定义得|MF2|-|MF1|=2a,即23c-2c=2a,所以e=ca=13-1=3+12,故选A.8.B　解析如图,设|AB|=2c(c>0),∠BAD=θ,θ∈(0,π2),则|AD|=c,在△ABD中,由余弦定理知,|BD|2=|AB|2+|AD|2-2|AB|·|AD|cos∠BAD=5c2-4c2cosθ,∴|BD|=5c2-4c2cosθ,由双曲线的定义知|BD|-|AD|=2a,∴2a=5c2-4c2cosθ-c,∴离心率e=ca=2c2a=2c5c2-4c2cosθ-c=25-4cosθ-1,又θ∈0,π2,∴cosθ∈(0,1),∴5-4cosθ-1∈(0,5-1),∴e∈5+12,+∞.故选B.9.D　解析设P(x0,y0),因为PF2垂直于x轴,∠PF1F2=45°,所以|F1F2|=|PF2|,x0=c,则c2a2-y02b2=1,解得y0=b2a,故|PF2|=b2a,所以b2a=2c,结合b2=c2-a2,可得c2-2ac-a2=0,所以e2-2e-1=0,解得e=1±2,1-2舍去,故离心率为2+1.故选D. 10.D　解析依题意作图:由于|MN|=|F1F2|,并且线段MN,F1F2互相平分,∴四边形MF1NF2是矩形,其中∠F1MF2=π2,|NF1|=|MF2|.设|MF2|=x,则|MF1|=2a-x,根据勾股定理得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即x2+(2a-x)2=4c2,整理得x2-2ax+2b2=0,由于点M在第一象限,则x<a,即x=a-a2-2b2,由题意|NF1||MF1|=|MF2||MF1|≥33,则∠MF1F2≥π6,则|MF2|≥12|F1F2|,a-a2-2b2≥c,整理得2a2-2ac-c2≥0,e2+2e-2≤0,解得0<e≤3-1,即e的最大值为3-1.11.C　解析记m=1k>0,则直线l的方程可表示为x=my-2,设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立x=my-2,y2=4x,消去x,整理得y2-4my+8=0,Δ=16m2-32>0,可得m2>2,则y1+y2=4m,y1y2=8.DA=(x1-2,y1)=(my1-4,y1),DB=(x2-2,y2)=(my2-4,y2),由已知可得DA⊥DB,则DA·DB=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=8(m2+1)-16m2+16=24-8m2=0,可得m2=3,所以|AB|=1+m2·(y1+y2)2-4y1y2=1+m2·16m2-32=1+3·16×3-32=8.故选C.12.C　解析由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为y=abx,则点F2到渐近线的距离为bca2+b2=b.设点F2关于渐近线的对称点为点M,F2M与渐近线交于点A,∴|MF2|=2b,A为F2M的中点.又O是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角.∴△MF1F2为直角三角形.∴由勾股定理得4c2=c2+4b2.∴3c2=4(c2-a2),∴c2=4a2.∴c=2a,∴e=2.故选C.13.A　解析设椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0).如图,因为椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点,∴c1=c2=3,∵e2=3,∴a2=c2e2=1,b2=c22-a22=2,∴双曲线C2的方程为x2-y22=1. 由余弦定理|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,得12=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|,又∵|PF1|-|PF2|=2a2=2,得|PF2|=2,|PF1|=4.根据椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a1=6,∴a1=3,b1=a12-c12=6,∴椭圆C1的方程为x29+y26=1.故选A.14.D　解析(方法一)设F(c,0),A(0,b),P(x1,y1),Q(x2,y2),B(x0,y0).因为AB=3FB,所以AF=2FB,即(c,-b)=2(x0-c,y0).所以x0=3c2,y0=-b2,即B(3c2,-b2).因为点B为线段PQ的中点,所以x1+x2=3c,y1+y2=-b.又P,Q为椭圆上的点,所以x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,所以直线l的斜率kPQ=y1-y2x1-x2=-b2a2·x1+x2y1+y2=-b2a2·3c-b=910,化简得3a2=10bc,又因为a2=b2+c2,所以3b2-10bc+3c2=0,即(b-3c)(3b-c)=0.所以bc=3或bc=13,当bc=3时,离心率e=ca=c2b2+c2=1(bc) 2+1=1010,当bc=13时,e=1(bc) 2+1=31010.故选D.(方法二)如图,连接OB,过点F作FE∥BO交y轴于点E,设直线PQ的斜率是kPQ,直线OB的斜率是kOB,则kPQ·kOB=-b2a2.由AB=3FB知点F为AB的三等分点,所以点E也为OA的三等分点,则E(0,b3).设直线EF的斜率是kEF,所以kOB=kEF=0-b3c-0=-b3c,kPQ=910,则有-b3c×910=-b2a2,化简得3a2=10bc,又因为a2=b2+c2,所以3b2-10bc+3c2=0,即(b-3c)(3b-c)=0.所以bc=3或bc=13.当bc=3时,离心率e=ca=c2b2+c2=1(bc) 2+1=1010,当bc=13时,e=1(bc) 2+1=31010.故选D.15.2(答案不唯一,只要1<e≤5即可)　解析由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±bax,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需ba≤2即可.由ba≤2,得c2-a2a2≤4,所以e2≤5,故1<e≤5.16.94　解析因为点A(1,5)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=52,所以抛物线C的准线方程为x=-p2=-54,所以点A到抛物线C的准线的距离为1+54=94.17.x2-y23=1　解析∵点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形,∴c=2,-ba=-3,即b2=3a2,又∵c2=a2+b2,∴c2-a2=3a2,解得a2=1,b2=3,故双曲线的方程为x2-y23=1.18.(52,2)　解析设P(x0,y0),A(x1,y1),∵A,B关于原点对称,∴B(-x1,-y1). ∴kPA=y0-y1x0-x1,kPB=y0+y1x0+x1,∴kPA·kPB=y02-y12x02-x12.又点P,A都在双曲线上,∴x02a2-y02b2=1,x12a2-y12b2=1,两式相减得x02-x12a2=y02-y12b2,∴y02-y12x02-x12=b2a2,∴kPA·kPB=b2a2∈(14,1).又b2a2=c2-a2a2,∴14<c2-a2a2<1,∴14<e2-1<1,解得52<e<2.∴e的取值范围是(52,2).19.6　解析如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为12,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2.因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,所以△AF1F2为等边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|.则△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|=4a=13,所以a=134,c=138,而∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=33(x+c).由y=33(x+c),x24c2+y23c2=1,消去y,整理得13x2+8cx-32c2=0,Δ>0显然成立.设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-8c13,x1x2=-32c213,∴|DE|=[1+(33) 2][(x1+x2)2-4x1x2]=43[(-8c13) 2+4×32c213]=48c13=6.20.y=±1+33x　解析设切点为A,过F1作F1B⊥MF2,垂足为B,由题意可得|OA|=a,|OF2|=c,|AF2|=c2-a2=b,由OA为△BF1F2的中位线,可得|BF1|=2a,|BF2|=2b,又∠F1MF2=60°,可得|MF1|=|BF1|sin60°=4a3,|MB|=|BF1|tan60°=2a3,|MF2|=|MB|+|BF2|=2a3+2b,又|MF2|-|MF1|=2a3+2b-4a3=2a,所以b=1+33a,所以双曲线的渐近线方程为y=±1+33x.