2023届高考数学二轮总复习（新高考新教材）考点突破练12圆锥曲线的方程与性质（Word版附解析）

考点突破练12　圆锥曲线的方程与性质一、单项选择题1.(2022·广东惠州一模)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为(　　)A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x2.(2022·山东临沂二模)已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的焦距为45,实轴长为4,则C的渐近线方程为(　　)A.y=±2xB.y=±5xC.y=±12xD.y=±55x3.(2022·广东肇庆二模)已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上一点,O为坐标原点,若|OA|=|OF1|,直线F2A的斜率为-3,则椭圆C的离心率为(　　)A.58B.54C.13D.1044.(2022·河北保定高三期末)为了更好地研究双曲线,某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=36cm,则|AD|=(　　)A.1210cmB.638cmC.38cmD.637cm5.(2022·全国甲·文11)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1·BA2=-1,则C的方程为(　　)A.x218+y216=1B.x29+y28=1C.x23+y22=1D.x22+y2=1 6.(2022·广东执信中学模拟)已知双曲线C的离心率为3,F1,F2是C的两个焦点,P为C上一点,|PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面积为2,则双曲线C的实轴长为(　　)A.1B.2C.3D.47.(2022·江西宜春期末)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,P是抛物线E上的动点,点Q与点F关于坐标原点对称,当|PF||PQ|取得最小值时,△PQF的外接圆半径为(　　)A.1B.2C.22D.428.(2022·山东滨州二模)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2=2∠PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是(　　)A.e1e2=2B.e12+e22=2C.e12+e1e2+e22=2D.e12+e22=2e12e22二、多项选择题9.(2022·湖北武昌高三期末)已知双曲线C:x212-y24=1,下列对双曲线C判断正确的是(　　)A.实轴长是虚轴长的2倍B.焦距为8C.离心率为3D.渐近线方程为x±3y=010.(2022·新高考Ⅱ·10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则(　　)A.直线AB的斜率为26B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°11.(2022·山东临沂三模)2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”,如图,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则(　　) A.椭圆的长轴长为42B.线段AB长度的取值范围是[4,2+22]C.△ABF的面积最小值是4D.△AFG的周长为4+4212.(2022·江苏南通高三检测)已知椭圆C1:y2m2+x2n2=1(m>n>0)的上焦点为F1,双曲线C2:x2n2-y2m2=1的左、右焦点分别为F2,F3,直线F1F2与C2的右支相交于点A,若AF3⊥F2F3,则(　　)A.C1的离心率为22B.C2的离心率为2C.C2的渐近线方程为y=±2xD.△AF1F3为等边三角形三、填空题13.(2021·全国乙·理13)已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为　　　　　. 14.(2022·河北保定模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,F1,F2为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PF1|=6|PF2|,写出椭圆C的一个标准方程:　　　　　　　　　　. 15.(2022·山东威海高三期末)已知抛物线C1:y2=8x,圆C2:x2+y2-4x+3=0,点M(1,1),若A,B分别是C1,C2上的动点,则|AM|+|AB|的最小值为　　　　　. 16.(2022·河北石家庄二模)已知椭圆C1和双曲线C2有公共的焦点F1,F2,曲线C1和C2在第一象限内相交于点P,且∠F1PF2=60°.若椭圆C1的离心率的取值范围是33,22,则双曲线C2的离心率的取值范围是　　　　　.  考点突破练12　圆锥曲线的方程与性质1.D　解析∵抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其焦点的距离等于到其准线的距离,∴p2+2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.2.C　解析由已知得,双曲线的焦点在y轴上,双曲线的焦距2c=45,解得c=25,双曲线的实轴长为2a=4,解得a=2,则b=c2-a2=20-4=4,故双曲线C的渐近线方程为y=±abx=±12x.3.D　解析如图,由|OA|=|OF1|,得|OA|=|OF1|=|OF2|=c,故∠F1AF2=90°.因为直线F2A的斜率为-3,所以tan∠F1F2A=3,所以|AF1|=3|AF2|.又|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=3a2,|AF2|=a2.又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即94a2+14a2=4c2,得c2a2=58,所以ca=104.4.D　解析以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,因为双曲线的离心率为2,所以可设双曲线的标准方程为x2a2-y23a2=1(a>0),依题意可得2a=30,则a=15,即双曲线的标准方程为x2152-y23×152=1.因为|AB|=36cm,所以点A的纵坐标为18.由x2152-1823×152=1,得|x|=337,故|AD|=637cm.5.B　解析由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则BA1·BA2=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①由e=13,得e2=19=a2-b2a2=1-b2a2,即b2=89a2.②联立①②,解得a2=9,b2=8. 故选B.6.B　解析根据双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,解得|PF1|=3a,|PF2|=a.因为双曲线C的离心率为3,所以c=3a.在△PF1F2中,由余弦定理,可得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|=-13,则sin∠F1PF2=223.由△PF1F2的面积为2,可得12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=2a2=2,解得a=1.故双曲线C的实轴长为2.7.C　解析过点P作准线的垂线,垂足为M,由抛物线的定义知|PF|=|PM|,所以|PF||PQ|=|PM||PQ|=cos∠QPM=cos∠PQF,要使|PF||PQ|取得最小值,则cos∠PQF取得最小值,即tan∠PQF取得最大值0<∠PQF<π2,此时直线PQ与抛物线相切.设直线PQ的方程为y=k(x+2),由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)=0,即k2=1,解得k=±1,不妨取k=1,此时直线PQ的倾斜角∠PQF=π4,且有x2-4x+4=0,所以x=2,所以P(2,4),所以|PF|=4.设△PQF的外接圆半径为R,在△PQF中,由正弦定理知,2R=|PF|sin∠PQF=4sinπ4=42.所以此时△PQF的外接圆半径R=22.8.D　解析因为∠POF2=∠PF1F2+∠F1PO,∠POF2=2∠PF1F2,所以∠PF1F2=∠F1PO,所以|OF1|=|OP|=|OF2|=c,所以PF1⊥PF2. 记椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆和双曲线定义可得,m+n=2a1,①m-n=2a2,②①2+②2可得2(m2+n2)=4(a12+a22).由勾股定理知,m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=a12+a22,整理得a12c2+a22c2=2,即1e12+1e22=2,所以e12+e22=2e12e22.9.BD　解析由双曲线C:x212-y24=1,可得a2=12,b2=4,则c2=a2+b2=16,所以a=23,b=2,c=4,故A不正确,B正确;e=ca=423=233,故C不正确;易知渐近线方程为y=±33x,即x±3y=0,故D正确.10.ACD　解析选项A,由题意知,点A为FM的中点,设A(xA,yA),则xA=p2+p2=34p,所以yA2=2pxA=2p·34p=32p2(yA>0).所以yA=62p,故kAB=62p34p-p2=26,故选项A正确;选项B,由斜率为26可得直线AB的方程为x=126y+p2,联立抛物线方程得y2-16py-p2=0,设B(xB,yB),则62p+yB=66p,则yB=-6p3,代入抛物线方程得-6p32=2p·xB,解得xB=p3.∴|OB|=xB2+yB2=p29+2p23=7p29≠p24,故选项B错误;选项C,|AB|=34p+p3+p=2512p>2p=4|OF|,故选项C正确;选项D,由选项A,B知,A34p,62p,Bp3,-63p,所以OA·OB=34p,62p·p3,-63p=p24-p2=-34p2<0,所以∠AOB为钝角.又MA·MB=-p4,62p·-2p3,-63p=p26-p2=-56p2<0,所以∠AMB为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°.故选项D正确.故选ACD.11.ABD　解析由题知,椭圆中b=c=2,则a=22,则2a=42,故A正确; |AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,由椭圆性质可知2≤|OA|≤22,所以4≤|AB|≤2+22,故B正确;若A,B,F能构成三角形,则AB不与y轴重合,此时2≤|OA|<22,记∠AOF=θ,则S△ABF=S△AOF+S△OBF=12|OA||OF|sinθ+12OB·OFsin(π-θ)=|OA|·sinθ+2sinθ=(|OA|+2)sinθ,取θ=π6,则S△ABF=1+12|OA|<1+12×22<4,故C错误;由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=42,所以△AFG的周长L=|FG|+42=4+42,故D正确.12.ACD　解析易知F1(0,m2-n2),F2(-m2+n2,0),F3(m2+n2,0),将x=m2+n2代入双曲线C2的方程得m2+n2n2-y2m2=1,可得y2=m4n2,则点Am2+n2,m2n.因为O为F2F3的中点,且OF1∥AF3,所以OF1为△F2AF3的中位线,所以m2-n2=12·m2n,整理可得m4=4m2n2-4n4,即m2=2n2.椭圆C1的离心率为e1=m2-n2m=n2n=22,故A正确;双曲线C2的离心率为e2=m2+n2n=3,故B错误;双曲线C2的渐近线方程为y=±mnx=±2x,故C正确;易知点A(3n,2n),F2(-3n,0),则kAF2=2n23n=33,则∠AF2F3=30°,故∠F2AF3=60°.因为|AF3|=2n,|AF1|=12|AF2|=12(|AF3|+2n)=2n,所以△AF1F3为等边三角形,故D正确.13.4　解析由双曲线方程可知其渐近线方程为xm±y=0,即y=±1mx,得-3m=-1m,解得m=3.可得C的焦距为2m+1=4. 14.y29+x24=1(答案不唯一)　解析因为|PF1|=6|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=7|PF2|=2a,则|PF2|=2a7.又因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以2a7≥a-c,即ca≥57.根据题意可设C的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),因为椭圆C的短轴长为4,所以2b=4,b=2.又由ca≥57,可得1-b2a2=1-4a2≥57,解得a2≥496,所以椭圆C的一个标准方程为y29+x24=1.15.2　解析由抛物线C1:y2=8x得焦点F(2,0),准线方程为x=-2.由圆C2:x2+y2-4x+3=0,得(x-2)2+y2=1,所以圆C2是以F(2,0)为圆心,以r=1为半径的圆.所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1,所以当|AM|+|AF|取得最小值时,|AM|+|AB|取得最小值.又根据抛物线的定义得|AF|等于点A到准线的距离,所以过点M作准线的垂线,垂足为N,且与抛物线C1:y2=8x相交,当点A为此交点时,|AM|+|AF|取得最小值,最小值为|1-(-2)|=3.所以此时|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1≥3-1=2,所以|AM|+|AB|的最小值为2.16.62,3　解析设椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线C2:x2a12-y2b12=1,椭圆与双曲线的半焦距为c,椭圆的离心率e=ca,双曲线的离心率e1=ca1,|PF1|=s,|PF2|=t,如图,由椭圆的定义可得s+t=2a,由双曲线定义可得s-t=2a1,联立可得s=a1+a,t=a-a1. 由余弦定理可得4c2=s2+t2-2stcos∠F1PF2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos60°=a2+3a12,即4=1e2+3e12,解得e12=34-1e2.