适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练12圆锥曲线的方程与性质文（附解析）

考点突破练12　圆锥曲线的方程与性质一、选择题1.(2023北京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,且点P的横坐标为4,则|PF|=(　　)A.2B.3C.4D.52.(2023四川达州二模)设F1,F2是双曲线C:=1的左、右焦点,过点F2的直线与C的右支交于P,Q两点,则|F1P|+|F1Q|-|PQ|=(　　)A.5B.6C.8D.123.(2023新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=(　　)A.B.C.D.4.(2022全国乙,文6)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　)A.2B.2C.3D.35.(2023陕西西安名校2月联考)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M为C上一点,若线段MF1的中点为(0,1),且△MF1F2的周长为8+4,则C的标准方程为(　　)A.=1B.=1C.=1D.=16.(2023河南洛阳三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上的点,线段AF的垂直平分线经过点B0,,则|AF|=(　　)A.2pB.pC.2pD.2p 7.已知点F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,M为C的左支上一点,|MF1|=|F1F2|=2c,若圆F1:(x+c)2+y2=c2与直线MF2相切,则C的离心率为(　　)A.B.+1C.D.8.已知椭圆E与双曲线C:-y2=1有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个交点,且=0,过右焦点F2作倾斜角为的直线交椭圆E于A,B两点,且=λ,则λ可以取(　　)A.4B.5C.7D.89.(2023内蒙古赤峰二模)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点P,若PF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(　　)A.-1B.C.±1D.+110.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线l与椭圆C相交于M,N两点(点M在第一象限).若|MN|=|F1F2|,,则椭圆C的离心率e的最大值为(　　)A.B.-1C.D.-111.(2023江西鹰潭二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0),其焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交抛物线C于点A,B(其中点A在x轴上方),A,B两点在抛物线的准线上的射影分别为点M,N,若|MF|=2,|NF|=2,则p=(　　)A.B.2C.3D.412.已知F2,F1是双曲线=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为(　　)A.3B.C.2D. 13.(2023广西南宁二模)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(-,0),F2(,0),离心率分别为e1,e2,点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点,且∠F1PF2=,若e2=,则椭圆C1的方程为(　　)A.=1B.=1C.=1D.+y2=114.(2023湘豫名校联考二)已知椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点为A,直线l:9x-10y-57=0与椭圆C相交于P,Q两点,线段PQ的中点为B,直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F,且=3,则椭圆C的离心率为(　　)A.B.C.D.二、填空题15.(2022全国甲,文15)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值　　　　　. 16.(2023全国乙,文13)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　. 17.已知椭圆C:=1(a>b>0),F1,F2分别为C的左、右焦点,P为椭圆C上一点,且△PF1F2的内心I(s,1),若△PF1F2的面积为2b,则椭圆的离心率e为　　　　　. 18.(2023陕西安康二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)上有不同的三点A,B,P,且A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且kPA·kPB∈,1,则离心率e的取值范围是　　　　　.  19.(2023山东滨州一模)已知椭圆C:=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过点F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,△ADE的周长是13,则|DE|=　　　　　. 20.已知直线l:x-y=0交双曲线Γ:=1(a>0,b>0)于A,B两点.已知点P是双曲线上不同于点A,B的任意一点,则kPA·kPB=　　　　　　(结果用a,b表示);过点A作直线l的垂线AC交双曲线Γ于点C,若∠ABC=,则双曲线Γ的离心率为　　　　　　. 考点突破练12　圆锥曲线的方程与性质1.D　解析抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,由抛物线的定义,得|PF|=4+1=5.故选D.2.C　解析由题意得a=2,∴|F1P|-|PF2|=2a=4,|F1Q|-|QF2|=2a=4,∴|F1P|+|F1Q|-|PQ|=|F1P|+|F1Q|-(|PF2|+|QF2|)=|F1P|-|PF2|+|F1Q|-|QF2|=8.故选C.3.A　解析由题意,在C1:+y2=1中,a>1,b=1,c=,∴e1=.在C2:+y2=1中,a=2,b=1,c=,∴e2=.∵e2=e1,∴,解得a=.故选A.4.B　解析设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,即xA=1,所以=4.所以|AB|==2.5.A　解析因为△MF1F2的周长为8+4,所以2a+2c=8+4,则a+c=4+2,又F1(-c,0),MF1的中点为(0,1),所以M的坐标为(c,2),故=1,则=2,结合a2=b2+c2,解得a=4,b=c=2,所以椭圆C的标准方程为=1.故选A.6.D　解析抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F0,,设A(x1,y1),线段AF的垂直平分线经过点B0,,所以|BF|=|BA|, 即p-,所以4p2=,因为=2py1,则4-12py1+9p2=0,=0,解得y1=,根据抛物线定义可得|AF|=y1+=2p.故选D.7.A　解析作F1D⊥MF2,垂足为D,因为圆F1:(x+c)2+y2=c2与直线MF2相切,所以|DF1|=c.因为|F1F2|=2c,所以|DF2|=c,又|MF1|=|F1F2|,所以|MF2|=2c,由双曲线的定义得|MF2|-|MF1|=2a,即2c-2c=2a,所以e=,故选A.8.D　解析设椭圆E的方程为=1(a>b>0),由双曲线C:-y2=1,得焦点F1(-,0),F2(,0),可得a2-b2=3.因为=0,即PF1⊥PF2,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,|m-n|=2,m2+n2=|F1F2|2=12,可得4a2=12+4=16,解得a=2,b=1,则椭圆的方程为+y2=1.过右焦点F2作倾斜角为的直线方程为y=x-1,联立直线方程和椭圆方程,消去y可得7x2-8x=0,解得x1=0,x2=,可得交点为(0,-1),,可得|AB|=,|AF2|==2或|AF2|=,则λ=或8.故选D.9.D　解析设P(x0,y0),因为PF2垂直于x轴,∠PF1F2=45°,所以|F1F2|=|PF2|,x0=c,则=1,解得y0=,故|PF2|=,所以=2c,结合b2=c2-a2,可得c2-2ac-a2=0,所以e2-2e-1=0,解得e=1±,1-舍去,故离心率为+1.故选D.10.D　解析依题意作图: 由于|MN|=|F1F2|,并且线段MN,F1F2互相平分,∴四边形MF1NF2是矩形,其中∠F1MF2=,|NF1|=|MF2|.设|MF2|=x,则|MF1|=2a-x,根据勾股定理得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即x2+(2a-x)2=4c2,整理得x2-2ax+2b2=0,由于点M在第一象限,则x<a,即x=a-,由题意,则∠MF1F2≥,则|MF2|≥|F1F2|,a-≥c,整理得2a2-2ac-c2≥0,e2+2e-2≤0,解得0<e≤-1,即e的最大值为-1.11.A　解析如图,由题意知,|AF|=|AM|,|BF|=|BN|,则∠AMF=∠AFM,∠BFN=∠BNF.由AM∥BN∥x轴,可知2∠AFM+2∠BFN=π,则∠MFN=.∴|MN|2=|NF|2+|MF|2=16,∴|MN|=4.∵△MNF的面积S△MNF=p·|MN|=|MF|·|NF|=2,∴p=.故选A.12.C　解析由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为y=x,则点F2到渐近线的距离为=b.设点F2关于渐近线的对称点为点M,F2M与渐近线交于点A,∴|MF2|=2b,A为F2M的中点.又O是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角.∴△MF1F2为直角三角形.∴由勾股定理得4c2=c2+4b2.∴3c2=4(c2-a2),∴c2=4a2.∴c=2a,∴e=2.故选C. 13.A　解析设椭圆C1:=1(a1>b1>0),双曲线C2:=1(a2>0,b2>0).如图,因为椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点,∴c1=c2=,∵e2=,∴a2==1,b2=,∴双曲线C2的方程为x2-=1.由余弦定理-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,得12=-|PF1|·|PF2|,又∵|PF1|-|PF2|=2a2=2,得|PF2|=2,|PF1|=4.根据椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a1=6,∴a1=3,b1=,∴椭圆C1的方程为=1.故选A.14.D　解析(方法一)设F(c,0),A(0,b),P(x1,y1),Q(x2,y2),B(x0,y0).因为=3,所以=2,即(c,-b)=2(x0-c,y0).所以x0=,y0=-,即B,-.因为点B为线段PQ的中点,所以x1+x2=3c,y1+y2=-b.又P,Q为椭圆上的点,所以两式相减得=0,所以直线l的斜率kPQ==-=-,化简得3a2=10bc,又因为a2=b2+c2,所以3b2-10bc+3c2=0,即(b-3c)(3b-c)=0.所以=3或,当=3时,离心率e=,当时,e=.故选D. (方法二)如图,连接OB,过点F作FE∥BO交y轴于点E,设直线PQ的斜率是kPQ,直线OB的斜率是kOB,则kPQ·kOB=-.由=3知点F为AB的三等分点,所以点E也为OA的三等分点,则E0,.设直线EF的斜率是kEF,所以kOB=kEF==-,kPQ=,则有-=-,化简得3a2=10bc,又因为a2=b2+c2,所以3b2-10bc+3c2=0,即(b-3c)(3b-c)=0.所以=3或.当=3时,离心率e=,当时,e=.故选D.15.2(答案不唯一,只要1<e≤即可)　解析由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±x,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需≤2即可.由≤2,得≤4,所以e2≤5,故1<e≤.16.　解析因为点A(1,)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=,所以抛物线C的准线方程为x=-=-,所以点A到抛物线C的准线的距离为1+.17.　解析由题意,△PF1F2的内心I(s,1)到x轴的距离为内切圆的半径,即r=1,由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c,(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r=a+c=2b,所以(a+c)2=4(a2-c2),所以5e2+2e-3=0,解得e=或e=-1(舍去).18.　解析设P(x0,y0),A(x1,y1),∵A,B关于原点对称,∴B(-x1,-y1).∴kPA=,kPB=,∴kPA·kPB=.又点P,A都在双曲线上,∴=1,=1,两式相减得,∴,∴kPA·kPB=∈,1.又,∴<1,∴<e2-1<1,解得<e<.∴e的取值范围是.19.6　解析如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2. 因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,所以△AF1F2为等边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|.则△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|=4a=13,所以a=,c=,而∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=(x+c).由消去y,整理得13x2+8cx-32c2=0,Δ>0显然成立.设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,∴|DE|==6.20.　解析设A(m,n),B(-m,-n),P(x0,y0),可得=1,=1,两式相减可得,即有kPA·kPB=.直线AB的方程为x-y=0,其斜率为,倾斜角为,过B作直线BE与x轴平行,可得∠ABE=,由AB⊥AC,可得直线AC的倾斜角为,由∠ABC=,得直线BC的倾斜角为,由kPA·kPB=的结论,可得AC,BC的斜率之积为,则有tan·tan=(-)×=1,所以e=.