适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练12直线与圆理（附解析）

考点突破练12　直线与圆一、选择题1.已知点P(1,2),则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时,实数a=(　　)A.1B.-14C.14D.52.(2023河北张家口二模)已知点P(x0,y0)为圆C:x2+y2=2上的动点,则直线l:x0x-y0y=2与圆C的位置关系为(　　)A.相交B.相离C.相切D.相切或相交3.(2023广东梅州二模)若直线l:mx+ny+m=0将圆C:(x-2)2+y2=4分成弧长之比为2∶1的两部分,则直线的斜率为(　　)A.±52B.±5C.±22D.±244.如果两条直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0与l2:4x+2(m-3)y+7=0平行,则实数m的值为(　　)A.2B.-3C.-3或2D.3或25.(2023北京房山一模,6)已知直线l:y+1=m(x-2)与圆(x-1)2+(y-1)2=9相交于M,N两点,则|MN|的最小值为(　　)A.5B.25C.4D.66.已知M(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+8=0内一点,则过点M最短的弦长为(　　)A.27B.7C.6D.87.已知向量m=(a,b),n=(sinx,cosx),f(x)=m·n,且f(-x)=fπ2+x,则直线ax+by+c=0的倾斜角为(　　)A.π4B.π3C.2π3D.3π48.一束光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上的最短路径长为(　　)A.5B.4C.41-2D.29-29.圆M:(x-k2)2+(y-2k)2=3与圆N:(x-1)2+y2=1交于A,B两点,若|AB|=3,则下列选项中实数k不可能取到的值为(　　)A.2B.1C.0D.-110.(2023贵州毕节二模)等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中,AB=AC=2,且点M为圆O上一点,则MB·MC的最大值为(　　)A.2B.6C.8D.1011.直线y=2x-1被过点(0,1)和(2,1)且半径为5的圆截得的弦长为(　　)A.1055B.21055C.21455D.25512.(2023山东潍坊模拟预测)若点M是圆C:x2+y2-4x=0上的任一点,直线l:x+y+2=0与x轴、y轴分别相交于A,B两点,则∠MAB的最小值为(　　)A.π12B.π4C.π3D.π613.(2023北京石景山一模)已知直线l:kx-y-2k+2=0被圆C:x2+(y+1)2=25所截得的弦长为整数,则满足条件的直线l有(　　)A.6条B.7条C.8条D.9条14.(2023山东烟台一模)由点P(-3,0)射出的两条光线与☉O1:(x+1)2+y2=1分别相切于点A,B,称两射线PA,PB上切点右侧部分的射线和优弧AB右侧所夹的平面区域为☉O1的“背面”.若☉O2:(x-1)2+(y-t)2=1处于☉O1的“背面”,则实数t的取值范围为(　　)A.-23≤t≤23B.-433+1≤t≤433-1C.-1≤t≤1D.-233≤t≤233二、填空题15.(2022新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:　　　　　.16.(2023山东滨州一模)两圆x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置关系是　　　　　. 17.(2023山东枣庄二模)满足圆x2+(y-4)2=25与(x-a)2+y2=1相交的一个a的值为　　　　　. 18.(2023山东淄博一模)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,1),直线y=kx+b与圆x2+y2=10交于M,N两点,若△PMN为正三角形,则实数b=　　　　　.  考点突破练12　直线与圆1.B　解析∵直线恒过定点A(0,4),∴当PA与直线垂直时﹐点P到直线的距离取得最大值.∵kPA=4-20-1=-2,∴直线2ax+y-4=0的斜率为12,即-2a=12,∴a=-14.故选B.2.C　解析由题意可得x02+y02=2,于是圆心C到直线l的距离d=2x02+y02=22=2,所以直线l和圆C相切.故选C.3.D　解析设直线l与圆C交于点A,B,易知直线l恒过点(-1,0).依题意,∠ACB=120°,而圆C的圆心C(2,0),半径r=2,∠ABC=30°,因此点C到直线l的距离d=rsin30°=1,于是d=|3m|m2+n2=1,整理得n=±22m,所以直线l的斜率k=-mn=±24.故选D.4.D　解析∵两条直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0与l2:4x+2(m-3)y+7=0平行,∴2(m-3)(m+2)=4(m2-3m),即m2-5m+6=0,解得m=2或m=3,当m=2时,l1:4x-2y+4=0,l2:4x-2y+7=0,满足题意;当m=3时,l1:5x+4=0,l2:4x+7=0,满足题意.故选D.5.C　解析由题意得圆心A(1,1),半径R=3,直线y+1=m(x-2)过定点B(2,-1).因为(2-1)2+(-1-1)2=5<9,则定点B(2,-1)在圆内.则点B(2,-1)和圆心A(1,1)连线的长度为d=(2-1)2+(-1-1)2=5,当圆心到该直线的距离最大时,弦长|MN|最小,此时AB⊥l,由圆的弦长公式可得|MN|=2R2-d2=232-(5)2=4.故选C.6.A　解析圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=9,则该圆的半径为3,圆心为(4,1),∵M到圆心的距离为1+1=2,∴过点M最短的弦长为2×9-2=27.故选A.7.D　解析由题知f(x)=asinx+bcosx,又f(-x)=fπ2+x,所以f(0)=fπ2,得asin0+bcos0=asinπ2+bcosπ2,所以a=b,则直线ax+by+c=0的斜率k=-ab=-1,故直线ax+by+c=0的倾斜角为3π4.故选D.8.C　解析由题意,圆C的标准方程为(x-4)2+(y-3)2=4,所以圆C的圆心坐标为(4,3),半径r=2,又点A(-1,1)关于x轴的对称点为B(-1,-1),所以|BC|=(-1-4)2+(-1-3)2=41,所以所求最短距离为41-2.9.A　解析由(x-k2)2+(y-2k)2=3,(x-1)2+y2=1,得直线AB的方程为(2-2k2)x-4ky+k4+4k2-3=0,圆心N(1,0)到直线AB的距离为1-(32) 2=12,所以|2-2k2+k4+4k2-3|(2-2k2)2+16k2=12,即|k4+2k2-1|k2+1=1.将选项中k的值代入验证,可得k为-1,1,0时符合题意,k=2时不符合题意.故选A.10.B　解析如图,以圆O的圆心O为原点,以∠BAC的平分线所在直线为x轴建立平面直角坐标系,连接OB,OC.因为OB=OA=OC=AB=AC=2,则B(1,3),C(1,-3),而圆O的方程为x2+y2=4,设点M(2cosθ,2sinθ)(0≤θ<2π),于是MB=(1-2cosθ,3-2sinθ),MC=(1-2cosθ,-3-2sinθ),MB·MC=(1-2cosθ)2+(3-2sinθ)(-3-2sinθ)=1-4cosθ+4cos2θ-3+4sin2θ=2-4cosθ,当且仅当θ=π,即cosθ=-1时,(MB·MC)max=6,所以MB·MC的最大值为6.故选B.11.B　解析设圆心为(a,b),则由题意可得(a-0)2+(b-1)2=(a-2)2+(b-1)2=5,解得a=1,b=-1或a=1,b=3,所以圆心为(1,-1)或(1,3),所以圆方程为(x-1)2+(y+1)2=5或(x-1)2+(y-3)2=5,则圆心到直线y=2x-1的距离为d=|2+1-1|4+1=255或d=|2-3-1|4+1=255,则弦长为2×(5)2-2552=21055.故选B. 12.A　解析如图所示,直线l的斜率为-1,倾斜角为3π4,故∠OAB=π4,圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,圆心为C(2,0),半径为r=2.易知直线l交x轴于点A(-2,0),所以|AC|=4.由图可知,当直线AM与圆C相切,且切点位于x轴下方时,∠MAB取最小值,由圆的几何性质可知CM⊥AM,且|CM|=2=12|AC|,则∠CAM=π6,故∠MAB≥∠OAB-π6=π4-π6=π12.故选A.13.B　解析圆C:x2+(y+1)2=25的圆心为C(0,-1),半径r=5.直线l化为k(x-2)-y+2=0,则直线l过定点M(2,2),则|CM|=(2-0)2+(2+1)2=13<5,则点M在圆内.当l⊥CM时,直线l被圆C截得的弦长最短为252-(13)2=43,当l过圆心C时,直线l被圆C截得的弦长最长为10,故过点M的弦长的取值范围为[43,10],由题意弦长的取值为7,8,9,10,由圆的对称性,故满足弦长为整数的直线l有7条.故选B.14.D　解析如图,|AO1|=1,|PO1|=2,则|AP|=3,则直线PA,PB的斜率分别为33,-33.所以直线PA的方程为y=33(x+3),即x-3y+3=0,直线PB的方程为y=-33(x+3),即x+3y+3=0.由☉O2:(x-1)2+(y-t)2=1处于☉O1的“背面”,当☉O2与PB相切时t取最小值,由|1+3t+3|1+3=1,解得t=-233或t=-23,易知直线x=1与直线PB的交点是(1,-433),因为-233>-433,-23<-433,所以t的最小值为-233.同理☉O2与PA相切时可得t的最大值为233,所以-233≤t≤233.故选D.15.x=-1,或y=-34x+54,或y=724x-2524　解析在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O1(3,4), 由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.∵l1与直线OO1垂直,直线OO1的斜率kOO1=43,∴直线l1的斜率kl1=-34,直线OO1的方程为y=43x.可设直线l1的方程为y=-34x+b(b>0).又圆心O到直线l1的距离d1=|b|-342+1=1,解得b=54(负值舍去).故内公切线l1的方程为y=-34x+54.由y=43x,x=-1,得直线l与直线OO1的交点为A(-1,-43).则可设直线l2的方程为y+43=k(x+1).又圆心O到直线l2的距离d2=k-43k2+1=1,解得k=724,故直线l2的方程为y=724x-2524.由上可知,与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-34x+54,或y=724x-2524.16.外切　解析由x2+y2+6x-4y+9=0,得(x+3)2+(y-2)2=4,圆心M(-3,2),半径为r=2;由x2+y2-6x+12y-19=0,得(x-3)2+(y+6)2=64,圆心N(3,-6),半径为R=8.则两个圆心的距离|MN|=(-3-3)2+(2+6)2=10=R+r,即两个圆外切.17.2(答案不唯一,只要在集合(-25,0)∪(0,25)内即可)解析圆x2+(y-4)2=25的圆心为(0,4),半径r1=5,圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),半径r2=1,因为两圆相交,所以|r1-r2|<a2+42<r1+r2,即16<a2+16<36,解得0<a<25或-25<a<0,a值可以为2.故答案为2(答案不唯一,只要在集合(-25,0)∪(0,25)内即可).18.-5　解析由题意可知P(3,1)在圆上,如图所示.设线段MN的中点为H,连接PH.因为△PMN为正三角形,则PH过点O,且PH⊥MN.因为直线OP的斜率是13,所以直线MN的斜率为k=-3,故y=kx+b,即为y=-3x+b.|OH|=|OP|2=102,故|b|1+9=102,解得b=±5.结合P(3,1)在圆上,△PMN是圆的内接正三角形,可知b<0,即b=-5.