山西省太原市小店区第一中学2023-2024学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题（Word版附解析）

2023年上学期高一年级第一次月考数学试题考试时间：90分钟试卷满分：100分一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，.则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的交集运算求解即可.【详解】因为，，所以，故选：D.2.已知全集U＝{0，1，2}且＝{2}，则集合A的真子集共有．A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】A【解析】【详解】试题分析：,所以集合A的真子集的个数为个，故选A.考点：子集3.已知，，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求出集合、，再利用集合的交运算即可求解.【详解】，，所以，故选：A 4.命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是A.∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0B.∃x∈Z，使x2+2x+m＞0C.∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0D.不存在x∈Z，使x2+2x+m＞0【答案】C【解析】【详解】试题分析：将“存在”换为“∀”同时将结论“x2+2x+m≤0”换为“x2+2x+m＞0”．解：命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是：∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0，故选C．考点：命题的否定．5.设集合，，若，则（）A.1B.0C.-1D.1或-1【答案】A【解析】【分析】分情况讨论中元素与中元素对应关系求解即可.【详解】由题意，当时，，此时不满足集合中元素互异性；当时，且，则，此时满足条件.故.故选：A6.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式求的最小值即可.【详解】因为，故， 当且仅当，即时取等号，故.故选：D7.设，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求解，再根据充分与必要条件的定义判断即可.【详解】，因为是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B8.已知，，则的取值范围（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，结合不等式的性质求解即可.【详解】由题意，，故，即.故选：D二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得3分，部分选对得1分，有选错的得0分）9.设，则成立的必要而不充分条件是（）.A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】由必要条件、充分条件的定义直接逐一判断即可. 【详解】对于A，一方面：取，则，但；另一方面：若，则；所以是成立的必要而不充分条件，故A选项符合题意；对于B，一方面：若，则；另一方面：若，则；所以是成立的既不必要也不充分条件，故B选项不符合题意；对于C，一方面：取，则，但；另一方面：若，则；所以是成立的必要而不充分条件，故C选项符合题意；对于D，一方面：若，但；另一方面：若，则；所以是成立的既不必要也不充分条件，故D选项不符合题意.故选：AC.10.已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集是C.不等式的解集是D.【答案】BCD【解析】【分析】根据给定解集，结合一元二次不等式的解法确定a的符号，并用a表示b，c，再逐项判断作答.【详解】因关于的不等式的解集是或，则是一元二次方程的二根，且，则有，即，且，A不正确；不等式化为：，解得，即不等式的解集是，B正确；不等式化为：，即，解得，因此不等式的解集是，C正确；，D正确.故选：BCD 11.若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是同象函数.已知函数，，则下列函数中与是同象函数的有（）.A.，B.，C.，D.，【答案】AB【解析】【分析】根据同象函数的定义，结合各函数的定义域与值域判断即可.【详解】，，则.对A，，，则，满足同象函数的定义，故A正确；对B，，，则，满足同象函数定义，故B正确；对C，，，则，不满足同象函数的定义，故C错误；对D，，，则，不满足同象函数的定义，故D错误；故选：AB12.下列说法正确的是（）A.“且”是“”的充要条件B.若，，则C.方程有一正一负根的充要条件是D.的最小值为2【答案】BC【解析】【分析】特例可判断A，根据作差法可判断B，根据一元二次方程根的分布可判断C，利用均值不等式可判断D．【详解】对A，当时满足，但不满足且，故A错误；对B，，故，故B正确； 对C，方程有一正一负根充要条件是，解得：，故C正确；对D，，当且仅当，即时取等号，无解，故，故D错误；故选：BC三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.函数的定义域为_____________.【答案】【解析】【分析】根据偶次根式和分式有意义要求可得不等式组，解不等式组可求得结果.【详解】由题意得：，解得：且，即的定义域为.故答案为：.14.已知，函数最大值是__．【答案】##0.125【解析】【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函数的最大值．【详解】，∴, 当且仅当时，即时等号成立，因此，函数的最大值为.故答案为:.15.2021年黑龙江省进入“”新高考模式，其“3”为全国统考科目语文､数学和外语；“1”为考生在物理和历史中选择一门；“2”为考生在政治､地理､化学和生物四门中再选择两门.某中学调查了高一某班学生的选科倾向，据统计有36名同学选择了化学､生物和政治，已知选择化学､生物和政治科目的人数分别为26，15，13，同时选择化学和生物的有6人，同时选择生物和政治的有4人，则同时选择化学和政治的有___________人.【答案】8【解析】【分析】根据容斥原理可求出结果.【详解】记选择化学的同学组成的集合为，选择生物的同学组成的集合为，选择政治的同学组成的集合为，依题意可得，，，，，，，根据，可得，解得.所以同时选择化学和政治的有人.故答案为：.16.已知，且，最小值___________.【答案】【解析】【分析】根据，再展开根据基本不等式求最小值即可.【详解】由题意， 当且仅当，即，时取等号.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.解不等式：（1）.（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二次不等式求解即可；（2）通分后根据分式不等式求解即可.【小问1详解】即，故，即或，解得【小问2详解】即，故，解得18.已知集合，，且，求的取值集合.【答案】【解析】【分析】分与两种情况讨论求解即可.【详解】，当时，，满足；当时，，若，则或， 解得或.综上有的取值集合为19.设集合，，求下列集合：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）或（2）或（3）或（4）或或【解析】【分析】根据交集，并集，补集的概念求解即可.【小问1详解】∵集合，，，∴或．【小问2详解】，∴或．【小问3详解】或，∴或．【小问4详解】或， ∴或或．20.在A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件这三个条件中选择一个补充下面的问题，若问题中的存在，求的取值范围；若问题中的不存在，说明理由.已知集合，，是否存在实数，使得是的________?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据充分与必要条件的性质，确定是否为空集，再根据集合区间的取值范围求解即可.【详解】选A：若是的充分不必要条件，则是的真子集，故且等号不同时成立，即，无解，故不存在实数，使得是的充分不必要条件.选B：若是的必要不充分条件，则是的真子集，当时，，解得，满足题意；当时，，此时且等号不同时成立，解得，故，综上有，故若是的必要不充分条件，则.选C：若是的充要条件，则，故，无解，故不存在实数，使得是的充要条件.21.太原市小店区第一中学校开展数学社团合作学习模式，社团内同学甲给社团内同学乙出题如下：若：“，”是假命题，求实数的取值范围.同学乙略微思考，反过来给同学甲出了一道题：若“，”是真命题，求实数的取值范围，你认为两位同学出的题中的的取值范围是否相同，的取值范围是多少?【答案】相同， 【解析】【分析】由于命题“，”的否定是“，”，故可将题目转换为不等式恒成立问题来求参数的取值范围,对参数进行分类讨论即可.【详解】由题意命题：“，”的否定是命题：“，”，因此“，”是假命题当且仅当“，”是真命题，所以两位同学出的题中的的取值范围相同，现在我们来求满足题意的的取值范围：若，，分以下两种情形来讨论：情形一：当时，不等式变为了显然成立，故符合题意；情形二：当时，若关于的一元二次不等式恒成立，则当且仅当，解不等式组得；综上所述：满足题意的的取值范围为.