山东省泰安新泰市第一中学（东校）2023-2024学年高一上学期第一次质量检测数学试题（Word版附解析）

新泰市第一中学东校2023级高一上学期第一次质量检测数学试题考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每个题目5分，共40分）1.已知集合，，若，则等于（）A.或3B.0或C.3D.【答案】C【解析】【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性进行求解即可.【详解】由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.故选：C2.设全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式可求得集合，再由图中阴影部分利用集合基本-14- 运算即可求得结果.【详解】解集合对应的不等式可得，即；易知图中阴影部分对应的集合可表示为，由可得，因此，即图中阴影部分对应的集合为.故选：D3.满足的集合M共有（）A.6个B.7个C.8个D.15个【答案】B【解析】【分析】根据子集，真子集的关系，一一列举即可.【详解】，可按元素个数分类依次写出集合M为，，，，，，，共7个.故选：B.4.若不等式有解，则实数的取值范围为（）A.或B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答.【详解】不等式有解，即不等式有解，因此，解得或，所以实数的取值范围为或.故选：A5.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】D-14- 【解析】【分析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解.【详解】命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故选：D6.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求得最值，可得答案.【详解】因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为3.因为当时，不等式恒成立，所以.故选：D.7.设p：，q：，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式、分式不等式求对应x的范围，根据充分、必要性定义判断p、q-14- 的关系.【详解】由，则，由，则，即，故，所以p是q的必要不充分条件.故选：B8.甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（）A.甲B.乙C.一样低D.不能确定【答案】B【解析】【分析】根据题意，分别求得甲乙两次加油的平均价格，结合作差比较，即可得到答案.【详解】设两次加油时的单价分别为元和元，且，则甲每次加油升，两次加油中，平均价格为元，乙每次加油元，两次加油中，平均价格为元，可得，所以乙的平均价格更低.故选：B.二、多选题（每个小题满分5分，答对部分答案得2分，答错得0分）9.若非空集合满足：，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据题意可得：，然后根据集合的包含关系即可求解.【详解】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；-14- 由可得，故选项正确；因为且，所以，则，故选项正确；由可得：不一定为空集，故选项错误；故选：.10.已知，，，则下列命题为真命题的是（　　）A.若，则B.若且，则C.若，则D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.【详解】选项A，若成立则，所以，故选项A正确；选项B，由得，又因为，所以，所以，故选项B正确；选项C，因为，所以，所以，因为，所以两边同乘得，故选项C正确；选项D，因为，，，所以，即，故选项D不正确；故选：ABC．11.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.若，则“”是“”的充分不必要条件C.“”是“”的充要条件D.若，，则【答案】BD【解析】【分析】对于A，由特称命题否定为全称命题分析判断，对于B，根据充分条件和必要条件的定-14- 义分析判断，对于C，举例判断，对于D，作差法分析判断【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，所以A错误，对于B，当时，，，而当时，，所以“”是“”的充分不必要条件，所以B正确，对于C，若，则，所以“”不是“”的充要条件，所以C错误，对于D，因为，，所以，所以，所以，所以D正确，故选：BD12.已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，则，解得又Ü，Ü，故选：CD．第Ⅱ巻（非选择题）三、填空题（每个小题5分，共20分）13.某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有___________.-14- 【答案】【解析】【分析】设集合、、分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，作出韦恩图，确定参加各类比赛的学生人数，即可得解.【详解】设集合、、分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，由图可知，高一年级参加比赛的同学人数为.故答案为：.14.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.【详解】命题“”的否定为：“，”.因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.综上有故答案为：.15.已知集合，，若，，则实数的值为________．【答案】【解析】-14- 【分析】根据，求出，可得，可得，可得.【详解】因为，所以，所以，得，所以，所以，即有且只有一个实根，所以，解得故答案为：【点睛】关键点点睛：推出是解题关键.16.已知若正数、满足，则的最小值为___________．【答案】0.8【解析】【分析】由可得，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得答案.【详解】已知正数、满足，则，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.四、解答题17.（1）试比较与的大小；（2）已知，，求证：．-14- 【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）与作差，判断差的正负即可得出结论；（2）结合不等式的性质分析即可证出结论.【详解】（1）由题意，，所以．（2）证明：因为，所以，即，而，所以，则．得证．18.已知命题，命题.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）写出命题的否定，由它为真命题求解；（2）由（1）易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交集可得．【详解】解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.实数的取值范围是.(2)由(1)知命题为真命题时，.命题为真命题时，，解得为真命题时，.，解得，即实数的取值范围为.19.已知函数，-14- （1）若的解集为，求的值；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）或（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意得方程的两根为和，且，然后利用根与系数的关系列方程可求得结果，（2）分，和三种情况求解即可【小问1详解】因为的解集为，所以方程的两根为和，且.所以，解得或.【小问2详解】因为，所以不等式，即，当时，，解得，即不等式的解集为；当时，，解得，即不等式的解集为；当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为.综上：当时式的解集为，-14- 当时不等式的解集为，当时不等式的解集为.20.已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合；（2）分析可知，Ü，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】因为，当时，，因为全集，则或，或，因此，或.【小问2详解】易知集合为非空集合，因为是的必要不充分条件，则Ü，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直-14- 方向的留空宽度均为10cm，设．（1）当时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？【答案】（1）（2）选择长宽分别为的海报纸.【解析】【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积；（2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案.【小问1详解】设阴影部分直角三角形高为所以阴影部分的面积：，所以即：，由图像知：，【小问2详解】由（1）知：，当且仅当即，即等号成立.综上，选择长宽分别为的海报纸.-14- 22.已知集合,.（1）当时，求；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别求两个集合的解集，再求并集；（2）根据题意可知，，再分情况讨论求集合，根据子集关系，求实数取值范围.【小问1详解】，即，解得：，所以，时，，即，得，则，所以；【小问2详解】若是的充分条件，则，当时，，得，，此时，当时，，得，，若，则，得；若，则，当时，即，不等式的解集为或，-14- ，若，则，得，当时，即，不等式的解集为或，恒成立，得，当时，，不等式的解集为，此时，综上可知，的取值范围为.-14-